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利用列表或画树状图的方法求概率时,应注意各种结果出现的可能性必须相同。如果不相同,可以通过分割等方法,把每个事件的结果变为可能性
利用列表或画树状图的方法求概率时,应注意各种结果出现的可能性必须相同。如果不相同,可以通过分割等方法,把每个事件的结果变为可能性
相同
。答案
相同
解析
【分析】
解答本题首先要明确列表法、树状图法求概率的适用条件：这两种计算概率的方法，要求试验中所有可能出现的结果的可能性必须相等，否则计算出的概率会出现错误。如果原本各结果的可能性不相同，我们就需要通过分割等手段对结果进行调整，让所有结果的可能性保持一致，满足方法的适用要求，因此此处要填的是表示可能性一致的描述。
【解析】
列表法和画树状图法都属于列举法求概率的常用方法，其适用前提为：试验的所有可能结果数量有限，且每一种结果出现的可能性相等。若初始情况下各结果出现的可能性不相同，需通过分割等方法调整，使每个事件对应的结果出现的可能性相同，才能使用上述方法正确计算概率，因此横线处应填入“相同”。
【答案】
相同
【知识点】
等可能事件；列举法求概率
【点评】
本题是基础概念填空题，考查列举法求概率的核心适用条件，主要目的是强化学生对概率计算基础规则的记忆，夯实相关知识基础。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确列表法、树状图法求概率的适用条件：这两种计算概率的方法，要求试验中所有可能出现的结果的可能性必须相等，否则计算出的概率会出现错误。如果原本各结果的可能性不相同，我们就需要通过分割等手段对结果进行调整，让所有结果的可能性保持一致，满足方法的适用要求，因此此处要填的是表示可能性一致的描述。
【解析】
列表法和画树状图法都属于列举法求概率的常用方法，其适用前提为：试验的所有可能结果数量有限，且每一种结果出现的可能性相等。若初始情况下各结果出现的可能性不相同，需通过分割等方法调整，使每个事件对应的结果出现的可能性相同，才能使用上述方法正确计算概率，因此横线处应填入“相同”。
【答案】
相同
【知识点】
等可能事件；列举法求概率
【点评】
本题是基础概念填空题，考查列举法求概率的核心适用条件，主要目的是强化学生对概率计算基础规则的记忆，夯实相关知识基础。
【难度系数】
0.9
1. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的5个扇形，配得紫色（两个转盘分别转出一个红色，一个蓝色）的概率是(
A.$\frac{13}{25}$
B.$\frac{6}{25}$
C.$\frac{36}{25}$
D.$\frac{6}{5}$
A
)。A.$\frac{13}{25}$
B.$\frac{6}{25}$
C.$\frac{36}{25}$
D.$\frac{6}{5}$
答案
1. A
解析
【分析】
要计算配得紫色的概率，首先明确配紫色的条件是两个转盘分别转出1个红色和1个蓝色，分两种互斥的情况讨论：①第一个转盘转出红色，第二个转盘转出蓝色；②第一个转盘转出蓝色，第二个转盘转出红色。先分别求出两个转盘转出红色、蓝色的概率，再分别计算两种情况的概率，最后相加得到总概率即可。
【解析】
解：由图可知，两个转盘都被平均分成5等份，每份被转出的概率相等。
左边转盘：红色区域共2份，蓝色区域共3份，因此$P(\mathrm{左红})=\frac{2}{5}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{3}{5}$；
右边转盘：红色区域共3份，蓝色区域共2份，因此$P(\mathrm{右红})=\frac{3}{5}$，$P(\mathrm{右蓝})=\frac{2}{5}$。
配成紫色的情况有两种：
1. 左红右蓝：概率为$P_1=P(\mathrm{左红}) × P(\mathrm{右蓝})=\frac{2}{5} × \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$；
2. 左蓝右红：概率为$P_2=P(\mathrm{左蓝}) × P(\mathrm{右红})=\frac{3}{5} × \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$。
因此配得紫色的总概率为$P=P_1+P_2=\frac{4}{25}+\frac{9}{25}=\frac{13}{25}$。
【答案】
A
【知识点】
两步事件概率计算；概率乘法原理；概率加法原理
【点评】
