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1. 在 $△ ABC$ 中, 如果 $∠ A:∠ B:∠ C=$$1:2:3$, 且 $AB=6$, 那么 $AC=$
$3\sqrt{3}$
.答案
1. $3\sqrt{3}$
解析
【分析】首先根据三角形内角和为180°，结合三个内角的度数比，可计算出各内角的度数，判断出△ABC是含30°角的直角三角形，且AB为斜边；再根据直角三角形的边角关系或者勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
根据三角形内角和定理得：$x+2x+3x=180°$，
解得$x=30°$，
∴$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，斜边$AB=6$。
方法1：利用勾股定理求解
∵$∠ A=30°$，$∠ C=90°$，
∴30°角对的直角边$BC=\frac{1}{2}AB=3$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
方法2：利用三角函数求解
在$Rt△ ABC$中，$\cos∠ A=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】$3\sqrt{3}$
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】本题属于基础常考题，解题的核心是先通过内角比例关系判断三角形为含30°角的特殊直角三角形，再结合直角三角形的相关性质计算边长，要求学生熟练掌握特殊直角三角形的特征和常规计算方法。
【难度系数】0.7
【解析】
解：已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
根据三角形内角和定理得：$x+2x+3x=180°$，
解得$x=30°$，
∴$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，$∠ C=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，斜边$AB=6$。
方法1：利用勾股定理求解
∵$∠ A=30°$，$∠ C=90°$，
∴30°角对的直角边$BC=\frac{1}{2}AB=3$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
方法2：利用三角函数求解
在$Rt△ ABC$中，$\cos∠ A=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC=AB·\cos30°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
【答案】$3\sqrt{3}$
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】本题属于基础常考题，解题的核心是先通过内角比例关系判断三角形为含30°角的特殊直角三角形，再结合直角三角形的相关性质计算边长，要求学生熟练掌握特殊直角三角形的特征和常规计算方法。
【难度系数】0.7
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 7$，$BC = 3$，则$\cos A =$
$\dfrac{2\sqrt{10}}{7}$
.答案
2. $\dfrac{2\sqrt{10}}{7}$
解析
【分析】
要求$\cos A$的值，首先要明确锐角余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB=7$，但$∠ A$的邻边$AC$长度未知，因此第一步先利用勾股定理求出$AC$的长度，第二步再代入余弦定义式计算即可，计算时注意将二次根式化为最简形式。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
代入$AC=2\sqrt{10}$，$AB=7$，可得：
$\cos A = \frac{2\sqrt{10}}{7}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{10}}{7}$
【知识点】
勾股定理；余弦的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，主要考查锐角三角函数定义的应用和勾股定理的计算，解题时要注意准确区分锐角的对边和邻边，最终运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要求$\cos A$的值，首先要明确锐角余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中已知$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB=7$，但$∠ A$的邻边$AC$长度未知，因此第一步先利用勾股定理求出$AC$的长度，第二步再代入余弦定义式计算即可，计算时注意将二次根式化为最简形式。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
根据余弦的定义，$\cos A = \frac{∠ A的邻边}{斜边} = \frac{AC}{AB}$
代入$AC=2\sqrt{10}$，$AB=7$，可得：
$\cos A = \frac{2\sqrt{10}}{7}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{10}}{7}$
【知识点】
勾股定理；余弦的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，主要考查锐角三角函数定义的应用和勾股定理的计算，解题时要注意准确区分锐角的对边和邻边，最终运算结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°, AC = 5, AB = 13$，则$\sin A + \cos B =$
$\dfrac{24}{13}$
.答案
3. $\dfrac{24}{13}$
解析
【分析】
本题是解直角三角形的基础计算题，解题思路可按以下步骤展开：首先，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可先利用勾股定理求出第三条边BC的长度；其次，根据锐角正弦、余弦的定义，分别计算sinA和cosB的值；最后将两个值相加即可得到结果。也可利用“直角三角形中两锐角互余，cosB=sinA”的规律简化计算。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$
则$\sin A + \cos B=\frac{12}{13}+\frac{12}{13}=\frac{24}{13}$
【答案】
