22. 如图6-3-10,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$BC=2AB=8$,点$D$,$E$分别是$BC$,$AC$的中点,连结$DE$,将$△ EDC$绕点$C$按顺时针方向旋转,记旋转角为$α$.

图6-3-10
(1) 当$α=0°$时,$\frac{AE}{BD}=$;
当$α=180°$时,$\frac{AE}{BD}=$.
(2) 当$0°＜α＜360°$时,$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化?请仅就图6-3-11的情形给出证明.

图6-3-11
(3) 当$△ EDC$旋转至$A$,$D$,$E$三点共线时,线段$BD$的长是.

22. (1) $\frac{\sqrt{5}}{2}$；$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
(2) $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$
$= \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$.
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE // AB.
∴ $\frac{CE}{AC} = \frac{CD}{BC}$. △CDE旋转后结论仍成立.
又
∵ ∠ACE = ∠BCD = α，
∴ △ACE ∽ △BCD.
∴ $\frac{AE}{BD} = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
∴ △CDE在转动中,$\frac{AE}{BD}$的大小不变.
(3) $4\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.

【分析】
本题围绕三角形旋转展开，分三步思考：
(1) 计算α=0°和180°的比值：先根据已知边长算出Rt△ABC的斜边AC，再结合中点性质分别算出对应AE、BD的长度，直接求比值即可。
(2) 证明比值不变：先找到△ACE和△BCD的边的比例关系，再结合旋转角相等得到夹角相等，证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可得到固定比值。
(3) 求共线时BD的长：分A、D、E共线的两种位置情况，先利用勾股定理算出AD的长度，结合DE的长度得到AE的长度，再借助第二问的AE与BD的比例关系即可求出BD的长，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知∠B=90°，BC=2AB=8，
∴AB=4，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
①当α=0°时，E是AC中点，D是BC中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$，$BD=\frac{1}{2}BC=4$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
②当α=180°时，△EDC旋转180°，此时$CE=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{5}$，$CD=\frac{1}{2}BC=4$，
∴$AE=AC+CE=4\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6\sqrt{5}$，$BD=BC+CD=8+4=12$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{6\sqrt{5}}{12}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2) $\frac{AE}{BD}$的大小无变化，证明如下：
由(1)得$AC=4\sqrt{5}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，旋转后CE、CD长度不变，该比例仍成立。
又
∵旋转角$∠ ACE=∠ BCD=α$，
∴△ACE∽△BCD（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，即比值大小不变。
(3) 分两种情况讨论：
∵DE是△ABC中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AB=2$，且$∠ EDC=∠ B=90°$，旋转后$∠ CDE=90°$不变。
①当A、D、E三点共线，且D在A、E之间时：
$∠ ADC=180°-∠ CDE=90°$，在Rt△ADC中，$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$，
∴$AE=AD+DE=8+2=10$，由$\frac{AE}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{2}$得$BD=\frac{10×2}{\sqrt{5}}=4\sqrt{5}$。
②当A、D、E三点共线，且E在A、D之间时：
在Rt△ADC中，$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=8$，
∴$AE=AD-DE=8-2=6$，由$\frac{AE}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{2}$得$BD=\frac{6×2}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$。
综上，BD的长为$4\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}}{2}$；$\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) $\frac{AE}{BD}$的大小无变化，证明见解析
(3) $4\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合性较强，以三角形旋转为背景，考查了几何中的不变量分析，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，同时要注意分类讨论三点共线的不同位置，避免漏解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

23.已知一次函数 $y=\frac{4}{3}x -8$ 的图象分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于点 $A$，$B$.
（1）将 $△ AOB$ 沿 $x$ 轴反方向平移4个单位得到 $△ A'O'B'$，再以点 $B'$ 为位似中心，画出 $△ A'O'B'$ 放大到两倍的 $△ B'DE$（$∠ D$ 为直角），并写出点 $D$，$E$ 的坐标.
（2）若点 $M$ 是 $AB$ 的中点，试在 $x$ 轴上求一点 $N$，使 $△ AMN$ 与 $△ AOB$ 相似，请写出点 $N$ 的坐标.