本题是概率的基础常考题，解题核心是理清“一红一蓝”的两种不同情况，避免漏算其中某一种情况，熟练掌握分步、分类的概率计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算配得紫色的概率，首先明确配紫色的条件是两个转盘分别转出1个红色和1个蓝色，分两种互斥的情况讨论：①第一个转盘转出红色，第二个转盘转出蓝色；②第一个转盘转出蓝色，第二个转盘转出红色。先分别求出两个转盘转出红色、蓝色的概率，再分别计算两种情况的概率，最后相加得到总概率即可。
【解析】
解：由图可知，两个转盘都被平均分成5等份，每份被转出的概率相等。
左边转盘：红色区域共2份，蓝色区域共3份，因此$P(\mathrm{左红})=\frac{2}{5}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{3}{5}$；
右边转盘：红色区域共3份，蓝色区域共2份，因此$P(\mathrm{右红})=\frac{3}{5}$，$P(\mathrm{右蓝})=\frac{2}{5}$。
配成紫色的情况有两种：
1. 左红右蓝：概率为$P_1=P(\mathrm{左红}) × P(\mathrm{右蓝})=\frac{2}{5} × \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$；
2. 左蓝右红：概率为$P_2=P(\mathrm{左蓝}) × P(\mathrm{右红})=\frac{3}{5} × \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$。
因此配得紫色的总概率为$P=P_1+P_2=\frac{4}{25}+\frac{9}{25}=\frac{13}{25}$。
【答案】
A
【知识点】
两步事件概率计算；概率乘法原理；概率加法原理
【点评】
本题是概率的基础常考题，解题核心是理清“一红一蓝”的两种不同情况，避免漏算其中某一种情况，熟练掌握分步、分类的概率计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏:分别旋转两个转盘,若转盘①转出红色,转盘②转出蓝色即可配成紫色,则配得紫色的概率是
$\frac{1}{12}$
。答案
2. $\frac{1}{12}$
解析
【分析】
要计算配得紫色的概率，首先明确配成紫色的条件是转盘①转出红色，且转盘②转出蓝色，两个转盘的转动结果互不影响，属于独立事件。我们可以先分别计算两个事件单独发生的概率，再根据独立事件同时发生的概率计算规则求解，也可以通过列举所有等可能的结果，找到符合条件的结果数，利用概率公式计算。第一步先分析转盘①：整个转盘圆周角为360°，红色区域圆心角为120°，可求出转出红色的概率；第二步分析转盘②：转盘被平均分成4个全等的扇形，蓝色占1份，可求出转出蓝色的概率；最后将两个概率相乘得到最终结果。
【解析】
方法1：独立事件概率计算
1. 计算转盘①转出红色的概率：
转盘①总圆心角为360°，红色区域圆心角为120°，
则$P(\mathrm{转出红色})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
2. 计算转盘②转出蓝色的概率：
转盘②被平均分为4个相等的扇形，蓝色占1份，
则$P(\mathrm{转出蓝色})=\frac{1}{4}$。
3. 两个事件为独立事件，同时发生的概率为两个概率的乘积：
$P(\mathrm{配成紫色})=P(\mathrm{转出红色}) × P(\mathrm{转出蓝色})=\frac{1}{3} × \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。
方法2：列举法
转盘①的等可能结果有3种：红、橙、黄；转盘②的等可能结果有4种：绿、青、白、蓝。
两个转盘组合的所有等可能结果共有$3×4=12$种，其中只有“红+蓝”这1种结果可以配成紫色，
因此$P(\mathrm{配成紫色})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{12}$。
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 独立事件概率
3. 扇形占比计算
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题的核心是明确配紫色的条件，准确计算两个独立事件各自的概率，既可以用独立事件概率乘法公式求解，也可以通过列表或树状图列举所有结果计算，解题时要注意区分事件是否为等可能事件，避免计算占比时出错。
【难度系数】
0.75
要计算配得紫色的概率，首先明确配成紫色的条件是转盘①转出红色，且转盘②转出蓝色，两个转盘的转动结果互不影响，属于独立事件。我们可以先分别计算两个事件单独发生的概率，再根据独立事件同时发生的概率计算规则求解，也可以通过列举所有等可能的结果，找到符合条件的结果数，利用概率公式计算。第一步先分析转盘①：整个转盘圆周角为360°，红色区域圆心角为120°，可求出转出红色的概率；第二步分析转盘②：转盘被平均分成4个全等的扇形，蓝色占1份，可求出转出蓝色的概率；最后将两个概率相乘得到最终结果。