$\dfrac{24}{13}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题，重点考查对勾股定理和锐角三角函数定义的理解与应用，解题时注意找准对应角的对边、邻边，避免混淆三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形的基础计算题，解题思路可按以下步骤展开：首先，已知直角三角形的斜边和一条直角边，可先利用勾股定理求出第三条边BC的长度；其次，根据锐角正弦、余弦的定义，分别计算sinA和cosB的值；最后将两个值相加即可得到结果。也可利用“直角三角形中两锐角互余，cosB=sinA”的规律简化计算。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$
则$\sin A + \cos B=\frac{12}{13}+\frac{12}{13}=\frac{24}{13}$
【答案】
$\dfrac{24}{13}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题，重点考查对勾股定理和锐角三角函数定义的理解与应用，解题时注意找准对应角的对边、邻边，避免混淆三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.8
4.已知$α$为锐角，且$\tanα=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，那么$α=$
$30°$
答案
4. $30°$
解析
【分析】
本题已知锐角α的正切值，要求α的度数，解题核心是回忆30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的三角函数值，将已知的tanα的数值和特殊角的正切值做对应，就能快速求出α的度数。
【解析】
首先牢记特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$
已知α是锐角，且$\tanα=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，和$\tan30°$的数值完全相等，因此可得α=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的识记，只要熟练掌握30°、45°、60°的三角函数值，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题已知锐角α的正切值，要求α的度数，解题核心是回忆30°、45°、60°这几个常见特殊锐角的三角函数值，将已知的tanα的数值和特殊角的正切值做对应，就能快速求出α的度数。
【解析】
首先牢记特殊锐角的正切值：
$\tan30°=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$
已知α是锐角，且$\tanα=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，和$\tan30°$的数值完全相等，因此可得α=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的识记，只要熟练掌握30°、45°、60°的三角函数值，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
5.已知α为锐角，满足$1 - \sqrt{2}\cosα = 0$，那么$α =$
$45°$
.答案
5. $45°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先对已知等式进行变形，求出cosα的值；第二步结合α是锐角的条件，回忆特殊锐角的三角函数值，找到余弦值等于所求结果的角度即可。
【解析】
解：已知$1 - \sqrt{2}\cosα = 0$，
移项得：$\sqrt{2}\cosα = 1$，
系数化为1得：$\cosα = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α为锐角，且$\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$α = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，只要熟练记忆30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值，结合简单的等式变形就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第一步先对已知等式进行变形，求出cosα的值；第二步结合α是锐角的条件，回忆特殊锐角的三角函数值，找到余弦值等于所求结果的角度即可。
【解析】
解：已知$1 - \sqrt{2}\cosα = 0$，
移项得：$\sqrt{2}\cosα = 1$，
系数化为1得：$\cosα = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α为锐角，且$\cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$α = 45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，只要熟练记忆30°、45°、60°等常见特殊角的三角函数值，结合简单的等式变形就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6.等腰三角形的腰长是10cm，底边长是18cm，则底角的正弦值是
$\dfrac{\sqrt{19}}{10}$
。答案
6. $\dfrac{\sqrt{19}}{10}$
解析
【分析】
要求等腰三角形底角的正弦值，需先将底角放在直角三角形中计算：①结合等腰三角形“三线合一”的性质，过等腰三角形的顶点作底边的高，即可构造出包含底角的直角三角形；②利用勾股定理求出所作的高的长度；③根据锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边长度/斜边长度），代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
设等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10cm（腰长），底边BC=18cm。
过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，因此：
$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×18 = 9\mathrm{cm}$
在Rt△ABD中，AB为斜边，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 9^2} = \sqrt{100 - 81} = \sqrt{19}\ \mathrm{cm}$
