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5.计算：$-5\frac{5}{6} + (-9\frac{2}{3}) + 17\frac{3}{4} + (-3\frac{1}{2}).$
答案
解:原式$=(-5-9+17-3)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2})=0+(-1\frac{1}{4})=-1\frac{1}{4}.$
解析
【分析】
本题是带分数的有理数加减混合运算，可采用拆项法简化计算：首先观察到所有带分数都能拆分为整数部分与分数部分的和，拆分时注意负带分数的整数、分数部分均带负号；再利用加法交换律和结合律，将整数部分、分数部分分别分组计算；最后将两组的计算结果相加即可，该方法比统一转化为假分数计算更简便，能降低计算出错概率。
【解析】
首先将每个带分数拆分为整数部分和分数部分的和，再利用加法运算律分组：
原式$=[(-5)+(-\frac{5}{6})] + [(-9)+(-\frac{2}{3})] + (17+\frac{3}{4}) + [(-3)+(-\frac{1}{2})]$
$=(-5 - 9 + 17 - 3) + (-\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2})$
先计算整数部分的和：$-5-9+17-3=0$
再计算分数部分的和，通分（分母最小公倍数为12）：
$-\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{10}{12} - \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{-10-8+9-6}{12} = -\frac{15}{12} = -1\frac{1}{4}$
最后将两部分结果相加：$0 + (-1\frac{1}{4}) = -1\frac{1}{4}$
【答案】
$-1\frac{1}{4}$
【知识点】
1.有理数加减运算
2.加法运算律的应用
3.带分数拆项计算
【点评】
本题考查有理数加减的简便运算技巧，拆项结合加法运算律分组计算是常用的带分数运算技巧，能有效简化计算过程，解题时要特别注意负带分数拆项时的符号问题，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题是带分数的有理数加减混合运算，可采用拆项法简化计算：首先观察到所有带分数都能拆分为整数部分与分数部分的和，拆分时注意负带分数的整数、分数部分均带负号；再利用加法交换律和结合律，将整数部分、分数部分分别分组计算；最后将两组的计算结果相加即可，该方法比统一转化为假分数计算更简便，能降低计算出错概率。
【解析】
首先将每个带分数拆分为整数部分和分数部分的和，再利用加法运算律分组：
原式$=[(-5)+(-\frac{5}{6})] + [(-9)+(-\frac{2}{3})] + (17+\frac{3}{4}) + [(-3)+(-\frac{1}{2})]$
$=(-5 - 9 + 17 - 3) + (-\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2})$
先计算整数部分的和：$-5-9+17-3=0$
再计算分数部分的和，通分（分母最小公倍数为12）：
$-\frac{5}{6} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{10}{12} - \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{-10-8+9-6}{12} = -\frac{15}{12} = -1\frac{1}{4}$
最后将两部分结果相加：$0 + (-1\frac{1}{4}) = -1\frac{1}{4}$
【答案】
$-1\frac{1}{4}$
【知识点】
1.有理数加减运算
2.加法运算律的应用
3.带分数拆项计算
【点评】
本题考查有理数加减的简便运算技巧，拆项结合加法运算律分组计算是常用的带分数运算技巧，能有效简化计算过程，解题时要特别注意负带分数拆项时的符号问题，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
6.计算：$(-2025\dfrac{5}{6})+(-2024\dfrac{2}{3})+4050\dfrac{2}{3}+(-1\dfrac{1}{2})$
答案
解:原式$=(-2025-2024+4050-1)+(-\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2})$
$=0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}.$
$=0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}.$
解析
【分析】
本题是带分数的有理数加法运算，直接通分计算会比较繁琐，可采用拆项法简化计算：第一步先把每个带分数拆成整数部分与分数部分的和，拆分时注意保持符号一致；第二步利用加法交换律和结合律，将所有整数部分组合相加、所有分数部分组合相加；第三步观察到分数部分有互为相反数的项$-\frac{2}{3}$和$+\frac{2}{3}$可以直接抵消，进一步简化计算，最后把整数部分的和与分数部分的和相加即可得到结果。
【解析】
解：先将每个带分数拆分为整数和分数两部分：
原式$=(-2025 - \dfrac{5}{6}) + (-2024 - \dfrac{2}{3}) + (4050 + \dfrac{2}{3}) + (-1 - \dfrac{1}{2})$
利用加法交换律、结合律，分别组合整数部分和分数部分：
$=(-2025 - 2024 + 4050 - 1) + (-\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2})$
分别计算两部分的和：
整数部分：$-2025-2024=-4049$，$-4049+4050=1$，$1-1=0$
分数部分：$-\frac{2}{3}$与$+\frac{2}{3}$抵消，剩余$-\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = -\dfrac{4}{3}$
将两部分结果相加：
$=0 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{4}{3}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
带分数拆项法；加法运算律；有理数加法运算
【点评】
本题考查有理数加法的简便运算技巧，运用拆项法结合加法运算律可以大幅简化计算过程，避免直接通分的繁琐，解题时要注意观察式子中可抵消、可凑整的项，同时拆分带分数时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
本题是带分数的有理数加法运算，直接通分计算会比较繁琐，可采用拆项法简化计算：第一步先把每个带分数拆成整数部分与分数部分的和，拆分时注意保持符号一致；第二步利用加法交换律和结合律，将所有整数部分组合相加、所有分数部分组合相加；第三步观察到分数部分有互为相反数的项$-\frac{2}{3}$和$+\frac{2}{3}$可以直接抵消，进一步简化计算，最后把整数部分的和与分数部分的和相加即可得到结果。
【解析】
解：先将每个带分数拆分为整数和分数两部分：
原式$=(-2025 - \dfrac{5}{6}) + (-2024 - \dfrac{2}{3}) + (4050 + \dfrac{2}{3}) + (-1 - \dfrac{1}{2})$