【解析】
方法1：独立事件概率计算
1. 计算转盘①转出红色的概率：
转盘①总圆心角为360°，红色区域圆心角为120°，
则$P(\mathrm{转出红色})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
2. 计算转盘②转出蓝色的概率：
转盘②被平均分为4个相等的扇形，蓝色占1份，
则$P(\mathrm{转出蓝色})=\frac{1}{4}$。
3. 两个事件为独立事件，同时发生的概率为两个概率的乘积：
$P(\mathrm{配成紫色})=P(\mathrm{转出红色}) × P(\mathrm{转出蓝色})=\frac{1}{3} × \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$。
方法2：列举法
转盘①的等可能结果有3种：红、橙、黄；转盘②的等可能结果有4种：绿、青、白、蓝。
两个转盘组合的所有等可能结果共有$3×4=12$种，其中只有“红+蓝”这1种结果可以配成紫色，
因此$P(\mathrm{配成紫色})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{1}{12}$。
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 独立事件概率
3. 扇形占比计算
【点评】
本题是概率应用的基础题型，解题的核心是明确配紫色的条件，准确计算两个独立事件各自的概率，既可以用独立事件概率乘法公式求解，也可以通过列表或树状图列举所有结果计算，解题时要注意区分事件是否为等可能事件，避免计算占比时出错。
【难度系数】
0.75
3. 一个盒子里装有2个红球、1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同。从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
3. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题时首先明确：红色和蓝色混合可配成紫色，即两次摸球需恰好摸到1个红球和1个蓝球（摸球顺序不限）。本题是不放回的两步摸球试验，所有结果都是等可能的，因此可以先计算两次摸球的总等可能结果数，再分别计算“先红后蓝”“先蓝后红”两类符合条件的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）求解即可。
【解析】
要使两次摸到的球能配成紫色，需两次分别摸到红球和蓝球（顺序不限）。
1. 计算总等可能结果数：第一次摸球时共有5个球，有5种等可能结果，不放回后第二次摸球剩4个球，有4种等可能结果，因此总共有$5×4=20$种等可能的结果。
2. 计算符合条件的结果数：
① 先摸到红球、后摸到蓝球：红球共2个，第一次摸红球有2种可能，剩余蓝球共2个，第二次摸蓝球有2种可能，共$2×2=4$种结果；
② 先摸到蓝球、后摸到红球：蓝球共2个，第一次摸蓝球有2种可能，剩余红球共2个，第二次摸红球有2种可能，共$2×2=4$种结果；
符合条件的结果总数为$4+4=8$种。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 不放回抽样概率计算
2. 等可能事件概率
3. 两步试验概率求解
【点评】
本题的易错点有两个：一是不清楚配成紫色的颜色组合，二是计算时遗漏其中一种颜色顺序的情况，或误按放回抽样计算。解题时先明确事件成立的条件，再分类计数即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：红色和蓝色混合可配成紫色，即两次摸球需恰好摸到1个红球和1个蓝球（摸球顺序不限）。本题是不放回的两步摸球试验，所有结果都是等可能的，因此可以先计算两次摸球的总等可能结果数，再分别计算“先红后蓝”“先蓝后红”两类符合条件的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）求解即可。
【解析】
要使两次摸到的球能配成紫色，需两次分别摸到红球和蓝球（顺序不限）。
1. 计算总等可能结果数：第一次摸球时共有5个球，有5种等可能结果，不放回后第二次摸球剩4个球，有4种等可能结果，因此总共有$5×4=20$种等可能的结果。
2. 计算符合条件的结果数：
① 先摸到红球、后摸到蓝球：红球共2个，第一次摸红球有2种可能，剩余蓝球共2个，第二次摸蓝球有2种可能，共$2×2=4$种结果；
② 先摸到蓝球、后摸到红球：蓝球共2个，第一次摸蓝球有2种可能，剩余红球共2个，第二次摸红球有2种可能，共$2×2=4$种结果；