底角为∠B，根据正弦的定义，∠B的正弦值为对边AD与斜边AB的比值：
$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{19}}{10}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{19}}{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是三角函数与等腰三角形结合的基础题型，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将所求锐角转化为直角三角形的内角进行计算，解题思路清晰，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.7
要求等腰三角形底角的正弦值，需先将底角放在直角三角形中计算：①结合等腰三角形“三线合一”的性质，过等腰三角形的顶点作底边的高，即可构造出包含底角的直角三角形；②利用勾股定理求出所作的高的长度；③根据锐角正弦的定义（锐角的正弦=对边长度/斜边长度），代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
设等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10cm（腰长），底边BC=18cm。
过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，因此：
$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×18 = 9\mathrm{cm}$
在Rt△ABD中，AB为斜边，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 9^2} = \sqrt{100 - 81} = \sqrt{19}\ \mathrm{cm}$
底角为∠B，根据正弦的定义，∠B的正弦值为对边AD与斜边AB的比值：
$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{19}}{10}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{19}}{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是三角函数与等腰三角形结合的基础题型，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将所求锐角转化为直角三角形的内角进行计算，解题思路清晰，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.7
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{4}{5}$，$AB = 10$，则$AC = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$6$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路可分为两步：①首先根据锐角三角函数中正弦的定义，明确$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，结合已知的$\sin A$的值和斜边$AB$的长度，先求出$∠ A$的对边$BC$的长度；②再利用勾股定理，在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知的$AB$和求出的$BC$的长度，即可计算出$AC$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$，
已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=10$，代入得：
$\frac{BC}{10}=\frac{4}{5}$，解得$BC=10×\frac{4}{5}=8$。
再根据勾股定理：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
则$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（边长为正，取算术平方根）。
【答案】
$6$
【知识点】
1. 正弦函数的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，核心考查正弦函数的概念和勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决这类问题的前提，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路可分为两步：①首先根据锐角三角函数中正弦的定义，明确$\sin A$是$∠ A$的对边与斜边的比值，结合已知的$\sin A$的值和斜边$AB$的长度，先求出$∠ A$的对边$BC$的长度；②再利用勾股定理，在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入已知的$AB$和求出的$BC$的长度，即可计算出$AC$的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$，
已知$\sin A=\frac{4}{5}$，$AB=10$，代入得：
$\frac{BC}{10}=\frac{4}{5}$，解得$BC=10×\frac{4}{5}=8$。
再根据勾股定理：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
则$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（边长为正，取算术平方根）。
【答案】
$6$
【知识点】
1. 正弦函数的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，核心考查正弦函数的概念和勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决这类问题的前提，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 在$△ ABC$中，已知$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，并且满足$5a - 3c = 0,(2b)^2 = 4(c + a)(c - a)$，那么$\sin A + \sin B =$
$\dfrac{7}{5}$
.答案
8. $\dfrac{7}{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知的两个边的关系式入手：第一步先化简第二个等式，推导得到三边的平方关系，判断三角形的形状；再利用第一个等式得到a和c的比例关系，通过设参数的方法表示出三边长度，最后根据直角三角形中锐角正弦的定义计算两个角的正弦值之和即可。