利用加法交换律、结合律，分别组合整数部分和分数部分：
$=(-2025 - 2024 + 4050 - 1) + (-\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2})$
分别计算两部分的和：
整数部分：$-2025-2024=-4049$，$-4049+4050=1$，$1-1=0$
分数部分：$-\frac{2}{3}$与$+\frac{2}{3}$抵消，剩余$-\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = -\dfrac{4}{3}$
将两部分结果相加：
$=0 - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{4}{3}$
【答案】
$-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
带分数拆项法；加法运算律；有理数加法运算
【点评】
本题考查有理数加法的简便运算技巧，运用拆项法结合加法运算律可以大幅简化计算过程，避免直接通分的繁琐，解题时要注意观察式子中可抵消、可凑整的项，同时拆分带分数时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
7. 计算：$\frac{1}{1×2} + \frac{1}{2×3} + \frac{1}{3×4} + … + $
答案
解:原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}.$
解析
【分析】
观察算式中每一项的特征，每一项的分母都是两个连续正整数的乘积，符合裂项的基本形式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。我们可以先把每一项拆成两个分数的差，再将拆分后的式子相加，中间相邻的正负项会相互抵消，最后只剩下首项和末项，再计算最终结果即可。
【解析】
根据裂项规律拆分各项：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\\&=1-\frac{1}{2026}\\&=\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
裂项相消法，有理数加减运算
【点评】
本题是裂项相消运算技巧的典型应用，熟练掌握分母为连续整数乘积的分数的拆分规律，可大幅简化这类连加算式的计算，避免逐项通分的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
观察算式中每一项的特征，每一项的分母都是两个连续正整数的乘积，符合裂项的基本形式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。我们可以先把每一项拆成两个分数的差，再将拆分后的式子相加，中间相邻的正负项会相互抵消，最后只剩下首项和末项，再计算最终结果即可。
【解析】
根据裂项规律拆分各项：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\\&=1-\frac{1}{2026}\\&=\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
裂项相消法，有理数加减运算
【点评】
本题是裂项相消运算技巧的典型应用，熟练掌握分母为连续整数乘积的分数的拆分规律，可大幅简化这类连加算式的计算，避免逐项通分的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
8.计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{999000}$
答案
解:原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
$=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}.$
$=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}.$
解析
【分析】
首先观察算式中每个分数的分母，可发现规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，……，999000=999×1000，即第n个分数的分母为相邻两个正整数的乘积n(n+1)。结合裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将每个分数拆分后，中间相邻的项可以相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算首尾差即可得到结果，无需逐个通分，大幅简化运算。
【解析】
先对每个分数进行裂项拆分：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{999000}=\frac{1}{999×1000}=\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
代入原式得：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
中间相邻的正负项全部抵消，仅剩首尾两项：
$=1-\frac{1}{1000}$
$=\frac{999}{1000}$
【答案】
$\frac{999}{1000}$
【知识点】
裂项相消法，有理数加减运算
【点评】
本题是分数简便运算的经典题型，解题核心是发现分母的乘积规律，通过裂项拆分抵消中间重复项，避免了大量通分的繁琐计算，熟练掌握该技巧能有效提升分数运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.6
首先观察算式中每个分数的分母，可发现规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，……，999000=999×1000，即第n个分数的分母为相邻两个正整数的乘积n(n+1)。结合裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将每个分数拆分后，中间相邻的项可以相互抵消，仅剩下首尾两项，直接计算首尾差即可得到结果，无需逐个通分，大幅简化运算。
【解析】
先对每个分数进行裂项拆分：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……，$\frac{1}{999000}=\frac{1}{999×1000}=\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
代入原式得：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$
中间相邻的正负项全部抵消，仅剩首尾两项：
$=1-\frac{1}{1000}$
$=\frac{999}{1000}$
【答案】
$\frac{999}{1000}$
【知识点】
裂项相消法，有理数加减运算
【点评】
本题是分数简便运算的经典题型，解题核心是发现分母的乘积规律，通过裂项拆分抵消中间重复项，避免了大量通分的繁琐计算，熟练掌握该技巧能有效提升分数运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.6
9.已知$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数，求$(a-b)^{a-b}$的值.
