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14. 如图6-3-4,在 $Rt△ ABC$ 中,$AB ⊥ AC$,$AB = 3$,$AC = 4$,点P在BC边上,$PE ⊥ AB$,$PD ⊥ AC$,垂足分别为E,D.设$BP = x$,那么$PD + PE$等于 …………………… 【 】
A.$\frac{1}{5}x + 3$
B.$4 - \frac{1}{5}x$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{12}{5} - \frac{12}{25}x^2$
A.$\frac{1}{5}x + 3$
B.$4 - \frac{1}{5}x$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{12}{5} - \frac{12}{25}x^2$
答案
A
解析
【分析】
解题首先梳理已知条件：Rt△ABC中AB⊥AC，两条直角边长度已知，点P在斜边BC上，PE、PD分别垂直两条直角边。解题思路如下：第一步用勾股定理先求出斜边BC的长度；第二步根据垂直关系得到平行线，进而得到两组相似三角形；第三步利用相似三角形对应边成比例，分别用含x的式子表示出PE、PD的长度；最后将二者相加化简即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$AB⊥ AC$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\because PE⊥ AB$，$AC⊥ AB$
$\therefore PE// AC$，可得$△ BPE ∽ △ BCA$
$\therefore \frac{BP}{BC}=\frac{PE}{AC}$，代入$BP=x$得$\frac{x}{5}=\frac{PE}{4}$，解得$PE=\frac{4x}{5}$
$\because PD⊥ AC$，$AB⊥ AC$
$\therefore PD// AB$，可得$△ CPD ∽ △ CBA$
又$CP=BC-BP=5-x$
$\therefore \frac{CP}{BC}=\frac{PD}{AB}$，即$\frac{5-x}{5}=\frac{PD}{3}$，解得$PD=\frac{3(5-x)}{5}=\frac{15-3x}{5}$
$\therefore PD+PE=\frac{15-3x}{5}+\frac{4x}{5}=\frac{15+x}{5}=\frac{1}{5}x+3$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，通过垂直关系推导平行线构造相似三角形，借助相似的性质用未知数表示线段长度即可求解，解题核心是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题首先梳理已知条件：Rt△ABC中AB⊥AC，两条直角边长度已知，点P在斜边BC上，PE、PD分别垂直两条直角边。解题思路如下：第一步用勾股定理先求出斜边BC的长度；第二步根据垂直关系得到平行线，进而得到两组相似三角形；第三步利用相似三角形对应边成比例，分别用含x的式子表示出PE、PD的长度；最后将二者相加化简即可得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$AB⊥ AC$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
$\because PE⊥ AB$，$AC⊥ AB$
$\therefore PE// AC$，可得$△ BPE ∽ △ BCA$
$\therefore \frac{BP}{BC}=\frac{PE}{AC}$，代入$BP=x$得$\frac{x}{5}=\frac{PE}{4}$，解得$PE=\frac{4x}{5}$
$\because PD⊥ AC$，$AB⊥ AC$
$\therefore PD// AB$，可得$△ CPD ∽ △ CBA$
又$CP=BC-BP=5-x$
$\therefore \frac{CP}{BC}=\frac{PD}{AB}$，即$\frac{5-x}{5}=\frac{PD}{3}$，解得$PD=\frac{3(5-x)}{5}=\frac{15-3x}{5}$
$\therefore PD+PE=\frac{15-3x}{5}+\frac{4x}{5}=\frac{15+x}{5}=\frac{1}{5}x+3$
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，通过垂直关系推导平行线构造相似三角形，借助相似的性质用未知数表示线段长度即可求解，解题核心是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
15.如图6-3-5,在四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC上的点,点O在对角线AC上.如果$OF // AB,OE // CD$,那么$\frac{OF}{AB}+\frac{OE}{CD}$等于……………………【 】
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.1
D.不确定
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.1
D.不确定
答案
C
解析
【分析】
遇到这类平行线求比例和的问题，首先结合平行线判定相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，将待求的两个比值转化为关于对角线AC的线段比，再相加化简即可。第一步：由OF//AB可得△COF∽△CAB，推出$\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}$；第二步：由OE//CD可得△AOE∽△ACD，推出$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$；第三步：将两个比例式相加，结合AO+OC=AC即可求出最终结果。
【解析】
解：
∵$OF // AB$，
∴$△ COF ∽ △ CAB$，
∴$\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}$ ；
∵$OE // CD$，
∴$△ AOE ∽ △ ACD$，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$；
将两式相加可得：
$\frac{OF}{AB}+\frac{OE}{CD}=\frac{OC}{AC}+\frac{AO}{AC}=\frac{OC+AO}{AC}$，
又
∵$AO+OC=AC$，