符合条件的结果总数为$4+4=8$种。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 不放回抽样概率计算
2. 等可能事件概率
3. 两步试验概率求解
【点评】
本题的易错点有两个：一是不清楚配成紫色的颜色组合，二是计算时遗漏其中一种颜色顺序的情况，或误按放回抽样计算。解题时先明确事件成立的条件，再分类计数即可正确求解。
【难度系数】
0.7
4. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则可配得紫色的概率是
$\frac{5}{12}$
。答案
4. $\frac{5}{12}$
解析
【分析】
要计算配得紫色的概率，首先明确配成紫色的条件：两个转盘一个转出红色、另一个转出蓝色，包含两种互斥的情况：①第一个转盘转红，第二个转盘转蓝；②第一个转盘转蓝，第二个转盘转红。首先根据转盘各区域的圆心角，分别算出两个转盘转出红色、蓝色的概率，再分别计算两种符合条件的情况的概率，相加即可得到总概率。
【解析】
首先计算两个转盘转出红、蓝颜色的概率：
第一个转盘：红色区域圆心角为$90°$，因此
$P(红\_\_\_\_\_\_1)=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，$P(蓝\_\_\_\_\_\_1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
第二个转盘：红色区域圆心角为$120°$，因此
$P(红\_\_\_\_\_\_2)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(蓝\_\_\_\_\_\_2)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
配成紫色的两种情况概率分别为：
1. 第一个转红、第二个转蓝：$P_1=P(红\_\_\_\_\_\_1) × P(蓝\_\_\_\_\_\_2)=\frac{1}{4} × \frac{2}{3}=\frac{2}{12}$
2. 第一个转蓝、第二个转红：$P_2=P(蓝\_\_\_\_\_\_1) × P(红\_\_\_\_\_\_2)=\frac{3}{4} × \frac{1}{3}=\frac{3}{12}$
总概率$P=P_1+P_2=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
几何概率，分步概率计算，互斥事件概率加法
【点评】
本题需要先理解几何概率的计算方法，即区域概率为对应圆心角占周角的比例，解题时注意不要漏算“一红一蓝”的两种不同情况，掌握概率的乘法和加法规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
要计算配得紫色的概率，首先明确配成紫色的条件：两个转盘一个转出红色、另一个转出蓝色，包含两种互斥的情况：①第一个转盘转红，第二个转盘转蓝；②第一个转盘转蓝，第二个转盘转红。首先根据转盘各区域的圆心角，分别算出两个转盘转出红色、蓝色的概率，再分别计算两种符合条件的情况的概率，相加即可得到总概率。
【解析】
首先计算两个转盘转出红、蓝颜色的概率：
第一个转盘：红色区域圆心角为$90°$，因此
$P(红\_\_\_\_\_\_1)=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，$P(蓝\_\_\_\_\_\_1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
第二个转盘：红色区域圆心角为$120°$，因此
$P(红\_\_\_\_\_\_2)=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(蓝\_\_\_\_\_\_2)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
配成紫色的两种情况概率分别为：
1. 第一个转红、第二个转蓝：$P_1=P(红\_\_\_\_\_\_1) × P(蓝\_\_\_\_\_\_2)=\frac{1}{4} × \frac{2}{3}=\frac{2}{12}$
2. 第一个转蓝、第二个转红：$P_2=P(蓝\_\_\_\_\_\_1) × P(红\_\_\_\_\_\_2)=\frac{3}{4} × \frac{1}{3}=\frac{3}{12}$
总概率$P=P_1+P_2=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
几何概率，分步概率计算，互斥事件概率加法
【点评】