【解析】
1. 化简第二个等式判断三角形形状：
已知$(2b)^2 = 4(c + a)(c - a)$，左边展开得$4b^2$，右边利用平方差公式展开得$4(c^2 - a^2)$，等式两边同时除以4得：
$b^2 = c^2 - a^2$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
2. 由第一个等式得到a与c的比例，设参数表示三边长：
已知$5a - 3c = 0$，变形得$5a = 3c$，即$\frac{a}{c} = \frac{3}{5}$。
设$a = 3k$（$k＞0$），则$c = 5k$，代入$a^2 + b^2 = c^2$求b：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = \sqrt{25k^2 - 9k^2} = \sqrt{16k^2} = 4k$。
3. 计算$\sin A + \sin B$：
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，因此：
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$，$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$，
所以$\sin A + \sin B = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$。
【答案】
$\dfrac{7}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；锐角正弦的定义；比例的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是先通过代数变形判定三角形为直角三角形，再结合边长比例关系计算三角函数值，解题时注意设参数法的应用可以简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两个边的关系式入手：第一步先化简第二个等式，推导得到三边的平方关系，判断三角形的形状；再利用第一个等式得到a和c的比例关系，通过设参数的方法表示出三边长度，最后根据直角三角形中锐角正弦的定义计算两个角的正弦值之和即可。
【解析】
1. 化简第二个等式判断三角形形状：
已知$(2b)^2 = 4(c + a)(c - a)$，左边展开得$4b^2$，右边利用平方差公式展开得$4(c^2 - a^2)$，等式两边同时除以4得：
$b^2 = c^2 - a^2$，整理得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
2. 由第一个等式得到a与c的比例，设参数表示三边长：
已知$5a - 3c = 0$，变形得$5a = 3c$，即$\frac{a}{c} = \frac{3}{5}$。
设$a = 3k$（$k＞0$），则$c = 5k$，代入$a^2 + b^2 = c^2$求b：
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = \sqrt{25k^2 - 9k^2} = \sqrt{16k^2} = 4k$。
3. 计算$\sin A + \sin B$：
在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，因此：
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$，$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$，
所以$\sin A + \sin B = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$。
【答案】
$\dfrac{7}{5}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；锐角正弦的定义；比例的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是先通过代数变形判定三角形为直角三角形，再结合边长比例关系计算三角函数值，解题时注意设参数法的应用可以简化计算。
【难度系数】
0.7
9.如果将正方形ABCD的对角线BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点$D'$处，那么$\sin∠ BAD' =$
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
.答案
9. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
解析
【分析】
本题未给出正方形的具体边长，因三角函数是边的比值，与边长无关，可先设正方形边长为1简化计算。解题思路如下：①根据正方形的性质求出对角线BD的长度；②由旋转的性质可得旋转后BD'与BD长度相等；③结合正方形的垂直关系判断△ABD'为直角三角形，直角在点B；④用勾股定理求出斜边AD'的长度，最后根据正弦的定义计算∠BAD'的正弦值即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为1，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=1，AB⊥BC，BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∵ BD绕点B旋转得到BD'，点D落在BC延长线的D'处，
∴ BD'=BD=$\sqrt{2}$，且AB⊥BD'（D'在BC延长线上，BC与AB垂直），即∠ABD'=90°，
在Rt△ABD'中，由勾股定理得：
AD'=$\sqrt{AB^2 + BD'^2}=\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$，
根据正弦的定义，$\sin∠BAD' = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BD'}{AD'} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的常见综合题，结合了几何图形性质与三角函数计算，解题的关键是合理设值简化计算，准确找到所求角对应的直角三角形边的关系，考查了学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题未给出正方形的具体边长，因三角函数是边的比值，与边长无关，可先设正方形边长为1简化计算。解题思路如下：①根据正方形的性质求出对角线BD的长度；②由旋转的性质可得旋转后BD'与BD长度相等；③结合正方形的垂直关系判断△ABD'为直角三角形，直角在点B；④用勾股定理求出斜边AD'的长度，最后根据正弦的定义计算∠BAD'的正弦值即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为1，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=1，AB⊥BC，BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∵ BD绕点B旋转得到BD'，点D落在BC延长线的D'处，
