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1.用简便方法计算：
(1)$\frac{7}{13} × (-9) + \frac{7}{13} × (-18) + \frac{7}{13}$；
(2)$(-6)^2 × ( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) - 2^3$；
(3)$-13 × \frac{2}{3} - 0.68 × \frac{1}{7} + \frac{1}{3} × (-13) - \frac{5}{7} × 0.34$。
(1)$\frac{7}{13} × (-9) + \frac{7}{13} × (-18) + \frac{7}{13}$；
(2)$(-6)^2 × ( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} ) - 2^3$；
(3)$-13 × \frac{2}{3} - 0.68 × \frac{1}{7} + \frac{1}{3} × (-13) - \frac{5}{7} × 0.34$。
答案
1. 解:(1)原式$=\frac{7}{13}×(-9-18+1)=\frac{7}{13}×(-26)=-14.$
(2)原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8=18-24-8=-14.$
(3)$-13×\frac{2}{3}-0.68×\frac{1}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34$
$=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}$
$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})×0.34$
$=-13×1-1×0.34$
$=-13-0.34$
$=-13.34.$
(2)原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8=18-24-8=-14.$
(3)$-13×\frac{2}{3}-0.68×\frac{1}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34$
$=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}$
$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})×0.34$
$=-13×1-1×0.34$
$=-13-0.34$
$=-13.34.$
解析
【分析】
(1) 观察式子发现三项都含有相同的因数$\frac{7}{13}$，可以逆用乘法分配律$a× b+a× c+a× d=a×(b+c+d)$，把$\frac{7}{13}$提出来，先计算括号内的加减，再算乘法，避免多次通分运算。
(2) 先计算乘方得到$(-6)^2=36$，$2^3=8$，再观察到36是括号内两个分数分母的公倍数，直接用乘法分配律将36乘进括号，不需要先通分计算括号内的结果，大幅降低计算量。
(3) 先观察式子特征，把含有因数-13的两项分为一组，再将含小数的两项变形：把$0.68×\frac{1}{7}$转化为$0.34×\frac{2}{7}$，这样小数项也有相同因数0.34，分为另一组，两组分别逆用乘法分配律计算，最后再求和即可。
【解析】
(1) 提取公因数$\frac{7}{13}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{7}{13}×(-9-18+1)\\&=\frac{7}{13}×(-26)\\&=-14\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8\\&=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8\\&=18-24-8\\&=-14\end{aligned}$
(3) 分组变形后提取公因数：
$\begin{aligned}原式&=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}\\&=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})×0.34\\&=-13×1-1×0.34\\&=-13-0.34\\&=-13.34\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-14}$；(2) $\boxed{-14}$；(3) $\boxed{-13.34}$
【知识点】
乘法分配律逆用；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题重点考察有理数运算的简便技巧，解题关键是主动观察式子结构，识别相同因数或可凑整的部分，灵活运用运算律简化计算，运算时要注意符号的处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.65
(1) 观察式子发现三项都含有相同的因数$\frac{7}{13}$，可以逆用乘法分配律$a× b+a× c+a× d=a×(b+c+d)$，把$\frac{7}{13}$提出来，先计算括号内的加减，再算乘法，避免多次通分运算。
(2) 先计算乘方得到$(-6)^2=36$，$2^3=8$，再观察到36是括号内两个分数分母的公倍数，直接用乘法分配律将36乘进括号，不需要先通分计算括号内的结果，大幅降低计算量。
(3) 先观察式子特征，把含有因数-13的两项分为一组，再将含小数的两项变形：把$0.68×\frac{1}{7}$转化为$0.34×\frac{2}{7}$，这样小数项也有相同因数0.34，分为另一组，两组分别逆用乘法分配律计算，最后再求和即可。
【解析】
(1) 提取公因数$\frac{7}{13}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{7}{13}×(-9-18+1)\\&=\frac{7}{13}×(-26)\\&=-14\end{aligned}$
(2) 先算乘方，再用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=36×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-8\\&=36×\frac{1}{2}-36×\frac{2}{3}-8\\&=18-24-8\\&=-14\end{aligned}$
(3) 分组变形后提取公因数：
$\begin{aligned}原式&=-13×\frac{2}{3}-\frac{1}{3}×13-\frac{5}{7}×0.34-0.34×\frac{2}{7}\\&=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-(\frac{5}{7}+\frac{2}{7})×0.34\\&=-13×1-1×0.34\\&=-13-0.34\\&=-13.34\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-14}$；(2) $\boxed{-14}$；(3) $\boxed{-13.34}$
【知识点】
乘法分配律逆用；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题重点考察有理数运算的简便技巧，解题关键是主动观察式子结构，识别相同因数或可凑整的部分，灵活运用运算律简化计算，运算时要注意符号的处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.65
2.(阅读理解题)先阅读下面材料,再回答问题.