∴$\frac{OF}{AB}+\frac{OE}{CD}=\frac{AC}{AC}=1$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；比例的运算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，将异分母的比例式转化为同分母的线段比进行计算，锻炼了学生对相似性质和比例运算的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类平行线求比例和的问题，首先结合平行线判定相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，将待求的两个比值转化为关于对角线AC的线段比，再相加化简即可。第一步：由OF//AB可得△COF∽△CAB，推出$\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}$；第二步：由OE//CD可得△AOE∽△ACD，推出$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$；第三步：将两个比例式相加，结合AO+OC=AC即可求出最终结果。
【解析】
解：
∵$OF // AB$，
∴$△ COF ∽ △ CAB$，
∴$\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}$ ；
∵$OE // CD$，
∴$△ AOE ∽ △ ACD$，
∴$\frac{OE}{CD}=\frac{AO}{AC}$；
将两式相加可得：
$\frac{OF}{AB}+\frac{OE}{CD}=\frac{OC}{AC}+\frac{AO}{AC}=\frac{OC+AO}{AC}$，
又
∵$AO+OC=AC$，
∴$\frac{OF}{AB}+\frac{OE}{CD}=\frac{AC}{AC}=1$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质；比例的运算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是利用平行线构造相似三角形，将异分母的比例式转化为同分母的线段比进行计算，锻炼了学生对相似性质和比例运算的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16.在钝角$△ ABC$的最长边BC上找一点D，连结AD，使图中有两个相似三角形，这样的点D一共有………………【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
首先根据钝角三角形最长边对应最大角，确定钝角为∠BAC，∠B、∠C均为锐角。要得到两个相似三角形，优先考虑存在公共角的相似构造：①以∠B为公共角，构造另一组等角得到一组相似三角形；②以∠C为公共角，构造另一组等角得到另一组相似三角形。再验证两种构造得到的点D是否重合，以及是否存在其他符合条件的点，最终确定点的个数。
【解析】
∵△ABC是钝角三角形，且BC是最长边，
∴∠BAC为钝角，∠B、∠C均为锐角。
分两种情况构造相似三角形：
1. 以∠B为公共角，作∠BAD=∠C，
在△ABD和△CBA中：
∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CBA（两角分别相等的两个三角形相似），
此时AD与BC交于点D₁，D₁在线段BC上，符合要求。
2. 以∠C为公共角，作∠CAD=∠B，
在△ACD和△BCA中：
∠C=∠C（公共角），∠CAD=∠B，
∴△ACD∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似），
此时AD与BC交于点D₂，D₂在线段BC上，符合要求。
若D₁与D₂重合，则∠BAD=∠C且∠CAD=∠B，
可得∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C=180°-∠BAC，
解得∠BAC=90°，与△ABC是钝角三角形矛盾，故D₁、D₂是两个不同的点。
若要构造△ABD∽△CDA，需同时满足∠BAD=∠C、∠B=∠CAD，即上述点重合的情况，仅直角三角形成立，钝角三角形不存在该情况。
综上，符合条件的点D共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.钝角三角形的性质
【点评】
本题需要结合三角形相似的判定定理分类讨论构造符合条件的点，解题时要注意结合钝角三角形的特征排除点重合的特殊情况，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6
首先根据钝角三角形最长边对应最大角，确定钝角为∠BAC，∠B、∠C均为锐角。要得到两个相似三角形，优先考虑存在公共角的相似构造：①以∠B为公共角，构造另一组等角得到一组相似三角形；②以∠C为公共角，构造另一组等角得到另一组相似三角形。再验证两种构造得到的点D是否重合，以及是否存在其他符合条件的点，最终确定点的个数。
【解析】
∵△ABC是钝角三角形，且BC是最长边，
∴∠BAC为钝角，∠B、∠C均为锐角。
分两种情况构造相似三角形：
1. 以∠B为公共角，作∠BAD=∠C，
在△ABD和△CBA中：
∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CBA（两角分别相等的两个三角形相似），
此时AD与BC交于点D₁，D₁在线段BC上，符合要求。
2. 以∠C为公共角，作∠CAD=∠B，
在△ACD和△BCA中：
∠C=∠C（公共角），∠CAD=∠B，
∴△ACD∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似），
此时AD与BC交于点D₂，D₂在线段BC上，符合要求。
若D₁与D₂重合，则∠BAD=∠C且∠CAD=∠B，
可得∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C=180°-∠BAC，
解得∠BAC=90°，与△ABC是钝角三角形矛盾，故D₁、D₂是两个不同的点。
若要构造△ABD∽△CDA，需同时满足∠BAD=∠C、∠B=∠CAD，即上述点重合的情况，仅直角三角形成立，钝角三角形不存在该情况。
综上，符合条件的点D共有2个。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.钝角三角形的性质
【点评】
本题需要结合三角形相似的判定定理分类讨论构造符合条件的点，解题时要注意结合钝角三角形的特征排除点重合的特殊情况，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.6