∴ BD'=BD=$\sqrt{2}$，且AB⊥BD'（D'在BC延长线上，BC与AB垂直），即∠ABD'=90°，
在Rt△ABD'中，由勾股定理得：
AD'=$\sqrt{AB^2 + BD'^2}=\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$，
根据正弦的定义，$\sin∠BAD' = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BD'}{AD'} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
正方形的性质；旋转的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的常见综合题，结合了几何图形性质与三角函数计算，解题的关键是合理设值简化计算，准确找到所求角对应的直角三角形边的关系，考查了学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.7
10.在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AB:BC = 2:1$，则$\sin\frac{A}{2} =$
$\dfrac{1}{4}$
。答案
10. $\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
本题是等腰三角形结合锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：①首先明确所求的$\frac{A}{2}$是等腰三角形顶角的一半，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可通过作底边上的高，将顶角平分，同时把$\frac{A}{2}$放到直角三角形中；②根据给出的边长比例设未知数，表示出直角三角形中所求角的对边和斜边；③最后利用正弦的定义计算即可。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，且$BD=\frac{1}{2}BC$，即$∠ BAD=\frac{A}{2}$。
设$BC=k$，由$AB:BC=2:1$得$AB=2k$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}k$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin∠ BAD=\frac{\mathrm{对边}BD}{\mathrm{斜边}AB}$，
代入得$\sin\frac{A}{2}=\frac{\frac{1}{2}k}{2k}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，将所求角转化为直角三角形的内角，再结合边长比例和三角函数定义求解，解题时设参数表示边长的方法可简化计算。
【难度系数】
0.8
本题是等腰三角形结合锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：①首先明确所求的$\frac{A}{2}$是等腰三角形顶角的一半，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可通过作底边上的高，将顶角平分，同时把$\frac{A}{2}$放到直角三角形中；②根据给出的边长比例设未知数，表示出直角三角形中所求角的对边和斜边；③最后利用正弦的定义计算即可。
【解析】
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，且$BD=\frac{1}{2}BC$，即$∠ BAD=\frac{A}{2}$。
设$BC=k$，由$AB:BC=2:1$得$AB=2k$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}k$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin∠ BAD=\frac{\mathrm{对边}BD}{\mathrm{斜边}AB}$，
代入得$\sin\frac{A}{2}=\frac{\frac{1}{2}k}{2k}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，将所求角转化为直角三角形的内角，再结合边长比例和三角函数定义求解，解题时设参数表示边长的方法可简化计算。
【难度系数】
0.8
11. 如图6-4-1,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE // AB,DE与外角∠FAC的平
图6-4-1
分线相交于点E.如果DE = 8,AE = 4,那么∠CAD =
图6-4-1
分线相交于点E.如果DE = 8,AE = 4,那么∠CAD =
$30$
度.答案
11. $30$
解析
【分析】
解题时先从角平分线的性质和平角的定义入手，先证明△DAE是直角三角形：AD是内角∠BAC的平分线、AE是外角∠FAC的平分线，两个角加起来是平角180°，所以∠DAE为90°；再结合Rt△ADE的边长关系：斜边DE=8，直角边AE=4，可得AE等于DE的一半，推出AE所对的锐角∠ADE=30°；最后利用平行线的内错角相等，以及角平分线的定义，即可求出∠CAD的度数。
【解析】
1. 由角平分线的定义可得：
AD平分∠BAC，故$∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$；
AE平分外角$∠ FAC$，故$∠ FAE = ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ FAC$。
2. 由平角的定义，$∠ BAC + ∠ FAC = 180°$，因此：
$∠ DAE = ∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ FAC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
3. 在$Rt△ ADE$中，$DE=8$，$AE=4$，因此$AE = \frac{1}{2}DE$，根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ ADE = 30°$。