计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$.
解:原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12$
$=-10$,
故原式$=-\frac{1}{10}$.
根据材料所给的方法,计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$.
计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$.
解:原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)$
$=\frac{2}{3}×(-30)-\frac{1}{10}×(-30)+\frac{1}{6}×(-30)-\frac{2}{5}×(-30)$
$=-20+3-5+12$
$=-10$,
故原式$=-\frac{1}{10}$.
根据材料所给的方法,计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$.
答案
解:原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12=-14,$
故原式$=-\frac{1}{14}.$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12=-14,$
故原式$=-\frac{1}{14}.$
解析
【分析】
观察例题的解题方法可知，对于这类除数为单一分数、被除数是多个分数加减的运算，直接计算括号内的通分运算较为繁琐，我们可以先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算后，利用乘法分配律简化计算，最后对倒数的计算结果再取倒数，即可得到原式的结果。
【解析】
解:原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12=-14,$
故原式$=-\frac{1}{14}.$
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题属于方法迁移类的运算题，解题的关键是读懂材料给出的简便运算思路，通过先求倒数将复杂的分数加减除法转化为可利用乘法分配律的乘法运算，大幅简化计算量，解题时需注意最后要对倒数的计算结果取倒数，避免遗漏步骤出错。
【难度系数】
0.7
观察例题的解题方法可知，对于这类除数为单一分数、被除数是多个分数加减的运算，直接计算括号内的通分运算较为繁琐，我们可以先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算后，利用乘法分配律简化计算，最后对倒数的计算结果再取倒数，即可得到原式的结果。
【解析】
解:原式的倒数为$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12=-14,$
故原式$=-\frac{1}{14}.$
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数除法运算，乘法分配律，倒数的应用
【点评】
本题属于方法迁移类的运算题，解题的关键是读懂材料给出的简便运算思路，通过先求倒数将复杂的分数加减除法转化为可利用乘法分配律的乘法运算，大幅简化计算量，解题时需注意最后要对倒数的计算结果取倒数，避免遗漏步骤出错。
【难度系数】
0.7
3.计算：
(1)$-87.22+53\frac{19}{21}-12.78+43\frac{2}{21};$
(2)$3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-(+1\frac{1}{6}).$
(1)$-87.22+53\frac{19}{21}-12.78+43\frac{2}{21};$
(2)$3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-(+1\frac{1}{6}).$
答案
3. 解:(1)原式$=(-87.22-12.78)+(53\frac{19}{21}+43\frac{2}{21})$
$=-100+97=-3.$
(2)原式$=3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-1\frac{1}{6}$
$=3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6}-(1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5})$
$=2-6$
$=-4.$
$=-100+97=-3.$
(2)原式$=3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-1\frac{1}{6}$
$=3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6}-(1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5})$
$=2-6$
$=-4.$
解析
【分析】
这两道题为有理数加减混合运算，可借助加法运算律简化计算：
(1)观察式子可发现，两个小数相加能凑成整数-100，两个带分数的分数部分相加为1、整体相加能凑成整数97，因此将小数、带分数分别分组计算，再求和即可。
(2)先去括号化简式子，可看到式子中有两个分母为6的带分数、两个分母为5的带分数，将同分母分数分别分组，其中带负号的两个分母为5的分数相加可凑成整数6，进一步降低计算难度。
【解析】
(1)利用加法交换律和结合律调整运算顺序：
原式$=(-87.22-12.78)+(53\frac{19}{21}+43\frac{2}{21})$
分别计算两组的和：
$-87.22-12.78=-100$，$53\frac{19}{21}+43\frac{2}{21}=(53+43)+(\frac{19}{21}+\frac{2}{21})=97$
再计算最终结果：$-100+97=-3$
(2)先去括号（括号前为负号，去括号后括号内的正号变为负号）：
原式$=3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-1\frac{1}{6}$
利用加法交换律和结合律分组：
$=(3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6})-(1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5})$
分别计算两组的结果：
$3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6}=2$，$1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5}=6$
再计算最终结果：$2-6=-4$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-3}$；(2)$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数加减混合运算；加法交换律；加法结合律
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，核心思路是观察数字特征，将能凑整、同类型的数字分组结合计算，可大幅减少计算量、降低出错率，这类简便运算技巧是有理数运算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