17.在平面直角坐标系中，点$E(-4,2)$，$F(-2,-2)$，以原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{1}{2}$，把$△ EFO$放大，那么点$E$的对应点$E'$的坐标是 ……………………………………………………【 】
A.$(-2,1)$
B.$(-8,4)$
C.$(-8,4)$或$(8,-4)$
D.$(-2,1)$或$(2,-1)$
A.$(-2,1)$
B.$(-8,4)$
C.$(-8,4)$或$(8,-4)$
D.$(-2,1)$或$(2,-1)$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘以位似比（位似比可正可负，对应位似图形与原图形在原点同侧或异侧两种情况）。
首先明确相似比的顺序：题目要求把△EFO放大，说明放大后的图形与原图形的相似比为2，即原图形与新图形的相似比为1/2，符合题目给出的相似比条件，接下来分两种情况计算点E的对应点坐标即可。
【解析】
已知原点点E坐标为$(-4,2)$，以原点O为位似中心放大△EFO，新图形与原图形的相似比为2，分两种情况讨论：
1. 当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点坐标为原坐标乘以2：
$E'$的坐标为$(-4 × 2, 2 × 2) = (-8, 4)$
2. 当位似图形与原图形在原点异侧时，对应点坐标为原坐标乘以$-2$：
$E'$的坐标为$(-4 × (-2), 2 × (-2)) = (8, -4)$
因此点E的对应点$E'$的坐标是$(-8,4)$或$(8,-4)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中位似变换
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题时要注意位似图形存在位于位似中心同侧和异侧两种情况，同时要明确相似比的顺序，避免漏解或因相似比搞反出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘以位似比（位似比可正可负，对应位似图形与原图形在原点同侧或异侧两种情况）。
首先明确相似比的顺序：题目要求把△EFO放大，说明放大后的图形与原图形的相似比为2，即原图形与新图形的相似比为1/2，符合题目给出的相似比条件，接下来分两种情况计算点E的对应点坐标即可。
【解析】
已知原点点E坐标为$(-4,2)$，以原点O为位似中心放大△EFO，新图形与原图形的相似比为2，分两种情况讨论：
1. 当位似图形与原图形在原点同侧时，对应点坐标为原坐标乘以2：
$E'$的坐标为$(-4 × 2, 2 × 2) = (-8, 4)$
2. 当位似图形与原图形在原点异侧时，对应点坐标为原坐标乘以$-2$：
$E'$的坐标为$(-4 × (-2), 2 × (-2)) = (8, -4)$
因此点E的对应点$E'$的坐标是$(-8,4)$或$(8,-4)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中位似变换
【点评】
本题考查位似变换的坐标规律，解题时要注意位似图形存在位于位似中心同侧和异侧两种情况，同时要明确相似比的顺序，避免漏解或因相似比搞反出错。
【难度系数】
0.6
18. 如图6-3-6，把$△ ABC$绕原点$O$逆时针方向旋转$90°$得到$△ A'B'C'$，则点$B'$，$C'$的坐标依次是 ……………………【 】
A.$(-4,3),(0,2)$
B.$(3,-4),(2,0)$
C.$(4,-3),(0,-2)$
D.$(-3,4),(-2,0)$
A.$(-4,3),(0,2)$
B.$(3,-4),(2,0)$
C.$(4,-3),(0,-2)$
D.$(-3,4),(-2,0)$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要从平面直角坐标系中准确读取点B和点C的原始坐标，再回忆绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，将原坐标代入规律计算得到旋转后点的坐标，最后匹配对应选项即可。
【解析】
首先观察平面直角坐标系，可得点B的原始坐标为$\boldsymbol{(4,3)}$，点C的原始坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$。
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点O逆时针旋转90°后，对应点的坐标变换规律为：$\boldsymbol{(x,y) \to (-y,x)}$。
将点B坐标代入规律：$x=4,y=3$，旋转后$B'$的坐标为$(-3,4)$；
将点C坐标代入规律：$x=0,y=2$，旋转后$C'$的坐标为$(-2,0)$。
对照选项，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
坐标与旋转变换，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是坐标与旋转的基础题型，核心考查绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，只要能准确读取原点点坐标、熟记旋转坐标变化规则就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要从平面直角坐标系中准确读取点B和点C的原始坐标，再回忆绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，将原坐标代入规律计算得到旋转后点的坐标，最后匹配对应选项即可。
【解析】
首先观察平面直角坐标系，可得点B的原始坐标为$\boldsymbol{(4,3)}$，点C的原始坐标为$\boldsymbol{(0,2)}$。
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点O逆时针旋转90°后，对应点的坐标变换规律为：$\boldsymbol{(x,y) \to (-y,x)}$。
将点B坐标代入规律：$x=4,y=3$，旋转后$B'$的坐标为$(-3,4)$；
将点C坐标代入规律：$x=0,y=2$，旋转后$C'$的坐标为$(-2,0)$。
对照选项，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
坐标与旋转变换，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是坐标与旋转的基础题型，核心考查绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，只要能准确读取原点点坐标、熟记旋转坐标变化规则就能快速解题。
【难度系数】
0.7
19.在一次实践活动中，某同学测量旗杆高的方法是，先测量自己的身高，再测量在太阳照射下自己身体直立的影长和旗杆的影长，这样就计算出了旗杆的高度.
