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● 跟踪练习3 解下列方程：
(1) $8 - 2(2x - 1) = 17 + 2(x + 3)$；
(2) $x - \frac{1 - x}{2} = 5 - \frac{x + 4}{7}$。
(1) $8 - 2(2x - 1) = 17 + 2(x + 3)$；
(2) $x - \frac{1 - x}{2} = 5 - \frac{x + 4}{7}$。
答案
解：(1)去括号，得$8-4x+2=17+2x+6$。
移项及合并同类项，得$-6x=13$。
系数化为1，得$x=-\frac{13}{6}$。
(2)去分母，得$14x-7(1-x)=70-2(x+4)$。
去括号，得$14x-7+7x=70-2x-8$。
移项，得$14x+7x+2x=70-8+7$。
合并同类项，得$23x=69$。
系数化为1，得$x=3$。
移项及合并同类项，得$-6x=13$。
系数化为1，得$x=-\frac{13}{6}$。
(2)去分母，得$14x-7(1-x)=70-2(x+4)$。
去括号，得$14x-7+7x=70-2x-8$。
移项，得$14x+7x+2x=70-8+7$。
合并同类项，得$23x=69$。
系数化为1，得$x=3$。
解析
【分析】
这两道题均为一元一次方程的求解，可按照解一元一次方程的常规步骤解题：①若方程含分母，先去分母；②若方程含括号，再去括号；③移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧；④合并同类项；⑤系数化为1得到解。
第(1)题是带括号的一元一次方程，先按去括号法则去掉两侧括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号，再按后续步骤求解即可。
第(2)题是含分母的一元一次方程，先找到分母2和7的最小公倍数14，方程两边同时乘14去掉分母，注意不要漏乘不含分母的项，再按后续步骤求解即可。
【解析】
(1)去括号，得$8-4x+2=17+2x+6$。
移项及合并同类项，得$-6x=13$。
系数化为1，得$x=-\frac{13}{6}$。
(2)去分母，得$14x-7(1-x)=70-2(x+4)$。
去括号，得$14x-7+7x=70-2x-8$。
移项，得$14x+7x+2x=70-8+7$。
合并同类项，得$23x=69$。
系数化为1，得$x=3$。
【答案】
(1)$x=-\frac{13}{6}$；(2)$x=3$
【知识点】
解一元一次方程；去括号法则；等式的性质
【点评】
这两道题是解一元一次方程的典型基础题，分别覆盖了带括号、带分母的一元一次方程求解场景，解题时需注意：去括号时若括号前为负号，括号内各项均要变号；去分母时不要漏乘没有分母的项，熟练掌握求解步骤就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题均为一元一次方程的求解，可按照解一元一次方程的常规步骤解题：①若方程含分母，先去分母；②若方程含括号，再去括号；③移项，将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧；④合并同类项；⑤系数化为1得到解。
第(1)题是带括号的一元一次方程，先按去括号法则去掉两侧括号，注意括号前是负号时括号内每一项都要变号，再按后续步骤求解即可。
第(2)题是含分母的一元一次方程，先找到分母2和7的最小公倍数14，方程两边同时乘14去掉分母，注意不要漏乘不含分母的项，再按后续步骤求解即可。
【解析】
(1)去括号，得$8-4x+2=17+2x+6$。
移项及合并同类项，得$-6x=13$。
系数化为1，得$x=-\frac{13}{6}$。
(2)去分母，得$14x-7(1-x)=70-2(x+4)$。
去括号，得$14x-7+7x=70-2x-8$。
移项，得$14x+7x+2x=70-8+7$。
合并同类项，得$23x=69$。
系数化为1，得$x=3$。
【答案】
(1)$x=-\frac{13}{6}$；(2)$x=3$
【知识点】
解一元一次方程；去括号法则；等式的性质
【点评】
这两道题是解一元一次方程的典型基础题，分别覆盖了带括号、带分母的一元一次方程求解场景，解题时需注意：去括号时若括号前为负号，括号内各项均要变号；去分母时不要漏乘没有分母的项，熟练掌握求解步骤就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
【例4】 一群人乘车出游，若每3人共乘1辆车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，则最终剩余9人。他们一共有多少人？
总结 列方程解应用题，一定要熟记各类实际问题中不同的公式、关系式，并会进行灵活变形。
总结 列方程解应用题，一定要熟记各类实际问题中不同的公式、关系式，并会进行灵活变形。
答案
解：设他们一共有$x$人。
根据题意，得$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$。
去分母，得$2x+12=3(x-9)$。
去括号，得$2x+12=3x-27$。
移项，得$2x-3x=-27-12$。
合并同类项，得$-x=-39$。
系数化为1，得$x=39$。
答：他们一共有39人。
根据题意，得$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$。
去分母，得$2x+12=3(x-9)$。
去括号，得$2x+12=3x-27$。
移项，得$2x-3x=-27-12$。
合并同类项，得$-x=-39$。
系数化为1，得$x=39$。
答：他们一共有39人。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系。本题中车辆总数是固定不变的，我们可以通过两种乘车方案分别表示出总车辆数，令二者相等即可列方程求解。思考步骤如下：1. 设总人数为未知数x；2. 第一种乘车方案：每3人乘1辆车，使用的车辆数为$\frac{x}{3}$，加上剩余的2辆就是总车辆数，即总车数=$\frac{x}{3}+2$；3. 第二种乘车方案：每2人乘1辆车，剩余9人无车可坐，说明乘车的人数为$x-9$，使用的车辆数为$\frac{x-9}{2}$，此时车辆全部用完，即总车数=$\frac{x-9}{2}$；4. 根据总车数相等列方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可得到总人数。
【解析】
解：设他们一共有$x$人。
