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4. (2025·河南中考)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就。正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同。把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是(
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)。A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
4. B
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路清晰：首先要明确所有等可能的抽取结果总数，可通过列举法列出随机抽取2张卡片的所有组合，列举时注意做到不重复、不遗漏；其次找到两张卡片恰好是“丽”和“山”的符合条件的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
设四张卡片分别对应：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从四张背面朝上洗匀的卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型，列举法，概率公式
【点评】
本题以中华传统文化甲骨文为命题背景，既考查了概率的基础计算能力，也渗透了文化自信的教育，解题的核心是准确列举所有可能的抽取结果，避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路清晰：首先要明确所有等可能的抽取结果总数，可通过列举法列出随机抽取2张卡片的所有组合，列举时注意做到不重复、不遗漏；其次找到两张卡片恰好是“丽”和“山”的符合条件的结果数；最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
设四张卡片分别对应：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从四张背面朝上洗匀的卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型，列举法，概率公式
【点评】
本题以中华传统文化甲骨文为命题背景，既考查了概率的基础计算能力，也渗透了文化自信的教育，解题的核心是准确列举所有可能的抽取结果，避免出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
5. 小明笔袋里有2支红笔和2支黑笔(4支笔的款式相同),上课做笔记时,他随机从笔袋中抽出两支笔,刚好是一红一黑的概率是
$\frac{2}{3}$
。答案
5. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算基础题，解题思路为：先统计所有等可能的抽取结果总数，再统计“刚好抽到一红一黑”的符合条件的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。解题时可先给不同颜色的笔做标记，用列举法罗列所有抽取2支笔的组合，注意抽取两支笔不考虑先后顺序，避免重复计数或漏计。
【解析】
解：将2支红笔记为$R_1$、$R_2$，2支黑笔记为$B_1$、$B_2$，随机抽取2支笔的所有等可能结果如下：
$(R_1,R_2)$、$(R_1,B_1)$、$(R_1,B_2)$、$(R_2,B_1)$、$(R_2,B_2)$、$(B_1,B_2)$，共6种。
其中刚好是一红一黑的结果有：$(R_1,B_1)$、$(R_1,B_2)$、$(R_2,B_1)$、$(R_2,B_2)$，共4种。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{刚好一红一黑})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式，古典概型
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，重点考查对随机事件概率的理解和枚举计数的能力，解题时要注意不放回抽取的特点，规避重复计数、漏计的常见错误。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算基础题，解题思路为：先统计所有等可能的抽取结果总数，再统计“刚好抽到一红一黑”的符合条件的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可。解题时可先给不同颜色的笔做标记，用列举法罗列所有抽取2支笔的组合，注意抽取两支笔不考虑先后顺序，避免重复计数或漏计。
【解析】
解：将2支红笔记为$R_1$、$R_2$，2支黑笔记为$B_1$、$B_2$，随机抽取2支笔的所有等可能结果如下：
$(R_1,R_2)$、$(R_1,B_1)$、$(R_1,B_2)$、$(R_2,B_1)$、$(R_2,B_2)$、$(B_1,B_2)$，共6种。
其中刚好是一红一黑的结果有：$(R_1,B_1)$、$(R_1,B_2)$、$(R_2,B_1)$、$(R_2,B_2)$，共4种。
根据概率公式计算：
$P(\mathrm{刚好一红一黑})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式，古典概型
【点评】
本题是概率计算的常规基础题，重点考查对随机事件概率的理解和枚举计数的能力，解题时要注意不放回抽取的特点，规避重复计数、漏计的常见错误。
【难度系数】
0.7