4. 因为$DE // AB$，由“两直线平行，内错角相等”得$∠ BAD = ∠ ADE = 30°$。
5. 结合AD是$∠ BAC$的平分线，可得$∠ CAD = ∠ BAD = 30°$。
【答案】
$30$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要将角平分线、平行线、直角三角形的性质结合运用，解题的突破口是先判断出$△ ADE$是直角三角形，再通过边的关系推导角度，有助于锻炼知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从角平分线的性质和平角的定义入手，先证明△DAE是直角三角形：AD是内角∠BAC的平分线、AE是外角∠FAC的平分线，两个角加起来是平角180°，所以∠DAE为90°；再结合Rt△ADE的边长关系：斜边DE=8，直角边AE=4，可得AE等于DE的一半，推出AE所对的锐角∠ADE=30°；最后利用平行线的内错角相等，以及角平分线的定义，即可求出∠CAD的度数。
【解析】
1. 由角平分线的定义可得：
AD平分∠BAC，故$∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC$；
AE平分外角$∠ FAC$，故$∠ FAE = ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ FAC$。
2. 由平角的定义，$∠ BAC + ∠ FAC = 180°$，因此：
$∠ DAE = ∠ CAD + ∠ CAE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ FAC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
3. 在$Rt△ ADE$中，$DE=8$，$AE=4$，因此$AE = \frac{1}{2}DE$，根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ ADE = 30°$。
4. 因为$DE // AB$，由“两直线平行，内错角相等”得$∠ BAD = ∠ ADE = 30°$。
5. 结合AD是$∠ BAC$的平分线，可得$∠ CAD = ∠ BAD = 30°$。
【答案】
$30$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要将角平分线、平行线、直角三角形的性质结合运用，解题的突破口是先判断出$△ ADE$是直角三角形，再通过边的关系推导角度，有助于锻炼知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，且点P把线段BD分为1:2两部分.如果点P到AB边的距离为2，那么$\tan∠ BAP$=
$\dfrac{1}{2}$或$2$
.答案
12. $\dfrac{1}{2}$或$2$
解析
【分析】
本题需分两种情况讨论：点P靠近点B时BP:PD=1:2，点P靠近点D时BP:PD=2:1。过P作PE⊥AB于E，可得PE=2，结合正方形对边垂直的性质推出PE//AD，得到△BPE与△BDA相似，利用相似三角形对应边成比例求出AB和AE的长度，最后在直角三角形AEP中根据正切的定义计算∠BAP的正切值即可。
【解析】
过点P作$PE⊥ AB$，垂足为E，则$PE=2$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$AB⊥ AD$，
∴$PE// AD$，可得$△ BPE ∽ △ BDA$，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{BE}{AB}=\frac{BP}{BD}$。
情况1：当$BP:PD=1:2$时，$BP:BD=1:3$，
代入得$\frac{2}{AD}=\frac{1}{3}$，解得$AD=6$，即$AB=6$，
同时$\frac{BE}{6}=\frac{1}{3}$，解得$BE=2$，
∴$AE=AB-BE=6-2=4$，
在$Rt△ AEP$中，$\tan∠ BAP=\frac{PE}{AE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
情况2：当$BP:PD=2:1$时，$BP:BD=2:3$，
代入得$\frac{2}{AD}=\frac{2}{3}$，解得$AD=3$，即$AB=3$，
同时$\frac{BE}{3}=\frac{2}{3}$，解得$BE=2$，
∴$AE=AB-BE=3-2=1$，
在$Rt△ AEP$中，$\tan∠ BAP=\frac{PE}{AE}=\frac{2}{1}=2$。
综上，$\tan∠ BAP$的值为$\frac{1}{2}$或$2$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$或$2$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题需要注意线段比例的两种可能性，容易因漏解导致错误，解题时结合正方形性质构造直角三角形，利用相似关系求解边长是关键。
【难度系数】
0.7
本题需分两种情况讨论：点P靠近点B时BP:PD=1:2，点P靠近点D时BP:PD=2:1。过P作PE⊥AB于E，可得PE=2，结合正方形对边垂直的性质推出PE//AD，得到△BPE与△BDA相似，利用相似三角形对应边成比例求出AB和AE的长度，最后在直角三角形AEP中根据正切的定义计算∠BAP的正切值即可。
【解析】
过点P作$PE⊥ AB$，垂足为E，则$PE=2$。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=AD$，$AB⊥ AD$，
∴$PE// AD$，可得$△ BPE ∽ △ BDA$，
∴$\frac{PE}{AD}=\frac{BE}{AB}=\frac{BP}{BD}$。
情况1：当$BP:PD=1:2$时，$BP:BD=1:3$，
代入得$\frac{2}{AD}=\frac{1}{3}$，解得$AD=6$，即$AB=6$，
同时$\frac{BE}{6}=\frac{1}{3}$，解得$BE=2$，
∴$AE=AB-BE=6-2=4$，
在$Rt△ AEP$中，$\tan∠ BAP=\frac{PE}{AE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
情况2：当$BP:PD=2:1$时，$BP:BD=2:3$，
代入得$\frac{2}{AD}=\frac{2}{3}$，解得$AD=3$，即$AB=3$，
同时$\frac{BE}{3}=\frac{2}{3}$，解得$BE=2$，
∴$AE=AB-BE=3-2=1$，
在$Rt△ AEP$中，$\tan∠ BAP=\frac{PE}{AE}=\frac{2}{1}=2$。