（1）请画出示意图，并简要说明道理.
（2）如果该同学身高1.5 m，身影长1.2 m，旗杆影长9.6 m，试求旗杆的高度.
（1）请画出示意图，并简要说明道理.
（2）如果该同学身高1.5 m，身影长1.2 m，旗杆影长9.6 m，试求旗杆的高度.
答案
19. (1) 略；(2) 旗杆高为12 m.
解析
【分析】
（1）解题思路：同一时刻太阳光线可视为平行光线，人和旗杆均垂直于水平地面，因此可得到两个含直角、且太阳光线与地面夹角相等的直角三角形，根据相似三角形判定定理可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质即可建立各量之间的数量关系。
（2）第二问直接将已知数值代入上述比例关系，解一元一次方程即可求出旗杆高度，列式时需注意对应边的对应关系，避免比例项颠倒。
【解析】
（1）示意图：画水平线段代表地面，左侧画垂直于地面的线段$AB$代表旗杆，$B$为地面垂足，过$A$作斜向下的线段$AC$交地面于$C$，$BC$即为旗杆影长；右侧画垂直于地面的线段$DE$代表人的身高，$E$为地面垂足，过$D$作平行于$AC$的斜向下线段$DF$交地面于$F$，$EF$即为人的影长。
道理：$\because AC// DF$（同一时刻太阳光线平行），$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$，又$\because ∠ ABC=∠ DEF=90°$，$\therefore △ ABC∽△ DEF$，可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，即同一时刻直立物体的高度与影长成正比，可通过已知量计算旗杆高度。
（2）解：设旗杆的高度为$x$ m，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{人的身高}}{\mathrm{人的影长}}=\frac{\mathrm{旗杆高度}}{\mathrm{旗杆影长}}$
代入已知数据：$\frac{1.5}{1.2}=\frac{x}{9.6}$
解得：$x=\frac{1.5×9.6}{1.2}=12$
【答案】
(1) 略；(2) 12 m
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行投影
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用对应边成比例求解，能有效提升学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：同一时刻太阳光线可视为平行光线，人和旗杆均垂直于水平地面，因此可得到两个含直角、且太阳光线与地面夹角相等的直角三角形，根据相似三角形判定定理可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质即可建立各量之间的数量关系。
（2）第二问直接将已知数值代入上述比例关系，解一元一次方程即可求出旗杆高度，列式时需注意对应边的对应关系，避免比例项颠倒。
【解析】
（1）示意图：画水平线段代表地面，左侧画垂直于地面的线段$AB$代表旗杆，$B$为地面垂足，过$A$作斜向下的线段$AC$交地面于$C$，$BC$即为旗杆影长；右侧画垂直于地面的线段$DE$代表人的身高，$E$为地面垂足，过$D$作平行于$AC$的斜向下线段$DF$交地面于$F$，$EF$即为人的影长。
道理：$\because AC// DF$（同一时刻太阳光线平行），$\therefore ∠ ACB=∠ DFE$，又$\because ∠ ABC=∠ DEF=90°$，$\therefore △ ABC∽△ DEF$，可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，即同一时刻直立物体的高度与影长成正比，可通过已知量计算旗杆高度。
（2）解：设旗杆的高度为$x$ m，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{人的身高}}{\mathrm{人的影长}}=\frac{\mathrm{旗杆高度}}{\mathrm{旗杆影长}}$
代入已知数据：$\frac{1.5}{1.2}=\frac{x}{9.6}$
解得：$x=\frac{1.5×9.6}{1.2}=12$
【答案】
(1) 略；(2) 12 m
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行投影
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查相似三角形的实际应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用对应边成比例求解，能有效提升学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.8
