1.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，要说明$∠ D'O'C' = ∠ DOC$，需要证明$△ D'O'C' ≌ △ DOC$，则这两个三角形全等的依据是（）。


A.SAS
B.SSS
C.ASA
D.AAS

1. B

【分析】
解题时先回忆尺规作一个角等于已知角的操作步骤：①以已知角顶点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交角的两边OA、OB于C、D两点；②作射线O'A'，以O'为圆心，OC长度为半径画弧，交O'A'于C'；③以C'为圆心，CD长度为半径画弧，与第二步所作的弧交于D'，过O'、D'作射线O'B'。由作图过程可直接得到△D'O'C'和△DOC的三组对应边相等，再结合全等三角形的判定定理即可确定全等依据。
【解析】
根据尺规作等角的步骤可得：
$OC = O'C'$，$OD = O'D'$，$CD = C'D'$，
在$△ D'O'C'$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}O'C' = OC \\O'D' = OD \\C'D' = CD\end{cases}$
∴ $△ D'O'C' ≌ △ DOC$（SSS），
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ D'O'C' = ∠ DOC$，因此全等依据为SSS。
【答案】
B
【知识点】
尺规作等角，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题核心是考查尺规作等角的原理，需要学生熟悉作图步骤，掌握全等三角形的判定规则，是基础作图和基础几何定理的结合考查。
【难度系数】
0.8

2.如图,已知 P 是$△ ABC$内部一点,用直尺和圆规作直线 $PQ$,使直线 $PQ// BC$.

2. 作法 如图.
(1)过点 P 作射线 CM,在点 P 处作∠BCM 的同位角∠QPM,使∠QPM=∠BCM.
(2)反向延长 PQ,得直线 PQ,则直线PQ//BC.

【分析】
要作出过点P且平行于BC的直线，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理解题。首先构造一条同时与BC、点P相交的截线，得到截线与BC形成的角，再用尺规在点P处作出与该角相等的同位角，该角的边所在直线即为所求的平行线。
【解析】
1. 构造截线：过点P作射线与AC相交，该射线与BC形成夹角∠BCM；
2. 作相等同位角：按照尺规作一个角等于已知角的操作方法，在点P处作∠BCM的同位角∠QPM，使得∠QPM=∠BCM；
3. 得到所求直线：反向延长PQ得到直线PQ，根据“同位角相等，两直线平行”，可证直线PQ//BC。
作图结果如下：

【答案】
作法如图：
(1)过点P作射线CM，在点P处作∠BCM的同位角∠QPM，使∠QPM=∠BCM。
(2)反向延长PQ，得直线PQ，则直线PQ//BC。

【知识点】
1. 尺规作一个角等于已知角
2. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是将平行线的判定原理和作等角的基本作图方法结合起来解决问题，要求学生熟练掌握基本尺规作图的操作步骤，能结合几何定理确定作图思路。
【难度系数】
0.8

3.如图,已知线段a和∠α,用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,∠B=∠α,∠C=2∠α.

作法 如图.
(1)作∠MBN=∠α；
(2)在射线 BM 上作BC=a；
(3)依次作∠BCD=∠α,∠DCA=∠α,CA 交 BN 于点 A,则△ABC 就是所求作的三角形.

【分析】
要构造满足条件的△ABC，可按照“先定边，再定角”的思路思考：首先明确已知条件是BC边长为a，∠B=∠α，∠C=2∠α，第一步先确定边BC：先使用尺规作出大小为∠α的角作为∠B，再在∠B的其中一条射线上截取长度为a的线段得到BC边；第二步构造∠C=2∠α：利用“作一个角等于已知角”的方法，连续叠加两个大小为∠α的角即可得到2∠α，∠B和∠C的另一条边的交点就是顶点A，即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠MBN=∠α；
2. 在射线BM上截取线段BC，使得BC=a；
3. 以点C为顶点，CB为一边，先作∠BCD=∠α，再在∠BCD朝向BN的一侧作∠DCA=∠α，此时∠ACB=2∠α，射线CA与BN交于点A，△ABC即为所求作的三角形。
【答案】
作法如图.
(1)作∠MBN=∠α；
(2)在射线 BM 上作BC=a；
(3)依次作∠BCD=∠α,∠DCA=∠α,CA 交 BN 于点 A,则△ABC 就是所求作的三角形.

【知识点】
作线段等于已知线段；作一个角等于已知角；尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，考查对两种基本作图方法的掌握和运用，作图时要注意保留完整的作图痕迹，构造2∠α时要保证两个∠α正确叠加，符合角度要求。
【难度系数】
0.8

4.如图，用直尺和圆规作一点E，使$CE // AB$，$CE=AB$，且点E在四边形ABCD的内部。

作法 如图.
(1)连接 AC,在 AC 的右侧作∠ACF=∠BAC；
(2)在 CF 上作 CE=AB,此时点 E 在四边形ABCD 的内部,则点 E 就是所求作的点.

【分析】
要作满足$CE// AB$且$CE=AB$的点E，首先可依据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，选择AC作为截线，构造与$∠ BAC$相等的内错角，即可得到AB的平行线；再在这条平行线上截取长度等于AB的线段CE，同时保证点E落在四边形ABCD内部，即可得到所求点E。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接AC，以点C为顶点、AC为一边，在AC的右侧作$∠ ACF=∠ BAC$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$CF// AB$；
2. 以点C为圆心、AB的长为半径画弧，交CF于点E，且点E在四边形ABCD的内部，此时$CE=AB$，点E即为所求。
【答案】
作法 如图.
(1)连接 AC,在 AC 的右侧作∠ACF=∠BAC；
(2)在 CF 上作 CE=AB,此时点 E 在四边形ABCD 的内部,则点 E 就是所求作的点.

【知识点】
作一个角等于已知角；平行线的判定；作线段等于已知线段
【点评】
本题考查尺规基本作图的综合应用，解题关键是结合平行线的判定定理确定作图思路，熟练掌握作等角、作等线段的基本尺规作图方法即可求解。
【难度系数】
0.7