23. 提示: A(6,0), B(0,-8).
(1) 平移、位似变换的图略. D(-4,8), E(8,8)；或D(-4,-24), E(-16,-24).
(2) 过点M作x轴的垂线,垂足为F. 则F是OA的中点,于是可得F(3,0). 易证△AOB ∽ △AFM. 过M作AB的垂线,交x轴于N.
易证△AOB ∽ △AMN，
∴ $\frac{AB}{AN} = \frac{OA}{AM}$.
由勾股定理可得AB = 10，则AM = 5.
∴ $AN = \frac{25}{3}$，
∴ $ON = AN - OA = \frac{7}{3}$，
∴ $N(-\frac{7}{3},0)$. 故N(3,0)或$N(-\frac{7}{3},0)$.

【分析】
首先先求一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标：令y=0可求A点横坐标，令x=0可求B点纵坐标，这是解决本题的基础。
（1）先按照平移规则“沿x轴负方向平移4个单位，横坐标减4，纵坐标不变”得到△A'O'B'各顶点坐标；再以B'为位似中心、位似比为2，分位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，结合∠D为直角的条件计算D、E的坐标。
（2）先求AB中点M的坐标，△AOB是直角三角形，故△AMN也为直角三角形，分两种情况讨论：①∠ANM为直角，②∠AMN为直角，结合相似三角形对应边成比例的性质求解N点坐标，注意N在x轴上纵坐标为0。
【解析】
先求A、B坐标：
对于一次函数$y=\frac{4}{3}x -8$，
令$y=0$，得$0=\frac{4}{3}x -8$，解得$x=6$，故$A(6,0)$，$OA=6$；
令$x=0$，得$y=-8$，故$B(0,-8)$，$OB=8$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
（1）将△AOB沿x轴负方向平移4个单位，各点横坐标减4，纵坐标不变：
得$A'(6-4,0)=(2,0)$，$O'(0-4,0)=(-4,0)$，$B'(0-4,-8)=(-4,-8)$。
以$B'$为位似中心，将△A'O'B'放大2倍得到△B'DE，∠D为直角，对应原△A'O'B'的直角顶点O'，分两种情况：
① 位似图形在B'上方：
O'到B'的竖直距离为$0 - (-8)=8$，放大2倍后D到B'的竖直距离为$8×2=16$，故$D(-4, -8+16)=(-4,8)$；
A'到B'的水平距离为$2 - (-4)=6$，放大2倍后E到B'的水平距离为$6×2=12$，竖直距离与D相同，故$E(-4+12,8)=(8,8)$。
② 位似图形在B'下方：
D到B'的竖直距离为$8×2=16$（向下），故$D(-4, -8-16)=(-4,-24)$；
E到B'的水平距离为$6×2=12$（向左），故$E(-4-12,-24)=(-16,-24)$。
（2）
∵M是AB中点，由中点坐标公式得$M(\frac{6+0}{2},\frac{0-8}{2})=(3,-4)$，$AM=\frac{1}{2}AB=5$。
△AMN与Rt△AOB相似，分两种情况：
① 当$∠ ANM=90°$时，MN⊥x轴，N点横坐标与M相同为3，且N在x轴上，故$N(3,0)$，此时$∠ MAN=∠ OAB$，$∠ ANM=∠ AOB=90°$，△AMN∽△ABO，符合要求。
② 当$∠ AMN=90°$时，$∠ MAN=∠ OAB$，$∠ AMN=∠ AOB=90°$，故△AMN∽△AOB，对应边成比例：
$\frac{AM}{OA}=\frac{AN}{AB}$，代入$AM=5,OA=6,AB=10$，得$\frac{5}{6}=\frac{AN}{10}$，解得$AN=\frac{25}{3}$。
∵A点坐标为$(6,0)$，N在A左侧，故N的横坐标为$6-\frac{25}{3}=-\frac{7}{3}$，即$N(-\frac{7}{3},0)$。
【答案】
(1) $D(-4,8)$，$E(8,8)$或$D(-4,-24)$，$E(-16,-24)$；
(2) $N(3,0)$或$N(-\frac{7}{3},0)$。
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，图形的平移与位似，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了一次函数、图形变换和相似三角形的相关知识，解题时要注意位似变换的位置多样性，以及相似三角形对应关系不明确时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6