20. 如图6-3-7，在平面直角坐标系中，将图①中的图形经过不同的变换后分别得到图②至图⑥中相应的图形（虚线为原图形），试写出图②至图⑥中变化后得到的图形各顶点的坐标，并简述变换前后图形的变化特点，以及对应点的坐标的变化规律。

图6-3-7

解:图② (0,0),(8,0),(4,4)；图形横向放大到2倍；纵坐标不变，横坐标是原来的2倍。
图③ (3,0),(7,0),(5,4)；图形沿x轴正方向平移3个单位长度；纵坐标不变，横坐标加3。
图④ (0,0),(4,0),(2,-4)；图形沿x轴翻折；横坐标不变，纵坐标是原来的相反数。
图⑤ (0,0),(4,0),(2,8)；图形纵向放大到2倍；横坐标不变，纵坐标是原来的2倍。
图⑥ (0,0),(8,0),(4,8)；图形以点O为位似中心放大到2倍；纵、横坐标都是原来的2倍。

【分析】
首先确定原图形①的三个顶点坐标为(0,0)、(4,0)、(2,4)。解题时按以下步骤分析每个变换：第一步，读取变换后图形的三个顶点坐标；第二步，将变换后顶点的横、纵坐标与原对应顶点坐标对比，总结坐标变化规律；第三步，结合坐标变化规律判断图形变换类型，归纳图形变化特点。思考时注意区分不同变换的坐标特征：仅横坐标变化对应左右平移或横向缩放，仅纵坐标变化对应翻折或纵向缩放，横纵坐标同比例变化对应以原点为位似中心的位似变换。
【解析】
原图形①的顶点坐标为(0,0)、(4,0)、(2,4)，逐个分析如下：
1. 图②：变换后顶点为(0,0)、(8,0)、(4,4)，对比原坐标，所有点纵坐标不变，横坐标为原坐标的2倍，图形横向放大为原来的2倍，高度不变，形状不变。
2. 图③：变换后顶点为(3,0)、(7,0)、(5,4)，对比原坐标，所有点纵坐标不变，横坐标比原坐标大3，图形沿x轴正方向平移3个单位长度，大小、形状均不变，仅位置改变。
3. 图④：变换后顶点为(0,0)、(4,0)、(2,-4)，对比原坐标，所有点横坐标不变，纵坐标为原坐标的相反数，图形沿x轴翻折，大小、形状均不变，与原图形关于x轴对称。
4. 图⑤：变换后顶点为(0,0)、(4,0)、(2,8)，对比原坐标，所有点横坐标不变，纵坐标为原坐标的2倍，图形纵向放大为原来的2倍，宽度不变，形状不变。
5. 图⑥：变换后顶点为(0,0)、(8,0)、(4,8)，对比原坐标，所有点横、纵坐标均为原坐标的2倍，图形以点O为位似中心放大为原来的2倍，整体形状不变，大小扩大为原来的2倍。
【答案】
图② (0,0),(8,0),(4,4)；图形横向放大到2倍；纵坐标不变，横坐标是原来的2倍。
图③ (3,0),(7,0),(5,4)；图形沿x轴正方向平移3个单位长度；纵坐标不变，横坐标加3。
图④ (0,0),(4,0),(2,-4)；图形沿x轴翻折；横坐标不变，纵坐标是原来的相反数。
图⑤ (0,0),(4,0),(2,8)；图形纵向放大到2倍；横坐标不变，纵坐标是原来的2倍。
图⑥ (0,0),(8,0),(4,8)；图形以点O为位似中心放大到2倍；纵、横坐标都是原来的2倍。
【知识点】
坐标与图形变换；平移的坐标特征；位似变换的坐标特征
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察了多种常见图形变换的坐标规律，既锻炼了学生的识图能力，也强化了数形结合的思想，是图形变换板块的基础典型题，对后续学习函数图像变换也有铺垫作用。
【难度系数】
0.7

21. 请从下列两题中选做一题.
（1）如图6-3-8，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，CP的延长线交AD于点E，交BA的延长线于点F.
① 求证：$△ ADP ≌ △ CDP$.
② 求证：$△ APE ∽ △ FPA$.

图6-3-8 图6-3-9
（2）如图6-3-9，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连结CF.
① 求证：$△ DAE ≌ △ DCF$.
② 求证：$△ ABG ∽ △ CFG$.

