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3. (2025·安徽中考)在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示)。现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算天平恢复平衡的概率，需先明确概率的计算方法：概率等于符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数。首先根据天平平衡的条件，算出需要给左端添加的两件物品的总质量；再枚举从四件物品中随机选两件的所有等可能结果，从中找出满足总质量要求的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
第一步：计算左端需要添加的物品总质量
天平平衡时左右两端质量相等，已知右端质量为70g，左端原有质量20g，因此需要添加的两件物品总质量为：$70-20=50\ \mathrm{g}$。
第二步：枚举所有选取两件物品的等可能结果
从10g、20g、30g、40g四件物品中任选两件，不考虑选取顺序，共有以下6种等可能的结果：
$(10,20)$总质量30g、$(10,30)$总质量40g、$(10,40)$总质量50g、$(20,30)$总质量50g、$(20,40)$总质量60g、$(30,40)$总质量70g。
第三步：计算符合条件的情况数及概率
其中总质量为50g的结果有2种，因此天平恢复平衡的概率为：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
简单概率计算；组合枚举；天平平衡条件
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查概率的计算，解题的核心是先确定添加物品的总质量要求，再准确枚举所有可能的选取情况，注意枚举时不要重复或遗漏，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算天平恢复平衡的概率，需先明确概率的计算方法：概率等于符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数。首先根据天平平衡的条件，算出需要给左端添加的两件物品的总质量；再枚举从四件物品中随机选两件的所有等可能结果，从中找出满足总质量要求的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
第一步：计算左端需要添加的物品总质量
天平平衡时左右两端质量相等，已知右端质量为70g，左端原有质量20g，因此需要添加的两件物品总质量为：$70-20=50\ \mathrm{g}$。
第二步：枚举所有选取两件物品的等可能结果
从10g、20g、30g、40g四件物品中任选两件，不考虑选取顺序，共有以下6种等可能的结果：
$(10,20)$总质量30g、$(10,30)$总质量40g、$(10,40)$总质量50g、$(20,30)$总质量50g、$(20,40)$总质量60g、$(30,40)$总质量70g。
第三步：计算符合条件的情况数及概率
其中总质量为50g的结果有2种，因此天平恢复平衡的概率为：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
简单概率计算；组合枚举；天平平衡条件
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查概率的计算，解题的核心是先确定添加物品的总质量要求，再准确枚举所有可能的选取情况，注意枚举时不要重复或遗漏，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
4. 如图,有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花,其中红桃、方块为红色,黑桃、梅花为黑色,小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后,摸出一张,将剩余3张洗匀后再摸出一张。
(1)用画树状图或列表的方法表示两次摸牌所有可能出现的结果；
(2)求摸出的两张牌同为红色的概率。
(1)用画树状图或列表的方法表示两次摸牌所有可能出现的结果；
(2)求摸出的两张牌同为红色的概率。
答案
4. (1) 见
4. (2) $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
对于第(1)问：本次摸牌属于不放回试验，第一次摸牌有4种等可能的选择，摸走1张后剩余3张，第二次摸牌对应每个第一次的结果有3种选择，我们可以通过画树状图的方法，按第一次、第二次的摸牌顺序枚举所有等可能的结果。
对于第(2)问：先明确红色纸牌是红桃A和方块B，共2张；从树状图里筛选出两次摸牌均为红色的结果数，再根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$代入计算即可得到对应概率。
【解析】
(1) 画树状图枚举所有结果：
第一次摸牌共有4种等可能情况：A、B、C、D；
若第一次摸A，第二次可摸B、C、D；
若第一次摸B，第二次可摸A、C、D；
若第一次摸C，第二次可摸A、B、D；
若第一次摸D，第二次可摸A、B、C；
最终得到所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，共12种。
(2) 由题意得红色纸牌为红桃A、方块B共2张，在上述12种等可能结果中，两张牌同为红色的结果有(A,B)、(B,A)共2种。
代入概率公式计算：$P(两张同为红色)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 见
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
树状图法，概率公式，不放回试验
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查用树状图枚举不放回事件所有等可能结果的能力，解题时需要注意区分放回试验和不放回试验的计数差异，准确筛选符合要求的结果即可正确求解。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问：本次摸牌属于不放回试验，第一次摸牌有4种等可能的选择，摸走1张后剩余3张，第二次摸牌对应每个第一次的结果有3种选择，我们可以通过画树状图的方法，按第一次、第二次的摸牌顺序枚举所有等可能的结果。
对于第(2)问：先明确红色纸牌是红桃A和方块B，共2张；从树状图里筛选出两次摸牌均为红色的结果数，再根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$代入计算即可得到对应概率。
【解析】
(1) 画树状图枚举所有结果：
第一次摸牌共有4种等可能情况：A、B、C、D；
若第一次摸A，第二次可摸B、C、D；
若第一次摸B，第二次可摸A、C、D；
若第一次摸C，第二次可摸A、B、D；
若第一次摸D，第二次可摸A、B、C；
最终得到所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)，共12种。
(2) 由题意得红色纸牌为红桃A、方块B共2张，在上述12种等可能结果中，两张牌同为红色的结果有(A,B)、(B,A)共2种。