综上，$\tan∠ BAP$的值为$\frac{1}{2}$或$2$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$或$2$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题需要注意线段比例的两种可能性，容易因漏解导致错误，解题时结合正方形性质构造直角三角形，利用相似关系求解边长是关键。
【难度系数】
0.7
13. 某人沿倾斜角为$α$的斜坡前进100m，他上升的高度是 ……………………【 】
A.$\frac{100}{\sinα}$ m
B.$100·\sinα$ m
C.$\frac{100}{\cosα}$ m
D.$100·\cosα$ m
A.$\frac{100}{\sinα}$ m
B.$100·\sinα$ m
C.$\frac{100}{\cosα}$ m
D.$100·\cosα$ m
答案
B
解析
【分析】
解决这道题首先要把实际问题转化为直角三角形模型：人沿斜坡前进的距离是直角三角形的斜边，上升的高度是倾斜角α对应的对边，接下来结合锐角三角函数的定义推导高度的表达式即可。第一步先明确直角三角形中各边和角的对应关系，第二步选择合适的三角函数（正弦函数关联对边和斜边），第三步变形公式得到高度的计算式，最后匹配选项。
【解析】
设人上升的高度为$ h $ m，将斜坡、水平位移、竖直上升高度构成直角三角形：
倾斜角$ α $是直角三角形的锐角，
斜边长度为人前进的路程：100 m，
上升高度$ h $是$ α $的对边。
根据正弦函数的定义：$ \sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{h}{100} $，
变形可得：$ h = 100·\sinα $ m。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，核心考查实际问题转化为几何模型的能力，以及对锐角三角函数边角对应关系的掌握，只要准确识别直角三角形中边、角的对应关系，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要把实际问题转化为直角三角形模型：人沿斜坡前进的距离是直角三角形的斜边，上升的高度是倾斜角α对应的对边，接下来结合锐角三角函数的定义推导高度的表达式即可。第一步先明确直角三角形中各边和角的对应关系，第二步选择合适的三角函数（正弦函数关联对边和斜边），第三步变形公式得到高度的计算式，最后匹配选项。
【解析】
设人上升的高度为$ h $ m，将斜坡、水平位移、竖直上升高度构成直角三角形：
倾斜角$ α $是直角三角形的锐角，
斜边长度为人前进的路程：100 m，
上升高度$ h $是$ α $的对边。
根据正弦函数的定义：$ \sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{h}{100} $，
变形可得：$ h = 100·\sinα $ m。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用类题目，核心考查实际问题转化为几何模型的能力，以及对锐角三角函数边角对应关系的掌握，只要准确识别直角三角形中边、角的对应关系，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.85
14. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$\tan B=\dfrac{1}{2}$，那么$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}$等于$\dots\dots$【$\quad$】
A.40
B.30
C.$10\sqrt{5}$
D.20
A.40
B.30
C.$10\sqrt{5}$
D.20
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形中的面积计算问题，解题思路如下：第一步，根据正切的定义得出两条直角边的数量关系；第二步，设参数表示两条直角边，结合勾股定理列方程求出参数的平方；第三步，利用直角三角形面积公式计算面积，可直接代入参数的平方得到结果，无需计算参数具体值以简化运算。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
由锐角正切的定义可得：$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}$，
设$AC=x$，则$BC=2x$，
根据勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，
已知$AB=10$，代入得：
$x^2+(2x)^2=10^2$，
整理得$5x^2=100$，即$x^2=20$，
三角形面积$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}× x× 2x=x^2=20$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，解题时灵活运用整体代换的思想可简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中的面积计算问题，解题思路如下：第一步，根据正切的定义得出两条直角边的数量关系；第二步，设参数表示两条直角边，结合勾股定理列方程求出参数的平方；第三步，利用直角三角形面积公式计算面积，可直接代入参数的平方得到结果，无需计算参数具体值以简化运算。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
由锐角正切的定义可得：$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}$，
设$AC=x$，则$BC=2x$，
根据勾股定理：$AC^2+BC^2=AB^2$，
已知$AB=10$，代入得：
$x^2+(2x)^2=10^2$，
整理得$5x^2=100$，即$x^2=20$，
三角形面积$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}× x× 2x=x^2=20$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的理解和勾股定理的应用，解题时灵活运用整体代换的思想可简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.8
15. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$\sin A = \frac{2}{3}$，则$\tan B$的值是 ……………………【 】
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
答案
D
