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3. 利用等式的性质解下列方程.
(1)$x - 4 = 7$;
(2)$0.5x = 15$;
(3)$5x - 10 = 0$;
(4)$3x + 1 = 4$.
(1)$x - 4 = 7$;
(2)$0.5x = 15$;
(3)$5x - 10 = 0$;
(4)$3x + 1 = 4$.
答案
3. 解 (1)$x-4=7$,方程两边加4,得$x-4+4=7+4$.于是$x=11$.
(2)$0.5x=15$,方程两边除以0.5,得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$.于是$x=30$.
(3)$5x-10=0$,方程两边加10,得$5x-10+10=0+10$.于是$5x=10$.方程两边除以5,得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$.于是$x=2$.
(4)$3x+1=4$,方程两边减1,得$3x+1-1=4-1$.于是$3x=3$.方程两边除以3,得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$.于是$x=1$.
(2)$0.5x=15$,方程两边除以0.5,得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$.于是$x=30$.
(3)$5x-10=0$,方程两边加10,得$5x-10+10=0+10$.于是$5x=10$.方程两边除以5,得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$.于是$x=2$.
(4)$3x+1=4$,方程两边减1,得$3x+1-1=4-1$.于是$3x=3$.方程两边除以3,得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$.于是$x=1$.
解析
【分析】
本题要求利用等式的性质解一元一次方程，核心思路是通过等式的两个基本性质，逐步将方程变形为“x=a（a为常数）”的形式。首先明确等式的两个性质：①等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先处理方程中的常数项，将常数项移到等号右侧，再将未知数的系数化为1即可。
【解析】
(1) $x-4=7$，方程两边加4，得$x-4+4=7+4$，于是$x=11$。
(2) $0.5x=15$，方程两边除以0.5，得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$，于是$x=30$。
(3) $5x-10=0$，方程两边加10，得$5x-10+10=0+10$，于是$5x=10$。方程两边除以5，得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$，于是$x=2$。
(4) $3x+1=4$，方程两边减1，得$3x+1-1=4-1$，于是$3x=3$。方程两边除以3，得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$，于是$x=1$。
【答案】
(1)$x=11$；(2)$x=30$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题过程中需注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同的运算，避免出现仅单边运算的错误，掌握该类题型能为后续学习更复杂的方程解法夯实基础。
【难度系数】
0.9
本题要求利用等式的性质解一元一次方程，核心思路是通过等式的两个基本性质，逐步将方程变形为“x=a（a为常数）”的形式。首先明确等式的两个性质：①等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先处理方程中的常数项，将常数项移到等号右侧，再将未知数的系数化为1即可。
【解析】
(1) $x-4=7$，方程两边加4，得$x-4+4=7+4$，于是$x=11$。
(2) $0.5x=15$，方程两边除以0.5，得$\frac{0.5x}{0.5}=\frac{15}{0.5}$，于是$x=30$。
(3) $5x-10=0$，方程两边加10，得$5x-10+10=0+10$，于是$5x=10$。方程两边除以5，得$\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$，于是$x=2$。
(4) $3x+1=4$，方程两边减1，得$3x+1-1=4-1$，于是$3x=3$。方程两边除以3，得$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$，于是$x=1$。
【答案】
(1)$x=11$；(2)$x=30$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，解题过程中需注意每一步变形都要保证等式两边同时进行相同的运算，避免出现仅单边运算的错误，掌握该类题型能为后续学习更复杂的方程解法夯实基础。
【难度系数】
0.9
4. 对于任意有理数$a,b,c,d$，我们规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，如$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1×4 -2×3=-2$。若$\begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}=-2$，请你根据等式的性质求出$x$的值。
答案
4. 解 由$\begin{vmatrix} x & -2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix}=-2$,可得$-4x - (-2)×3=-2$,即$-4x+6=-2$.方程两边减6,得$-4x+6-6=-2-6$.于是$-4x=-8$.方程两边除以$-4$,得$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$.于是$x=2$.
解析
【分析】
首先明确题目给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的计算结果为对角线上的$a$与$d$的乘积减去另一对角线上$b$与$c$的乘积。解题时先将给定的行列式按照该规则转化为含$x$的一元一次方程，再根据等式的性质逐步解方程，即可求出$x$的值。
【解析】
根据题中新定义运算规则，由$\begin{vmatrix}x&-2\\3&-4\end{vmatrix}=-2$可得：
$-4x - (-2)×3=-2$
整理得：$-4x+6=-2$
根据等式的性质1，方程两边同时减6，得：
$-4x+6-6=-2-6$
即$-4x=-8$
根据等式的性质2，方程两边同时除以$-4$（$-4≠0$），得：
$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$
解得$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
新定义运算，等式的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题结合新定义运算考查等式性质的应用，解题关键是准确理解新运算规则并正确列出方程，再按等式性质规范求解，属于基础题型，侧重基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的计算结果为对角线上的$a$与$d$的乘积减去另一对角线上$b$与$c$的乘积。解题时先将给定的行列式按照该规则转化为含$x$的一元一次方程，再根据等式的性质逐步解方程，即可求出$x$的值。
【解析】
根据题中新定义运算规则，由$\begin{vmatrix}x&-2\\3&-4\end{vmatrix}=-2$可得：
$-4x - (-2)×3=-2$
整理得：$-4x+6=-2$
根据等式的性质1，方程两边同时减6，得：
$-4x+6-6=-2-6$
即$-4x=-8$
根据等式的性质2，方程两边同时除以$-4$（$-4≠0$），得：
$\frac{-4x}{-4}=\frac{-8}{-4}$
解得$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
新定义运算，等式的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题结合新定义运算考查等式性质的应用，解题关键是准确理解新运算规则并正确列出方程，再按等式性质规范求解，属于基础题型，侧重基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. 小林平时总喜欢思考问题.有一天他对妈妈说:“我发现2和5是可以一样大的,我这里有一个方程$5x - 2 = 2x - 2$.方程两边加2,得$5x - 2 + 2 = 2x - 2 + 2$①,即$5x = 2x$.方程两边除以$x$,得$5 = 2$②.”你认为小林的说法正确吗?如果正确,请说明上述①②步的理由;如果不正确,请指出错在哪里,并加以改正.