本题需要先理解几何概率的计算方法，即区域概率为对应圆心角占周角的比例，解题时注意不要漏算“一红一蓝”的两种不同情况，掌握概率的乘法和加法规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.65
5. 如图，A转盘被分成面积相等的3个扇形，并分别标上数字1,2,3；B转盘被分成其中一个圆心角是$120°$的2个扇形，并分别标上数字4,5。若同时转动两个转盘各一次（若指针落在分界线上，则重新转动），转盘停止后，两指针指向的数字之和为偶数的概率是
$\frac{4}{9}$
。答案
5. $\frac{4}{9}$
解析
【分析】
要计算两指针指向数字之和为偶数的概率，首先明确：两个数字之和为偶数等价于两个数字同奇或同偶。首先分析两个转盘的概率特征：A转盘3个扇形面积相等，每个数字出现概率均为$\frac{1}{3}$；B转盘可根据圆心角占比算出指向4、5的概率，再通过分类计算两种符合条件的情况的概率之和即可；也可以将B转盘转化为3个等面积扇形（2个标4，1个标5），用列表法统计所有等可能结果和符合条件的结果数，再用古典概型公式计算。
【解析】
步骤1：分析A转盘的概率：
A转盘被平均分成3个面积相等的扇形，故指向1、2、3的概率均为$\frac{1}{3}$，其中奇数为1、3，偶数为2，因此：
$P(\mathrm{A转出奇数})=\frac{2}{3}$，$P(\mathrm{A转出偶数})=\frac{1}{3}$。
步骤2：分析B转盘的概率：
B转盘中标5的扇形圆心角为$120°$，标4的扇形圆心角为$360°-120°=240°$，因此：
$P(\mathrm{B转出5（奇数）})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{B转出4（偶数）})=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
步骤3：计算和为偶数的概率：
两数和为偶数的情况分为两类，两类事件互斥：
①A转出奇数且B转出奇数，概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$；
②A转出偶数且B转出偶数，概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$。
因此总概率为$\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
1. 几何概率计算
2. 互斥事件概率加法
3. 奇偶性判断
【点评】
本题结合扇形圆心角与概率知识，考查学生对概率计算的掌握，解题时需先根据几何特征确定单个事件的概率，再按和为偶数的条件分类计算，注意分类时不要漏项或重复计算。
【难度系数】
0.6
要计算两指针指向数字之和为偶数的概率，首先明确：两个数字之和为偶数等价于两个数字同奇或同偶。首先分析两个转盘的概率特征：A转盘3个扇形面积相等，每个数字出现概率均为$\frac{1}{3}$；B转盘可根据圆心角占比算出指向4、5的概率，再通过分类计算两种符合条件的情况的概率之和即可；也可以将B转盘转化为3个等面积扇形（2个标4，1个标5），用列表法统计所有等可能结果和符合条件的结果数，再用古典概型公式计算。
【解析】
步骤1：分析A转盘的概率：
A转盘被平均分成3个面积相等的扇形，故指向1、2、3的概率均为$\frac{1}{3}$，其中奇数为1、3，偶数为2，因此：
$P(\mathrm{A转出奇数})=\frac{2}{3}$，$P(\mathrm{A转出偶数})=\frac{1}{3}$。
步骤2：分析B转盘的概率：
B转盘中标5的扇形圆心角为$120°$，标4的扇形圆心角为$360°-120°=240°$，因此：
$P(\mathrm{B转出5（奇数）})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{B转出4（偶数）})=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
步骤3：计算和为偶数的概率：
两数和为偶数的情况分为两类，两类事件互斥：
①A转出奇数且B转出奇数，概率为$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$；
②A转出偶数且B转出偶数，概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$。
因此总概率为$\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
1. 几何概率计算
2. 互斥事件概率加法
3. 奇偶性判断
【点评】
本题结合扇形圆心角与概率知识，考查学生对概率计算的掌握，解题时需先根据几何特征确定单个事件的概率，再按和为偶数的条件分类计算，注意分类时不要漏项或重复计算。
【难度系数】
0.6
