典例2 利用等式的性质解下列方程：
(1)$2x - 5 = x - 5$；
(2)$-\dfrac{1}{3}x - 5 = 8$。
典例解析

解：
(1) 等式两边同时加5，得
$2x -5 +5 = x -5 +5$
化简，得
$2x = x$
等式两边同时减去x，得
$2x - x = x - x$
于是
$x = 0$
(2) 等式两边同时加5，得
$-\dfrac{1}{3}x -5 +5 = 8 +5$
化简，得
$-\dfrac{1}{3}x = 13$
等式两边同时乘$-3$，得
$x = -39$

【分析】
解这两个方程的核心目标是利用等式的性质逐步将方程变形为$x=a$的形式。对于方程(1)，观察到等式两边都有常数项$-5$，首先用等式的性质1，两边同时加5消去常数项，得到$2x=x$，再用等式的性质1两边同时减$x$，即可求出$x$的值；对于方程(2)，先用等式的性质1两边同时加5，消去左边的常数项，得到仅含$x$的项等于常数的形式，再用等式的性质2两边同时乘$-3$，将$x$的系数化为1，即可求出$x$的值。
【解析】
解：
(1) 等式两边同时加5，得
$2x -5 +5 = x -5 +5$
化简，得
$2x = x$
等式两边同时减去x，得
$2x - x = x - x$
于是
$x = 0$
(2) 等式两边同时加5，得
$-\dfrac{1}{3}x -5 +5 = 8 +5$
化简，得
$-\dfrac{1}{3}x = 13$
等式两边同时乘$-3$，得
$x = -39$
【答案】
(1)$x=0$；(2)$x=-39$
【知识点】
1.等式的性质 2.解一元一次方程
【点评】
本题是利用等式性质解方程的基础题型，解题时需明确每一步变形的依据，运算过程中注意不要漏项，系数化为1时要留意符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8

举一反三 利用等式的性质完成下列
解方程$3-\frac{1}{2}x=4$的过程.
解:根据,方程两边,
得$3-\frac{1}{2}x-3=4$.
于是$-\frac{1}{2}x=$.
根据,方程两边,
得$x=$.

等式的性质1 减3 $-3$ 1 等式的性质2 乘$-2$ $-2$

【分析】
本题考查利用等式的性质解一元一次方程，解题思路分为两步：第一步先消去方程左侧的常数项3，根据等式的性质1（等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍然成立），需给方程两边同时减3，计算后可得到仅含未知数项和常数项的等式；第二步将未知数的系数化为1，根据等式的性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立），未知数系数为$-\frac{1}{2}$，因此给方程两边同时乘$-2$即可求得$x$的值。
【解析】
根据等式的性质1，方程两边减3，得$3-\frac{1}{2}x-3=4-3$，于是$-\frac{1}{2}x=1$。根据等式的性质2，方程两边乘$-2$，得$x=-2$。
【答案】
等式的性质1；减3；$-3$；1；等式的性质2；乘$-2$；$-2$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，重点考查等式两个基本性质的实际应用，熟练掌握等式的性质是解一元一次方程的前提，运算时需注意等式两边要做完全相同的变形，避免漏算。
【难度系数】
0.9

1.把等式$m - 2n = n - 2m$变形为$m + 2m = n + 2n$是根据()。

A.在等式两边加$2m$
B.在等式两边加$2n$
C.在等式两边加$2m + 2n$
D.在等式两边加$2m - 2n$

1. C

【分析】
要判断等式变形的依据，需结合等式的性质1（等式两边同时加或减同一个数/整式，等式仍然成立）分析：首先观察原等式$m - 2n = n - 2m$和目标等式$m + 2m = n + 2n$的差异：原等式左边含$-2n$、右边含$-2m$，要消去这两项，需要给两边同时加上$2m+2n$，也可以逐一验证每个选项的操作是否能得到目标等式，排除错误选项即可得出答案。
【解析】
根据等式的性质1，我们逐一验证选项：
1. 验证选项C：给原等式$m - 2n = n - 2m$两边同时加$2m+2n$：
左边：$m - 2n + 2m + 2n = m + 2m$
右边：$n - 2m + 2m + 2n = n + 2n$
恰好得到目标等式，符合要求。
2. 验证其他选项：
A. 两边加$2m$，得$3m - 2n = n$，不符合目标等式，错误；
B. 两边加$2n$，得$m = 3n - 2m$，不符合目标等式，错误；
D. 两边加$2m - 2n$，得$3m - 4n = -n$，不符合目标等式，错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1
【点评】
本题考查等式性质的基础应用，解题时既可以通过对比变形前后等式的差异推导需要添加的整式，也可以通过代入验证选项的方式快速排除错误答案，核心是牢记等式变形时两边必须同时操作同一个数或整式。
【难度系数】
0.8

2. 根据等式的性质填空，并填写依据.
(1)若$2m-3n=7$，则$2m=7+$，
.
(2)若$\dfrac{1}{3}x+4=6$，则$x+12=$，
.

2. (1) $3n$ 根据等式的性质1,等式两边加$3n$,结果仍相等
(2) $18$ 根据等式的性质2,等式两边乘3,结果仍相等

【分析】
解题时先回忆等式的两条基本性质，再观察每小问中等式左边的变形要求，对应选择合适的等式性质对等式右边做相同的变形即可。
(1) 目标是将等式左边的$2m-3n$变为$2m$，需要给左边加上$3n$，根据等式的性质1，等式两边需同时加同一个式子，因此右边也要加$3n$，就能得到结果，同时写出对应依据。
(2) 目标是将等式左边的$\dfrac{1}{3}x+4$变为$x+12$，观察可知是给左边整体乘3，根据等式的性质2，等式两边需同时乘同一个数，因此右边$6$也要乘3，计算出结果后写出对应依据。
【解析】
(1) 已知$2m-3n=7$，根据等式的性质1，等式两边同时加上$3n$，等式仍然成立：
$2m-3n+3n=7+3n$，化简得$2m=7+3n$，依据为等式的性质1，等式两边加$3n$，结果仍相等。
(2) 已知$\dfrac{1}{3}x+4=6$，根据等式的性质2，等式两边同时乘$3$，等式仍然成立：
$(\dfrac{1}{3}x+4)×3=6×3$，计算得$x+12=18$，依据为等式的性质2，等式两边乘$3$，结果仍相等。
【答案】
(1) $3n$，根据等式的性质1,等式两边加$3n$,结果仍相等
(2) $18$，根据等式的性质2,等式两边乘3,结果仍相等
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础应用类题目，解题核心是先明确等式一侧的变形方式，再对另一侧做完全相同的运算，注意区分加、减变形用性质1，乘、除变形用性质2，掌握方法后不易出错。
【难度系数】
0.85