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典例1 如图，
在$△ ABC$中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E.
(1)若$BC=10$，求$△ ADE$的周长.
(2)设直线DM，EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由.
温馨提示 利用线段垂直平分线的性质可以证明两线段相等，不用再证三角形全等.
在$△ ABC$中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E.
(1)若$BC=10$，求$△ ADE$的周长.
(2)设直线DM，EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由.
温馨提示 利用线段垂直平分线的性质可以证明两线段相等，不用再证三角形全等.
答案
1. 解（1）
∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DB=DA，EA=EC.
∵BC=10，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10，
∴△ADE的周长为10.
（2）点O在BC的垂直平分线上，理由:延长MD，NE交于点O，连接OA，OB，OC.
∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴DB=DA，EA=EC.
∵BC=10，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10，
∴△ADE的周长为10.
（2）点O在BC的垂直平分线上，理由:延长MD，NE交于点O，连接OA，OB，OC.
∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此得到$AD=BD$、$AE=EC$，将$△ ADE$的周长中的$AD$、$AE$等量替换为$BD$、$EC$，可发现周长刚好等于$BC$的长度，代入数值即可求解。
（2）解决第二问的思路是：要判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需要证明$OB=OC$即可。连接$OA$、$OB$、$OC$，利用点$O$在$AB$、$AC$的垂直平分线上，可得$OA=OB$、$OA=OC$，等量代换得到$OB=OC$，即可得出结论。
【解析】
（1）$\because DM$是$AB$的垂直平分线，$EN$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore$根据线段垂直平分线的性质，得$DB=DA$，$EA=EC$。
已知$BC=10$，
$\therefore △ ADE$的周长 $= AD + DE + AE = BD + DE + EC = BC = 10$。
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
连接$OA$，$OB$，$OC$。
$\because OM$是$AB$的垂直平分线，$ON$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore$根据线段垂直平分线的性质，得$OA=OB$，$OA=OC$，
$\therefore OB=OC$，
根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点$O$在$BC$的垂直平分线上。
【答案】
（1）$△ ADE$的周长为$10$；
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础应用题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定，通过等量代换转化线段关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心是利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此得到$AD=BD$、$AE=EC$，将$△ ADE$的周长中的$AD$、$AE$等量替换为$BD$、$EC$，可发现周长刚好等于$BC$的长度，代入数值即可求解。
（2）解决第二问的思路是：要判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需要证明$OB=OC$即可。连接$OA$、$OB$、$OC$，利用点$O$在$AB$、$AC$的垂直平分线上，可得$OA=OB$、$OA=OC$，等量代换得到$OB=OC$，即可得出结论。
【解析】
（1）$\because DM$是$AB$的垂直平分线，$EN$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore$根据线段垂直平分线的性质，得$DB=DA$，$EA=EC$。
已知$BC=10$，
$\therefore △ ADE$的周长 $= AD + DE + AE = BD + DE + EC = BC = 10$。
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
连接$OA$，$OB$，$OC$。
$\because OM$是$AB$的垂直平分线，$ON$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore$根据线段垂直平分线的性质，得$OA=OB$，$OA=OC$，
$\therefore OB=OC$，
根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点$O$在$BC$的垂直平分线上。
【答案】
（1）$△ ADE$的周长为$10$；
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础应用题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定，通过等量代换转化线段关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图，在$△ ABC$中，$BC = 8$，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，$△ BCE$的周长为18，求$AC$的长。
答案
1. 解
∵DE 是线段 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴AE+CE=BE+CE.
∵△BCE 的周长为 18,BC=8,
∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=18,
∴AC=10.
∵DE 是线段 AB 的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴AE+CE=BE+CE.
∵△BCE 的周长为 18,BC=8,
∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=18,
∴AC=10.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到AB的垂直平分线DE，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，据此可得AE=BE。接下来分析△BCE的周长，其周长为BC+CE+BE，可将BE替换为相等的线段AE，此时周长就转化为BC+CE+AE，而CE+AE恰好是AC的长度，这样就把已知的周长条件和待求的AC建立了联系，代入已知的BC长度即可求出AC的值。
【解析】
解：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+CE=AE+CE。
∵△BCE的周长为18，BC=8，
∴BC+CE+BE=18，
将BE替换为AE可得：BC+CE+AE=BC+AC=18，
∴AC=18-BC=18-8=10。
【答案】
AC的长为10
