1. 作平行线
典例1 如图，已知四边形ABCD，∠EAD是其一个外角.利用直尺和圆规在边BC上作一点M，使得DM//AB.

解：
作法：
1. 以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线AE、线段AD于点G、H；
2. 以点D为圆心，AG长为半径画弧，交线段AD于点P；
3. 以点P为圆心，GH长为半径画弧，在AD靠近BC的一侧交上一步所画的弧于点Q；
4. 过点D、Q作射线DQ，交边BC于点M。
点M即为所求作的点，由内错角相等两直线平行，可得$DM// AB$。

【分析】
要作DM//AB，可根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，通过构造相等内错角实现平行。观察图形可知，若以D为顶点、AD为一边，作∠ADM=∠EAD，则这两个角是直线AB、DM被AD所截形成的内错角，即可推出DM//AB，因此问题转化为用尺规作一个角等于已知角，所作角的另一边与BC的交点就是所求的点M。
【解析】
通过“作一个角等于已知角”的尺规作图方法操作，步骤如下：
1. 以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线AE、线段AD于点G、H；
2. 以点D为圆心，AG长为半径画弧，交线段AD于点P；
3. 以点P为圆心，GH长为半径画弧，在AD靠近BC的一侧交上一步所画的弧于点Q；
4. 过点D、Q作射线DQ，交边BC于点M。
作图原理：由作图得∠ADM=∠EAD，根据内错角相等，两直线平行，可证DM//AB，符合要求。
【答案】
作法：
1. 以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线AE、线段AD于点G、H；
2. 以点D为圆心，AG长为半径画弧，交线段AD于点P；
3. 以点P为圆心，GH长为半径画弧，在AD靠近BC的一侧交上一步所画的弧于点Q；
4. 过点D、Q作射线DQ，交边BC于点M。
点M即为所求作的点，由内错角相等两直线平行，可得$DM// AB$。
【知识点】
尺规作角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将作平行线的问题转化为作相等角的问题，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角等于已知角的基本操作，以及平行线的判定定理。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图,在$△ ABC$中,D是AC边上的一点,利用直尺和圆规过点D作BC的平行线.

1. (1) 在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2) 射线 DE 交 AB 于点 E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.

【分析】
要过点D作BC的平行线，可依据“同位角相等，两直线平行”的判定定理解题：首先明确构造相等的同位角即可得到平行线，再结合尺规作一个角等于已知角的操作，在点D处以AC为一边，作与∠ACB相等的同位角，该角的另一边所在直线就是所求的平行线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点C为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交BC、AC于两个点；再以点D为圆心，和刚才相同的长度为半径画弧，交AC于一点；最后以这个新交点为圆心，点C处两个交点的线段长为半径画弧，与前弧相交，过点D和这个交点作射线，得到∠ADE，满足∠ADE=∠ACB。
2. 射线DE与AB交于点E，反向延长ED得到直线DE，根据同位角相等，两直线平行，可得直线DE//BC，即为所求平行线。
【答案】
1. (1) 在点 D 处作∠ACB 的同位角∠ADE,使∠ADE=∠ACB.
(2) 射线 DE 交 AB 于点 E,反向延长 ED,得直线 DE,则直线 DE//BC.
【知识点】
平行线的判定；尺规作等角
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题核心是利用平行线的判定原理，通过构造相等的同位角得到平行线，熟练掌握作一个角等于已知角的操作是解题的关键。
【难度系数】
0.7

典例2 如图，已知线段a和∠α.求作△ABC，使AB = a，BC = 2a，∠ABC = ∠α.

解：
作法：
1. 作∠MBN = ∠α；
2. 在射线BM上截取线段BA = a；
3. 在射线BN上，以点B为端点顺次截取两段长度都等于a的线段，得到点C，使BC = 2a；
4. 连接AC。
则△ABC就是所求作的三角形。

【分析】
本题要求根据已知两边及其夹角作三角形，对应三角形全等的SAS判定条件，我们可以按“先定夹角、再定两边、最后连接第三边”的思路作图：首先需要作出和已知角∠α相等的角作为△ABC的内角∠ABC；接着在这个角的两条边上分别截取符合长度要求的边AB=a、BC=2a；最后连接两个端点A、C，就能得到所求的三角形。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 作∠MBN = ∠α；
2. 在射线BM上截取线段BA = a；
3. 在射线BN上，以点B为端点顺次截取两段长度都等于a的线段，得到点C，使BC = 2a；
4. 连接AC。
则△ABC就是所求作的三角形。
【答案】
作法：
1. 作∠MBN = ∠α；
2. 在射线BM上截取线段BA = a；
3. 在射线BN上，以点B为端点顺次截取两段长度都等于a的线段，得到点C，使BC = 2a；
4. 连接AC。
△ABC即为所求作的三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，尺规作三角形
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，主要考查利用两边夹一角的条件构造三角形的能力，解题的核心是熟练掌握作等角、作等线段的基本尺规作图操作，作图过程中要注意保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8

举一反三 已知线段$a$，$∠α$，$∠β$，求作$△ ABC$，使$BC=a$，$∠ B=∠α$，$∠ C=∠β$。
典例解析
典例1
作法 如图.
在点$D$处作$∠ DAE$的内错角$∠ ADM$，使$∠ ADM=∠ DAE$，交$BC$于点$M$，则$DM// AB$.

典例2
作法 如图.
(1)作$∠ MBN=∠α$；
(2)在射线$BM$上作$AB=a$，在射线$BN$上作$BC=2a$；
(3)连接$AC$，则$△ ABC$就是所求作的三角形.

2. (1) 作∠MBN=∠α;
(2) 在射线 BM 上作 BC=a;
(3) 以 C 为顶点, CB 为一边, 作∠ACB=∠β,射线 CA 交 BN 于点 A,则△ABC 就是所求作的三角形.

【分析】
本题是已知两角及夹边作三角形的尺规作图题，解题思路可按以下逻辑梳理：首先需要确定三角形的两个顶点，先作出长度为$a$的线段$BC$，即可固定$B$、$C$两点；接下来要找到第三个顶点$A$，根据条件$∠ B=∠α$可知$A$在以$B$为顶点、$BC$为边且等于$∠α$的角的射线上，根据条件$∠ C=∠β$可知$A$也在以$C$为顶点、$CB$为边且等于$∠β$的角的射线上，两条射线的交点即为点$A$，连接三点即可得到所求三角形。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 作$∠ MBN=∠α$；
2. 在射线$BM$上截取线段$BC=a$，确定顶点$B$、$C$；
3. 以点$C$为顶点，$CB$为一边，作$∠ ACB=∠β$，保证该角在$∠ MBN$的内部，射线$CA$与射线$BN$的交点即为顶点$A$，此时$△ ABC$即为所求。
【答案】
(1) 作$∠ MBN=∠ α$;
(2) 在射线 BM 上作$BC=a$;
(3) 以 C 为顶点, CB 为一边, 作$∠ ACB=∠ β$,射线 CA 交 BN 于点 A,则$△ ABC$就是所求作的三角形.
【知识点】
尺规作线段；尺规作等角；ASA作三角形
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考查已知两角及其夹边作三角形的操作方法，作图时需注意两个角要作在已知边的同侧才能得到符合要求的交点，是需要熟练掌握的基础作图技能。
【难度系数】
0.8