6. 有两个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8四个数。甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，那么甲获胜，否则乙获胜。
（1）请你用列表或画树状图的方法计算甲获胜的概率。
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？为什么？
（1）请你用列表或画树状图的方法计算甲获胜的概率。
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？为什么？
答案
(1) 列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 |
∴ P(甲获胜) = $\frac{5}{16}$
(2) 这个游戏对双方不公平。理由如下：
∵ P(甲获胜) = $\frac{5}{16}$, P(乙获胜) = $\frac{11}{16}$,
∴ P(甲获胜) ≠ P(乙获胜)。
∴ 这个游戏对双方不公平
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 |
∴ P(甲获胜) = $\frac{5}{16}$
(2) 这个游戏对双方不公平。理由如下：
∵ P(甲获胜) = $\frac{5}{16}$, P(乙获胜) = $\frac{11}{16}$,
∴ P(甲获胜) ≠ P(乙获胜)。
∴ 这个游戏对双方不公平
解析
【分析】
本题分为两小问，第（1）问求甲获胜的概率，由于是从两个信封各抽1张卡片的两步试验，所有结果等可能，适合用列表法呈现所有两数相乘的结果，先统计所有等可能的总结果数，再筛选出乘积大于20的结果数，最后根据概率公式计算即可。第（2）问判断游戏公平性，只需对比甲、乙两人获胜的概率是否相等，若相等则公平，否则不公平，因此算出乙获胜的概率后和甲的概率比较就能得出结论。
【解析】
（1）用列表法列出所有抽取卡片的乘积结果如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中乘积大于20的结果有5种，因此：
$P(甲获胜) = \frac{5}{16}$
（2）这个游戏对双方不公平，理由如下：
$P(乙获胜) = 1 - P(甲获胜) = 1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}$
∵ $P(甲获胜) = \frac{5}{16}$，$P(乙获胜) = \frac{11}{16}$
∴ $P(甲获胜) ≠ P(乙获胜)$，因此这个游戏对双方不公平。
【答案】
(1) $P(甲获胜)=\frac{5}{16}$
(2) 这个游戏对双方不公平，因为甲、乙获胜的概率不相等。
【知识点】
列表法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，解题关键是准确列举出所有等可能的试验结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，判断游戏公平性只需验证双方获胜的概率是否相等即可，整体逻辑清晰，是概率章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第（1）问求甲获胜的概率，由于是从两个信封各抽1张卡片的两步试验，所有结果等可能，适合用列表法呈现所有两数相乘的结果，先统计所有等可能的总结果数，再筛选出乘积大于20的结果数，最后根据概率公式计算即可。第（2）问判断游戏公平性，只需对比甲、乙两人获胜的概率是否相等，若相等则公平，否则不公平，因此算出乙获胜的概率后和甲的概率比较就能得出结论。
【解析】
（1）用列表法列出所有抽取卡片的乘积结果如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 |
由表可知，共有16种等可能的结果，其中乘积大于20的结果有5种，因此：
$P(甲获胜) = \frac{5}{16}$
（2）这个游戏对双方不公平，理由如下：
$P(乙获胜) = 1 - P(甲获胜) = 1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16}$
∵ $P(甲获胜) = \frac{5}{16}$，$P(乙获胜) = \frac{11}{16}$
∴ $P(甲获胜) ≠ P(乙获胜)$，因此这个游戏对双方不公平。
【答案】
(1) $P(甲获胜)=\frac{5}{16}$
(2) 这个游戏对双方不公平，因为甲、乙获胜的概率不相等。
【知识点】
列表法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，解题关键是准确列举出所有等可能的试验结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，判断游戏公平性只需验证双方获胜的概率是否相等即可，整体逻辑清晰，是概率章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
1. (2025·福建中考)在分别写有-1,1,2的三张卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
)。A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道概率题，我们可以按以下思路思考：第一步，先列举出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果；第二步，根据相反数的定义，找出其中两张卡片数字互为相反数的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
首先列出不放回随机抽取两张卡片的所有等可能结果：
共有3种情况，分别为：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,2)$。