21. (1) 证明:① 在菱形ABCD中,AD = CD,∠ADP = ∠CDP.
又
∵ DP = DP，
∴ △APD ≌ △CPD.
② 由①知∠PAD = ∠PCD.
∵ CD // BF，
∴ ∠F = ∠DCF.
∴ ∠PAD = ∠F.
∴ △APE ∽ △FPA.
(2) 提示:① 在正方形和三角形中,AD = CD，DE = DF,∠ADC = ∠EDF = 90°.
∴ ∠ADE = ∠CDF.
∴ △DAE ≌ △DCF.
② 由①知∠CFD = ∠AED = ∠EFD = 45°，
∴ ∠CFG = ∠B.
∵ ∠AGB = ∠CGF，
∴ △ABG ∽ △CFG.

【分析】
选做第(1)题思路：
① 要证△ADP≌△CDP，结合菱形性质可得：菱形邻边相等AD=CD，对角线平分内角即∠ADP=∠CDP，再加上公共边DP，即可用SAS判定全等。
② 要证△APE∽△FPA，先由①的全等得∠PAD=∠PCD，再结合菱形对边平行的性质得∠F=∠DCF，等量代换得∠PAD=∠F，加上两三角形的公共角∠APF，即可用两角对应相等判定相似。
选做第(2)题思路：
① 要证△DAE≌△DCF，由正方形性质得AD=CD、∠ADC=90°，等腰直角三角形性质得DE=DF、∠EDF=90°，两个直角同时减去公共角∠ADF可得∠ADE=∠CDF，用SAS即可判定全等。
② 要证△ABG∽△CFG，由①的全等得∠CFD=∠AED=45°，结合△DEF的底角为45°，可得∠CFG=90°，等于正方形的内角∠B，再结合对顶角相等，即可用两角对应相等判定相似。
【解析】
(1)的证明：
① 在菱形ABCD中，AD = CD，BD是对角线，因此∠ADP = ∠CDP。
又
∵ DP是公共边，即DP = DP，
∴ 根据SAS全等判定定理，△APD ≌ △CPD。
② 由①中△APD ≌ △CPD，可得对应角相等：∠PAD = ∠PCD。
∵ 菱形对边平行，即CD // BF，
∴ 两直线平行内错角相等，∠F = ∠DCF。
等量代换得∠PAD = ∠F，又
∵ ∠APE = ∠FPA是两三角形的公共角，
∴ 两角对应相等的两个三角形相似，即△APE ∽ △FPA。
(2)的证明：
① 在正方形ABCD中，AD = CD，∠ADC = 90°；在等腰直角△DEF中，DE = DF，∠EDF = 90°。
∴ ∠ADC - ∠ADF = ∠EDF - ∠ADF，即∠ADE = ∠CDF。
∴ 根据SAS全等判定定理，△DAE ≌ △DCF。
② 由①中△DAE ≌ △DCF，可得对应角相等：∠CFD = ∠AED。
∵ △DEF是等腰直角三角形，
∴ ∠AED = ∠EFD = 45°，
∴ ∠CFD = 45°，因此∠CFG = ∠CFD + ∠EFD = 90°。
∵ 正方形内角∠B = 90°，
∴ ∠CFG = ∠B，又
∵ 对顶角相等即∠AGB = ∠CGF，
∴ 两角对应相等的两个三角形相似，即△ABG ∽ △CFG。
【答案】
21. (1) 证明:① 在菱形ABCD中,AD = CD,∠ADP = ∠CDP.
又
∵ DP = DP，
∴ △APD ≌ △CPD.
② 由①知∠PAD = ∠PCD.
∵ CD // BF，
∴ ∠F = ∠DCF.
∴ ∠PAD = ∠F.
∴ △APE ∽ △FPA.
(2) 提示:① 在正方形和三角形中,AD = CD，DE = DF,∠ADC = ∠EDF = 90°.
∴ ∠ADE = ∠CDF.
∴ △DAE ≌ △DCF.
② 由①知∠CFD = ∠AED = ∠EFD = 45°，
∴ ∠CFG = ∠B.
∵ ∠AGB = ∠CGF，
∴ △ABG ∽ △CFG.
【知识点】
全等三角形判定、相似三角形判定、特殊四边形性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，将特殊四边形的性质和三角形全等、相似的判定结合考查，解题关键是熟练掌握相关性质定理，准确找到对应相等的边和角即可完成证明，可根据自身掌握情况选做。
【难度系数】
0.7