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，正弦是对边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。已知$\sin A$的数值，我们可以通过设参数的方式表示出∠A的对边和斜边的长度，再利用勾股定理求出第三条直角边的长度，最后根据正切的定义写出$\tan B$的表达式，化简后即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$。
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=3k$，
由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$。
又
∵ $\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
将$AC=\sqrt{5}k$，$BC=2k$代入得：
$\tan B = \frac{\sqrt{5}k}{2k} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，核心考查对锐角三角函数概念的掌握，通过设参数表示边长的方法，能清晰梳理各边关系，降低计算出错概率，是这类问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的基础题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，正弦是对边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。已知$\sin A$的数值，我们可以通过设参数的方式表示出∠A的对边和斜边的长度，再利用勾股定理求出第三条直角边的长度，最后根据正切的定义写出$\tan B$的表达式，化简后即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
∴ $\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$。
设$BC=2k$（$k＞0$），则$AB=3k$，
由勾股定理可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{5k^2} = \sqrt{5}k$。
又
∵ $\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{BC}$，
将$AC=\sqrt{5}k$，$BC=2k$代入得：
$\tan B = \frac{\sqrt{5}k}{2k} = \frac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，核心考查对锐角三角函数概念的掌握，通过设参数表示边长的方法，能清晰梳理各边关系，降低计算出错概率，是这类问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
16. 在$△ ABC$中，$∠ A$与$∠ B$都是锐角，且$\left| \sin A - \dfrac{1}{2} \right| + \left| \cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| = 0$，则$△ ABC$的形状是 ……………………【 】
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.无法确定
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求出sinA和cosB的值；再结合∠A、∠B均为锐角的条件，对照特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数；最后根据三角形内角和求出第三个角的度数，结合角的大小关系判断三角形的形状。
【解析】
∵ 绝对值具有非负性，即$\left| \sin A - \dfrac{1}{2} \right| ≥ 0$，$\left| \cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| ≥ 0$，且二者的和为0
∴ $\begin{cases}\sin A - \dfrac{1}{2} = 0 \\\cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0\end{cases}$
解得：$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
∵ ∠A、∠B都是锐角
∴ 根据特殊角的三角函数值可得：∠A=30°，∠B=30°
∴ ∠A=∠B，△ABC为等腰三角形
又
∵ ∠C=180°-30°-30°=120°，△ABC是钝角三角形，故排除A（直角三角形）、B（锐角三角形）选项
综上，答案选C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；特殊角的三角函数值；等腰三角形判定
【点评】
本题是基础综合题，核心考查非负数的性质与特殊锐角三角函数值的应用，解题的关键是熟记常见特殊角的三角函数值，掌握非负数和为0的运算规律。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求出sinA和cosB的值；再结合∠A、∠B均为锐角的条件，对照特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数；最后根据三角形内角和求出第三个角的度数，结合角的大小关系判断三角形的形状。
【解析】
∵ 绝对值具有非负性，即$\left| \sin A - \dfrac{1}{2} \right| ≥ 0$，$\left| \cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| ≥ 0$，且二者的和为0
∴ $\begin{cases}\sin A - \dfrac{1}{2} = 0 \\\cos B - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0\end{cases}$
解得：$\sin A = \dfrac{1}{2}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
∵ ∠A、∠B都是锐角
∴ 根据特殊角的三角函数值可得：∠A=30°，∠B=30°
∴ ∠A=∠B，△ABC为等腰三角形
又
∵ ∠C=180°-30°-30°=120°，△ABC是钝角三角形，故排除A（直角三角形）、B（锐角三角形）选项
综上，答案选C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性；特殊角的三角函数值；等腰三角形判定
【点评】
本题是基础综合题，核心考查非负数的性质与特殊锐角三角函数值的应用，解题的关键是熟记常见特殊角的三角函数值，掌握非负数和为0的运算规律。
【难度系数】
0.7