根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可知只有$(-1,1)$这1种情况的两个数互为相反数。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率公式
2. 相反数的定义
3. 列举法求概率
【点评】
本题属于基础概率应用题，既考查了对相反数概念的掌握，也考查了对不放回随机事件的结果列举能力，解题时注意不要重复、遗漏列举所有等可能的结果即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道概率题，我们可以按以下思路思考：第一步，先列举出不放回抽取两张卡片的所有等可能结果；第二步，根据相反数的定义，找出其中两张卡片数字互为相反数的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算出最终概率即可。
【解析】
首先列出不放回随机抽取两张卡片的所有等可能结果：
共有3种情况，分别为：$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,2)$。
根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可知只有$(-1,1)$这1种情况的两个数互为相反数。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率公式
2. 相反数的定义
3. 列举法求概率
【点评】
本题属于基础概率应用题，既考查了对相反数概念的掌握，也考查了对不放回随机事件的结果列举能力，解题时注意不要重复、遗漏列举所有等可能的结果即可。
【难度系数】
0.8
2. 关于$x$的方程$x^2 - 3x + m = 0$有两个不相等的实数根，且$m ≥ -3$。若从满足条件的所有整数$m$中，随机选取两个整数，则选取这两个整数的积恰好是负数的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
2. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，利用根的判别式求出m的取值上限，再结合题目给出的m≥-3的限制，确定m的取值范围；第二步，找出取值范围内的所有整数m；第三步，先计算从所有整数m中任选2个的总等可能结果数，再找出两个数的积为负数的结果数，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
1. 求m的取值范围：
∵ 关于x的方程$x^2 - 3x + m = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × m = 9 - 4m ＞ 0$
解得：$m ＜ \frac{9}{4} = 2.25$
又
∵ $m ≥ -3$，且m为整数
∴ 符合条件的整数m为：-3、-2、-1、0、1、2，共6个
2. 计算概率：
从6个整数中随机选取2个，不考虑顺序，总共有$\mathrm{C}_6^2 = \frac{6 × 5}{2 × 1} = 15$种等可能的结果
两个整数的积为负数的条件是：两个数一正一负
其中负整数有3个（-3、-2、-1），正整数有2个（1、2），符合条件的结果数为$3 × 2 = 6$种
∴ 所求概率$P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 概率计算
3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是代数综合题，既考查了一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，又考查了概率的计算，解题时需注意先准确罗列所有符合条件的整数m，再明确“两数积为负”等价于两数异号，计算总情况数时要注意是无顺序的选取，避免重复计数。
【难度系数】
0.6
解题分三步思考：第一步，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，利用根的判别式求出m的取值上限，再结合题目给出的m≥-3的限制，确定m的取值范围；第二步，找出取值范围内的所有整数m；第三步，先计算从所有整数m中任选2个的总等可能结果数，再找出两个数的积为负数的结果数，最后根据概率公式计算概率即可。
【解析】
1. 求m的取值范围：
∵ 关于x的方程$x^2 - 3x + m = 0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 1 × m = 9 - 4m ＞ 0$
解得：$m ＜ \frac{9}{4} = 2.25$
又
∵ $m ≥ -3$，且m为整数
∴ 符合条件的整数m为：-3、-2、-1、0、1、2，共6个
2. 计算概率：
从6个整数中随机选取2个，不考虑顺序，总共有$\mathrm{C}_6^2 = \frac{6 × 5}{2 × 1} = 15$种等可能的结果
两个整数的积为负数的条件是：两个数一正一负
其中负整数有3个（-3、-2、-1），正整数有2个（1、2），符合条件的结果数为$3 × 2 = 6$种
∴ 所求概率$P = \frac{符合条件的结果数}{总结果数} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 概率计算
3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是代数综合题，既考查了一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，又考查了概率的计算，解题时需注意先准确罗列所有符合条件的整数m，再明确“两数积为负”等价于两数异号，计算总情况数时要注意是无顺序的选取，避免重复计数。
【难度系数】
0.6