答案
5. 解 不正确.
①正确,运用了等式的性质1;
②不正确,方程两边不能除以$x$,因为$x$可能为0.
改正:由$5x=2x$,方程两边减$2x$,于是$3x=0$.方程两边除以3,于是$x=0$.
①正确,运用了等式的性质1;
②不正确,方程两边不能除以$x$,因为$x$可能为0.
改正:由$5x=2x$,方程两边减$2x$,于是$3x=0$.方程两边除以3,于是$x=0$.
解析
【分析】
解题时首先要明确等式性质的适用条件，逐步验证小林的每一步变形是否符合要求：第一步，方程两边同时加2，符合等式性质1“等式两边加减同一个数，等式仍然成立”的要求，是正确的；第二步，方程两边同时除以x，此时未确定x的取值，而等式性质2明确规定等式两边除以的数不能为0，x可能为0，因此该步错误。改正时需遵循解一元一次方程的规范步骤，先移项合并同类项，再将系数化为1求解。
【解析】
解：小林的说法不正确。
1. 步骤①是正确的，变形依据为等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，方程两边同时加2的操作符合该性质要求。
2. 步骤②是错误的，不符合等式的性质2的要求：等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，此时x的取值未知，x有可能为0，因此不能直接在方程两边除以x。
3. 正确改正过程：
由$5x=2x$，方程两边同时减去$2x$，得$3x=0$，
方程两边同时除以3，得$x=0$。
【答案】
不正确。①正确，运用了等式的性质1；②不正确，方程两边不能除以$x$,因为$x$可能为0。改正:由$5x=2x$,方程两边减$2x$,于是$3x=0$。方程两边除以3,于是$x=0$。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是容易忽略等式两边除以的数不能为0的前提条件，解题时要严格按照等式性质的要求进行方程变形，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确等式性质的适用条件，逐步验证小林的每一步变形是否符合要求：第一步，方程两边同时加2，符合等式性质1“等式两边加减同一个数，等式仍然成立”的要求，是正确的；第二步，方程两边同时除以x，此时未确定x的取值，而等式性质2明确规定等式两边除以的数不能为0，x可能为0，因此该步错误。改正时需遵循解一元一次方程的规范步骤，先移项合并同类项，再将系数化为1求解。
【解析】
解：小林的说法不正确。
1. 步骤①是正确的，变形依据为等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，方程两边同时加2的操作符合该性质要求。
2. 步骤②是错误的，不符合等式的性质2的要求：等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，此时x的取值未知，x有可能为0，因此不能直接在方程两边除以x。
3. 正确改正过程：
由$5x=2x$，方程两边同时减去$2x$，得$3x=0$，
方程两边同时除以3，得$x=0$。
【答案】
不正确。①正确，运用了等式的性质1；②不正确，方程两边不能除以$x$,因为$x$可能为0。改正:由$5x=2x$,方程两边减$2x$,于是$3x=0$。方程两边除以3,于是$x=0$。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是容易忽略等式两边除以的数不能为0的前提条件，解题时要严格按照等式性质的要求进行方程变形，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.7
利用合并同类项解“$ax+bx=c$”类型的一元一次方程.
解方程:$x+2x+4x=140.$
第一步:
第二步:
解方程:$x+2x+4x=140.$
第一步:
合并同类项
,得$7x=140$.第二步:
系数化为1
,得$x=20.$答案
1. 合并同类项
2. 系数化为1
2. 系数化为1
解析
【分析】
本题考查“$ax+bx=c$”型一元一次方程的解法，解题时先观察方程左边的项：$x$、$2x$、$4x$都是含未知数$x$的同类项，首先要把同类项合并，将方程左边化简为单项式，得到形如$mx=n$的方程；再根据等式的性质，将未知数的系数化为1，即可求出方程的解。
【解析】
解方程$x+2x+4x=140$：
第一步，将左边的同类项合并，计算系数和：$1+2+4=7$，因此合并同类项后得$7x=140$；
第二步，等式两边同时除以7，将$x$的系数化为1，计算得$x=140÷7=20$。
因此两个空依次对应合并同类项、系数化为1。
【答案】
1. 合并同类项；2. 系数化为1
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查解一元一次方程的基础步骤，熟练掌握相关操作是解更复杂一元一次方程的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查“$ax+bx=c$”型一元一次方程的解法，解题时先观察方程左边的项：$x$、$2x$、$4x$都是含未知数$x$的同类项，首先要把同类项合并，将方程左边化简为单项式，得到形如$mx=n$的方程；再根据等式的性质，将未知数的系数化为1，即可求出方程的解。
【解析】
解方程$x+2x+4x=140$：
第一步，将左边的同类项合并，计算系数和：$1+2+4=7$，因此合并同类项后得$7x=140$；
第二步，等式两边同时除以7，将$x$的系数化为1，计算得$x=140÷7=20$。
因此两个空依次对应合并同类项、系数化为1。
【答案】
1. 合并同类项；2. 系数化为1
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查解一元一次方程的基础步骤，熟练掌握相关操作是解更复杂一元一次方程的前提。
【难度系数】
0.9