这两道题为有理数加减混合运算，可借助加法运算律简化计算：
(1)观察式子可发现，两个小数相加能凑成整数-100，两个带分数的分数部分相加为1、整体相加能凑成整数97，因此将小数、带分数分别分组计算，再求和即可。
(2)先去括号化简式子，可看到式子中有两个分母为6的带分数、两个分母为5的带分数，将同分母分数分别分组，其中带负号的两个分母为5的分数相加可凑成整数6，进一步降低计算难度。
【解析】
(1)利用加法交换律和结合律调整运算顺序：
原式$=(-87.22-12.78)+(53\frac{19}{21}+43\frac{2}{21})$
分别计算两组的和：
$-87.22-12.78=-100$，$53\frac{19}{21}+43\frac{2}{21}=(53+43)+(\frac{19}{21}+\frac{2}{21})=97$
再计算最终结果：$-100+97=-3$
(2)先去括号（括号前为负号，去括号后括号内的正号变为负号）：
原式$=3\frac{1}{6}-1\frac{3}{5}-4\frac{2}{5}-1\frac{1}{6}$
利用加法交换律和结合律分组：
$=(3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6})-(1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5})$
分别计算两组的结果：
$3\frac{1}{6}-1\frac{1}{6}=2$，$1\frac{3}{5}+4\frac{2}{5}=6$
再计算最终结果：$2-6=-4$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-3}$；(2)$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数加减混合运算；加法交换律；加法结合律
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，核心思路是观察数字特征，将能凑整、同类型的数字分组结合计算，可大幅减少计算量、降低出错率，这类简便运算技巧是有理数运算的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
4.计算：
(1)$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$；
(2)$1-2-3+4+5-6-7+8+\dots+2020+2021-2022-2023+2024$。
(1)$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$；
(2)$1-2-3+4+5-6-7+8+\dots+2020+2021-2022-2023+2024$。
答案
4. 解:(1)$(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
$=-1-1-\dots-1$
$=-25.$
(2)观察式子可知，$1-2-3+4=0,5-6-7+8=0$，归纳类推得:从第1个数开始,每4个数的运算结果都等于0,故原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022-2023+2024)=506×0=0.$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
$=-1-1-\dots-1$
$=-25.$
(2)观察式子可知，$1-2-3+4=0,5-6-7+8=0$，归纳类推得:从第1个数开始,每4个数的运算结果都等于0,故原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2017-2018-2019+2020)+(2021-2022-2023+2024)=506×0=0.$
解析
【分析】
（1）观察算式可知，被减数是1到49的所有奇数的和，减数是2到50的所有偶数的和，直接分别求和计算量较大，可将两个括号中的数按顺序两两分组，每组对应为相邻奇数减偶数，每组结果均为-1，统计组数后即可快速得到结果；
（2）观察算式的数字和运算符号特征，可发现从左到右每4个数为一组，计算可得每组的运算结果均为0，先统计总共有多少组这样的数，再计算总和即可。
【解析】
(1) $(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
$=\underbrace{-1-1-\dots-1}_{25个-1}$
$=-25$
(2) 先计算前4个数的运算结果：$1-2-3+4=0$，再计算接下来4个数：$5-6-7+8=0$，可归纳得出规律：从第1个数开始，每4个数为一组，每组的运算结果都等于0。
总共有2024个数，可分成的组数为$2024÷4=506$组，故：
原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2017-2018-2019-2020)+(2021-2022-2023+2024)$
$=506×0$
$=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-25}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数加减混合运算；分组巧算；规律探究
【点评】
这类有理数加减运算题无需硬算，关键是要先观察算式的数字排列、符号分布特征，找到合理的分组方式简化运算，能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
（1）观察算式可知，被减数是1到49的所有奇数的和，减数是2到50的所有偶数的和，直接分别求和计算量较大，可将两个括号中的数按顺序两两分组，每组对应为相邻奇数减偶数，每组结果均为-1，统计组数后即可快速得到结果；
（2）观察算式的数字和运算符号特征，可发现从左到右每4个数为一组，计算可得每组的运算结果均为0，先统计总共有多少组这样的数，再计算总和即可。
【解析】
(1) $(1+3+5+\dots+49)-(2+4+6+\dots+50)$
$=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(49-50)$
$=\underbrace{-1-1-\dots-1}_{25个-1}$
$=-25$
(2) 先计算前4个数的运算结果：$1-2-3+4=0$，再计算接下来4个数：$5-6-7+8=0$，可归纳得出规律：从第1个数开始，每4个数为一组，每组的运算结果都等于0。
总共有2024个数，可分成的组数为$2024÷4=506$组，故：
原式$=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+\dots+(2017-2018-2019-2020)+(2021-2022-2023+2024)$
$=506×0$
$=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-25}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
有理数加减混合运算；分组巧算；规律探究
【点评】
这类有理数加减运算题无需硬算，关键是要先观察算式的数字排列、符号分布特征，找到合理的分组方式简化运算，能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