代入概率公式计算：$P(两张同为红色)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 见
(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
树状图法，概率公式，不放回试验
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查用树状图枚举不放回事件所有等可能结果的能力，解题时需要注意区分放回试验和不放回试验的计数差异，准确筛选符合要求的结果即可正确求解。
【难度系数】
0.7
5. 小莉的爸爸只买到了一张科普报告会的门票，小莉和哥哥两人都很想去。哥哥想了一个办法，他拿了八张扑克牌，将牌面数字为1,2,3,5的四张牌给小莉，将牌面数字为4,6,7,8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌上的数字相加，若和为奇数，则小莉去；若和为偶数，则哥哥去。
(1)请用列表的方法求小莉去听科普报告会的概率。
(2)哥哥设计的游戏规则对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。
(1)请用列表的方法求小莉去听科普报告会的概率。
(2)哥哥设计的游戏规则对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。
答案
5. (1)列表如下：
| | 4 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 13 |
共有 16 种等可能的结果,其中,抽出的两张扑克牌上的数字之和为奇数的结果有 10 种,所以小莉去听科普报告会的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$
5. (2) 由表格知,抽出的两张扑克牌的数字之和为偶数的结果有 6 种,所以哥哥去听科普报告会的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$,所以游戏规则对双方不公平。 游戏规则可改为:若和小于9,则小莉去;若和大于9,则哥哥去;若和等于9,则游戏重来(答案不唯一)
| | 4 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 13 |
共有 16 种等可能的结果,其中,抽出的两张扑克牌上的数字之和为奇数的结果有 10 种,所以小莉去听科普报告会的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$
5. (2) 由表格知,抽出的两张扑克牌的数字之和为偶数的结果有 6 种,所以哥哥去听科普报告会的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$,所以游戏规则对双方不公平。 游戏规则可改为:若和小于9,则小莉去;若和大于9,则哥哥去;若和等于9,则游戏重来(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要计算小莉去的概率，也就是两数之和为奇数的概率，首先用列表法列举出两人抽牌求和的所有等可能结果，再统计和为奇数的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
(2) 判断游戏是否公平，只需比较小莉和哥哥获胜的概率是否相等，若相等则公平，否则不公平；修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
(1) 根据题意列表如下：
| | 4 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 13 |
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两张扑克牌上的数字之和为奇数的结果有10种，因此小莉去听科普报告会的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
(2) 由表格可得，两张扑克牌的数字之和为偶数的结果有6种，因此哥哥去听科普报告会的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$，两人获胜概率不相等，所以游戏规则对双方不公平。
公平的游戏规则可设计为：若和小于9，则小莉去；若和大于9，则哥哥去；若和等于9，则游戏重来（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $\frac{5}{8}$
(2) 游戏规则不公平；公平规则示例：若和小于9，则小莉去，若和大于9，则哥哥去，若和等于9，则重新抽取（答案不唯一）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题核心是通过列表法不重不漏地列出所有等可能事件，再结合概率公式计算对应概率，同时要明确游戏公平性的判断依据是双方获胜概率相等，修改规则时只要满足该依据即可，题型灵活度较高。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算小莉去的概率，也就是两数之和为奇数的概率，首先用列表法列举出两人抽牌求和的所有等可能结果，再统计和为奇数的结果数，根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
(2) 判断游戏是否公平，只需比较小莉和哥哥获胜的概率是否相等，若相等则公平，否则不公平；修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
(1) 根据题意列表如下：
| | 4 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 9 | 11 | 12 | 13 |
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两张扑克牌上的数字之和为奇数的结果有10种，因此小莉去听科普报告会的概率为$\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$。
(2) 由表格可得，两张扑克牌的数字之和为偶数的结果有6种，因此哥哥去听科普报告会的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。因为$\frac{5}{8}＞\frac{3}{8}$，两人获胜概率不相等，所以游戏规则对双方不公平。
公平的游戏规则可设计为：若和小于9，则小莉去；若和大于9，则哥哥去；若和等于9，则游戏重来（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) $\frac{5}{8}$
(2) 游戏规则不公平；公平规则示例：若和小于9，则小莉去，若和大于9，则哥哥去，若和等于9，则重新抽取（答案不唯一）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题核心是通过列表法不重不漏地列出所有等可能事件，再结合概率公式计算对应概率，同时要明确游戏公平性的判断依据是双方获胜概率相等，修改规则时只要满足该依据即可，题型灵活度较高。
【难度系数】
0.7