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题是典型的利用线段垂直平分线性质求解线段长度的题目，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将分散的线段和转化为所求线段与已知线段的和，从而快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，看到AB的垂直平分线DE，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，据此可得AE=BE。接下来分析△BCE的周长，其周长为BC+CE+BE，可将BE替换为相等的线段AE，此时周长就转化为BC+CE+AE，而CE+AE恰好是AC的长度，这样就把已知的周长条件和待求的AC建立了联系，代入已知的BC长度即可求出AC的值。
【解析】
解：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+CE=AE+CE。
∵△BCE的周长为18，BC=8，
∴BC+CE+BE=18，
将BE替换为AE可得：BC+CE+AE=BC+AC=18，
∴AC=18-BC=18-8=10。
【答案】
AC的长为10
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题是典型的利用线段垂直平分线性质求解线段长度的题目，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将分散的线段和转化为所求线段与已知线段的和，从而快速求解。
【难度系数】
0.8
典例2 下列命题的逆命题是真命题的是(
A.全等三角形的面积相等
B.如果 $a = b$, 那么 $|a| = |b|$
C.两直线平行, 内错角相等
D.两个全等三角形的三对对应角相等
C
).A.全等三角形的面积相等
B.如果 $a = b$, 那么 $|a| = |b|$
C.两直线平行, 内错角相等
D.两个全等三角形的三对对应角相等
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心要点：一是逆命题的定义，即将原命题的题设和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题；二是真假命题的判断方法，能举出反例的命题为假命题，符合公理、定理的命题为真命题。解题时先分别写出每个选项原命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项的逆命题并判断真假：
1. 选项A：原命题为“全等三角形的面积相等”，逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”。举反例：同底等高的两个三角形面积相等，但形状不一定相同，不一定全等，因此该逆命题是假命题。
2. 选项B：原命题为“如果$a = b$，那么$|a| = |b|$”，逆命题为“如果$|a| = |b|$，那么$a = b$”。举反例：$a=3$，$b=-3$时，$|a|=|b|$，但$a≠b$，因此该逆命题是假命题。
3. 选项C：原命题为“两直线平行，内错角相等”，逆命题为“内错角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，属于已被证明成立的真命题。
4. 选项D：原命题为“两个全等三角形的三对对应角相等”，逆命题为“三对对应角相等的两个三角形是全等三角形”。举反例：两个边长不同的等边三角形，对应角都相等，但边长不同，不全等，因此该逆命题是假命题。
综上，只有C选项的逆命题是真命题。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的概念；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是正确区分原命题的题设和结论，准确改写逆命题，同时要熟练掌握全等三角形、平行线、绝对值的相关性质和判定，避免混淆性质和判定的逻辑关系。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确两个核心要点：一是逆命题的定义，即将原命题的题设和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题；二是真假命题的判断方法，能举出反例的命题为假命题，符合公理、定理的命题为真命题。解题时先分别写出每个选项原命题的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项的逆命题并判断真假：
1. 选项A：原命题为“全等三角形的面积相等”，逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”。举反例：同底等高的两个三角形面积相等，但形状不一定相同，不一定全等，因此该逆命题是假命题。
2. 选项B：原命题为“如果$a = b$，那么$|a| = |b|$”，逆命题为“如果$|a| = |b|$，那么$a = b$”。举反例：$a=3$，$b=-3$时，$|a|=|b|$，但$a≠b$，因此该逆命题是假命题。
3. 选项C：原命题为“两直线平行，内错角相等”，逆命题为“内错角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，属于已被证明成立的真命题。
4. 选项D：原命题为“两个全等三角形的三对对应角相等”，逆命题为“三对对应角相等的两个三角形是全等三角形”。举反例：两个边长不同的等边三角形，对应角都相等，但边长不同，不全等，因此该逆命题是假命题。
综上，只有C选项的逆命题是真命题。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的概念；真假命题判断；平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是正确区分原命题的题设和结论，准确改写逆命题，同时要熟练掌握全等三角形、平行线、绝对值的相关性质和判定，避免混淆性质和判定的逻辑关系。
【难度系数】
0.7
举一反三 “如果$a=b$，那么$a^2=b^2$”的逆命题是
理由:如图，延长MD，NE交于点O，连接OA，OB，OC.∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上.
典例2
答案C
如果$a^2=b^2$,那么$a=b$
，这个逆命题不成立
（填“成立”或“不成立”）。理由:如图，延长MD，NE交于点O，连接OA，OB，OC.∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上.
典例2
答案C
答案
1. 如果$a^2=b^2$,那么$a=b$ 2. 不成立
解析
【分析】
首先明确逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题。第一步先拆分原命题的结构：原命题“如果$a=b$，那么$a^2=b^2$”中，题设是$a=b$，结论是$a^2=b^2$，互换两者即可得到逆命题。第二步判断逆命题是否成立，只需找到一个满足逆命题的题设、但不满足逆命题结论的反例，即可证明逆命题不成立。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题的题设和结论互换，得到逆命题为“如果$a^2=b^2$，那么$a=b$”。
2. 判断逆命题的真假：举反例，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但$a≠b$，因此这个逆命题不成立。
【答案】
如果$a^2=b^2$，那么$a=b$；不成立
【知识点】
逆命题的定义；命题真假判断
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是掌握逆命题的改写方法，判断假命题时只需举出一个反例即可，无需进行严格的推理论证。
【难度系数】
0.8
首先明确逆命题的改写规则：把原命题的题设和结论互换位置，就能得到原命题的逆命题。第一步先拆分原命题的结构：原命题“如果$a=b$，那么$a^2=b^2$”中，题设是$a=b$，结论是$a^2=b^2$，互换两者即可得到逆命题。第二步判断逆命题是否成立，只需找到一个满足逆命题的题设、但不满足逆命题结论的反例，即可证明逆命题不成立。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题的题设和结论互换，得到逆命题为“如果$a^2=b^2$，那么$a=b$”。
2. 判断逆命题的真假：举反例，当$a=2$，$b=-2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，满足$a^2=b^2$，但$a≠b$，因此这个逆命题不成立。
【答案】
如果$a^2=b^2$，那么$a=b$；不成立
【知识点】
逆命题的定义；命题真假判断
【点评】
本题是基础概念考查题，重点是掌握逆命题的改写方法，判断假命题时只需举出一个反例即可，无需进行严格的推理论证。
【难度系数】
0.8