根据题意，得$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$。
去分母，得$2x+12=3(x-9)$。
去括号，得$2x+12=3x-27$。
移项，得$2x-3x=-27-12$。
合并同类项，得$-x=-39$。
系数化为1，得$x=39$。
答：他们一共有39人。
【答案】
39人
【知识点】
1. 列一元一次方程解应用题
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题关键是找准不变量作为列方程的等量依据，解方程过程中要注意去分母、去括号的运算规则，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.75
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系。本题中车辆总数是固定不变的，我们可以通过两种乘车方案分别表示出总车辆数，令二者相等即可列方程求解。思考步骤如下：1. 设总人数为未知数x；2. 第一种乘车方案：每3人乘1辆车，使用的车辆数为$\frac{x}{3}$，加上剩余的2辆就是总车辆数，即总车数=$\frac{x}{3}+2$；3. 第二种乘车方案：每2人乘1辆车，剩余9人无车可坐，说明乘车的人数为$x-9$，使用的车辆数为$\frac{x-9}{2}$，此时车辆全部用完，即总车数=$\frac{x-9}{2}$；4. 根据总车数相等列方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可得到总人数。
【解析】
解：设他们一共有$x$人。
根据题意，得$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$。
去分母，得$2x+12=3(x-9)$。
去括号，得$2x+12=3x-27$。
移项，得$2x-3x=-27-12$。
合并同类项，得$-x=-39$。
系数化为1，得$x=39$。
答：他们一共有39人。
【答案】
39人
【知识点】
1. 列一元一次方程解应用题
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题关键是找准不变量作为列方程的等量依据，解方程过程中要注意去分母、去括号的运算规则，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.75
● 跟踪练习4 对联是中华优秀传统文化的瑰宝.对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是6:4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$.某人按上述尺寸装裱一副对联,对联的长为100 cm,宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天头长.
答案
解：设天头长为$6x$ cm，则地头长为$4x$ cm，左、右边的宽为$x$ cm。
根据题意，得$100+10x=4×(27+2x)$。
解得$x=4$。
$6x=6×4=24$。
答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm。
根据题意，得$100+10x=4×(27+2x)$。
解得$x=4$。
$6x=6×4=24$。
答：边的宽为4 cm，天头长为24 cm。
解析
【分析】
首先根据题目给出的天头长与地头长的比例关系巧设未知数：已知天头长:地头长=6:4，可设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm；再根据“边的宽为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$”，可推出边的宽为$\frac{1}{10}×(6x+4x)=x$ cm。接下来分别表示出装裱后的长和宽：装裱后的长=对联本身的长+天头长+地头长，装裱后的宽=对联本身的宽+左右两边的宽度之和。最后根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设天头长为$6x$ cm，则地头长为$4x$ cm，
边的宽为$\frac{1}{10}×(6x+4x)=x$ cm。
根据题意列方程：
$100 + 6x + 4x = 4×(27 + 2x)$
整理得：$100 + 10x = 108 + 8x$
移项得：$10x - 8x = 108 - 100$
合并同类项得：$2x = 8$
解得：$x = 4$
因此边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm
【知识点】
一元一次方程应用；比例分配；列方程解应用题
【点评】
本题结合对联装裱的传统文化场景，考查用一元一次方程解决实际问题的能力，解题核心是根据比例关系简化未知数的设置，准确找到装裱后长宽的等量关系，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的天头长与地头长的比例关系巧设未知数：已知天头长:地头长=6:4，可设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm；再根据“边的宽为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$”，可推出边的宽为$\frac{1}{10}×(6x+4x)=x$ cm。接下来分别表示出装裱后的长和宽：装裱后的长=对联本身的长+天头长+地头长，装裱后的宽=对联本身的宽+左右两边的宽度之和。最后根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设天头长为$6x$ cm，则地头长为$4x$ cm，
边的宽为$\frac{1}{10}×(6x+4x)=x$ cm。
根据题意列方程：
$100 + 6x + 4x = 4×(27 + 2x)$
整理得：$100 + 10x = 108 + 8x$
移项得：$10x - 8x = 108 - 100$
合并同类项得：$2x = 8$
解得：$x = 4$
因此边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm
【知识点】
一元一次方程应用；比例分配；列方程解应用题
【点评】
本题结合对联装裱的传统文化场景，考查用一元一次方程解决实际问题的能力，解题核心是根据比例关系简化未知数的设置，准确找到装裱后长宽的等量关系，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
