2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD=CD$,则下列结论中错误的是().


A.$∠ B=∠ C$
B.$∠ BAC=∠ C$
C.$AD⊥ BC$
D.$∠ BAD=∠ CAD$

2. B

【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合等腰三角形的性质先判断选项A是否正确；再根据BD=CD可知AD是等腰三角形底边BC上的中线，结合等腰三角形“三线合一”的性质判断C、D选项是否正确；最后分析B选项，仅已知AB=AC无法推出顶角等于底角，即可找到错误结论。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B、∠C为等腰三角形的两个底角，
根据“等边对等角”可得∠B=∠C，故A选项正确，不符合题意；
又
∵ BD=CD，
∴ AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：AD⊥BC，AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，故C、D选项正确，不符合题意；
题干仅给出AB=AC，未说明BC与腰长相等，无法推出顶角∠BAC等于底角∠C，故B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题时要先明确等腰三角形的边角特征，结合三线合一的性质逐一验证选项，同时要注意题干要求选择错误的结论，避免因审题不仔细失分。
【难度系数】
0.9

3.如图,在一个三角形测平架中,AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤DE,让其自然下垂,调整架身,使点A恰好在重锤线上,这时AD和BC的位置关系为.

3. 垂直

【分析】
首先提取题目已知条件：①AB=AC，可判断△ABC为等腰三角形；②D是BC的中点，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线；③调整后点A在重锤线DE上，即A、D、E共线，AD为顶点A与底边中点D的连线。此时回忆等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合，由此可推导出AD和BC的位置关系。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又
∵D为BC的中点，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合，
∴AD⊥BC。
【答案】
垂直
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段中点；垂直判定
【点评】
本题考查等腰三角形性质的实际应用，结合生活中测平架的场景设置问题，解题的关键是识别出等腰三角形及底边上的中线，熟练掌握三线合一的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.如图，$OA=OB$，$AC=BC$.求证$∠ AOC=∠ BOC$.

证明 $\because$在$△ OAC$ 和$△ OBC$ 中，
$\begin{cases}OA=OB,\\OC=OC,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore△ OAC≌△ OBC(\mathrm{SSS}),$
$\therefore∠ AOC=∠ BOC.$

【分析】
要证明∠AOC=∠BOC，可通过证明两个角所在的三角形全等来推导，因为全等三角形的对应角相等。观察图形可知∠AOC属于△OAC，∠BOC属于△OBC，先梳理两个三角形的边的条件：题目已知OA=OB、AC=BC，同时OC是两个三角形共有的公共边，满足三边对应相等的全等判定条件，因此先证△OAC≌△OBC，再推出对应角相等即可。
【解析】
证明：$\because$在$△ OAC$ 和$△ OBC$ 中，
$\begin{cases}OA=OB,\\OC=OC,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore△ OAC≌△ OBC(\mathrm{SSS}),$
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ AOC=∠ BOC$。
【答案】
证明 $\because$在$△ OAC$ 和$△ OBC$ 中，
$\begin{cases}OA=OB,\\OC=OC,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore△ OAC≌△ OBC(\mathrm{SSS}),$
$\therefore∠ AOC=∠ BOC.$
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质、公共边识别
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的关键是挖掘公共边这一隐含条件，熟练运用SSS判定定理证明三角形全等，再利用全等的性质得到对应角相等，是几何证明中“证角相等先证三角形全等”思路的典型应用。
【难度系数】
0.9

5.如图,点B,C,D,E在同一条直线上,AB=FC,AD=FE,BC=DE,探索AB与FC的位置关系,并说明理由.

解 $AB// FC$.
理由：
$\because BC=DE,$
$\therefore BC+CD=DE+CD,$
即 $BD=CE.$
在$△ ABD$ 和$△ FCE$ 中,$\begin{cases}BD=CE,\\AD=FE,\\AB=FC,\end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ FCE(\mathrm{SSS}),$
$\therefore∠ B=∠ FCE,$
$\therefore AB// FC.$

【分析】
要判断AB与FC的位置关系，此类题的位置关系通常为平行，可通过平行线的判定定理推导，因此需要先得到对应角相等。题目给出多组边相等的条件，可通过证明三角形全等得到对应角相等：首先已知BC=DE，给两条线段同时加上公共部分CD，即可得到BD=CE，再结合已知的AB=FC、AD=FE，可用SSS判定△ABD和△FCE全等，得到∠B=∠FCE，二者为同位角，即可推出AB与FC平行。
【解析】
解：$AB// FC$，理由如下：
$\because BC=DE$
$\therefore BC+CD=DE+CD$，即$BD=CE$
在$△ ABD$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}AB=FC \\AD=FE \\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ FCE \ (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ B = ∠ FCE$
根据同位角相等，两直线平行，可得$AB// FC$
【答案】
$AB// FC$
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，结合了全等三角形与平行线判定的知识点，解题关键是利用线段和的关系得到全等所需的等边，再通过全等的性质得到等角进而判定平行，能有效考查学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 已知$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$AB=A'B'$，$AC=A'C'$，如果$AD$，$A'D'$分别是$BC$，$B'C'$边上的高，且$AD=A'D'$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否全等？如果全等，给出证明；如果不全等，请举出反例。

6. 解 $△ ABC$ 与$△ A'B'C'$ 不一定全等. 如图所示，$△ ABC$ 为锐角三角形，$△ A'B'C'$为钝角三角形。

【分析】
首先回忆全等三角形的判定定理，已知两个三角形有两组对应边相等，且对应边上的高相等，不要直接默认两个三角形全等，要考虑三角形高的位置存在差异：锐角三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部。我们可以先验证同类型三角形的情况，再构造不同类型三角形的反例来判断是否一定全等。
【解析】
解：△ABC与△A'B'C'不一定全等，理由如下：
1. 若两个三角形为同类型三角形（同为锐角、钝角或直角三角形）：
在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，$\{\begin{array}{l}AB=A'B'\\AD=A'D'\end{array} $，
∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'（HL），可得BD=B'D'，
同理可证Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL），可得CD=C'D'，
∴BC=BD+CD=B'D'+C'D'=B'C'，
在△ABC和△A'B'C'中，$\{\begin{array}{l}AB=A'B'\\AC=A'C'\\BC=B'C'\end{array} $，
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）。
2. 若两个三角形类型不同，可构造反例：
如题图所示，△ABC为锐角三角形，高AD在边BC内部；△A'B'C'为钝角三角形，高A'D'在边B'C'的延长线上，此时满足$AB=A'B'$，$AC=A'C'$，高$AD=A'D'$，但$BC=BD+DC$，$B'C'=B'D'-C'D'$，显然$BC≠B'C'$，因此△ABC与△A'B'C'不全等。
综上，△ABC与△A'B'C'不一定全等。
【答案】
△ABC与△A'B'C'不一定全等。如图所示，△ABC为锐角三角形，△A'B'C'为钝角三角形。
【知识点】
1. 全等三角形判定
2. 直角三角形全等判定
3. 三角形的高
【点评】
本题易受思维定势影响，默认两个三角形高的位置相同直接判定全等，解题时要注意分类讨论三角形的类型，考虑高在三角形内部或外部的不同情况，才能全面判断结论是否成立。
【难度系数】
0.4