答案
9. 解:27.
解析
【分析】
解题首先利用相反数的性质：互为相反数的两个数相加和为0，得到等式$(a-2)^2 + |b+1| = 0$；再结合平方、绝对值的非负性可知，两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此列方程求出a、b的取值；最后将a、b的值代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数
∴$(a-2)^2 + |b+1| = 0$
又
∵$(a-2)^2 ≥ 0$，$|b+1| ≥ 0$
∴只有当$(a-2)^2=0$且$|b+1|=0$时，等式才成立
即 $a-2=0$，$b+1=0$
解得：$a=2$，$b=-1$
∴$a-b = 2 - (-1) = 3$
∴$(a-b)^{a-b} = 3^3 = 27$
【答案】
27
【知识点】
非负数的性质、相反数的概念、乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常考题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，计算时要注意有理数减法的符号处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.7
解题首先利用相反数的性质：互为相反数的两个数相加和为0，得到等式$(a-2)^2 + |b+1| = 0$；再结合平方、绝对值的非负性可知，两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此列方程求出a、b的取值；最后将a、b的值代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$(a-2)^2$与$|b+1|$互为相反数
∴$(a-2)^2 + |b+1| = 0$
又
∵$(a-2)^2 ≥ 0$，$|b+1| ≥ 0$
∴只有当$(a-2)^2=0$且$|b+1|=0$时，等式才成立
即 $a-2=0$，$b+1=0$
解得：$a=2$，$b=-1$
∴$a-b = 2 - (-1) = 3$
∴$(a-b)^{a-b} = 3^3 = 27$
【答案】
27
【知识点】
非负数的性质、相反数的概念、乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的常考题型，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，计算时要注意有理数减法的符号处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.7
10.请根据下面的对话解答下列问题.
小红:已知a与2互为相反数.
小明:b与$-\frac{1}{3}$互为倒数.
(1)$a=$
(2)已知$|m - a| + |b + n| = 0$,求$mn$的值.
小红:已知a与2互为相反数.
小明:b与$-\frac{1}{3}$互为倒数.
(1)$a=$
-2
,$b=$-3
.(2)已知$|m - a| + |b + n| = 0$,求$mn$的值.
答案
10. 解:(1)$-2$ $-3$ (2)$-6.$
解析
【分析】
解决本题首先要明确相关基础概念：第(1)问根据相反数和倒数的定义求解即可：互为相反数的两个数和为0，据此可求出a的值；互为倒数的两个数乘积为1，据此可求出b的值。第(2)问利用绝对值的非负性求解：任意数的绝对值都是非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此可求出m、n的值，再代入计算mn的数值即可。
【解析】
(1) 因为a与2互为相反数，根据相反数的定义，得a + 2 = 0，解得a = -2；
因为b与$-\frac{1}{3}$互为倒数，根据倒数的定义，得$b × (-\frac{1}{3}) = 1$，解得$b = 1 ÷ (-\frac{1}{3}) = -3$。
(2) 由绝对值的非负性可知，$|m - a| ≥ 0$，$|b + n| ≥ 0$，
又因为$|m - a| + |b + n| = 0$，所以可得：
$m - a = 0$，$b + n = 0$，
将a=-2，b=-3代入上述两个式子：
$m - (-2) = 0$，解得$m = -2$；
$-3 + n = 0$，解得$n = 3$，
所以$mn = (-2) × 3 = -6$。
【答案】
(1) $-2$，$-3$；(2) $-6$
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；绝对值的非负性
【点评】
本题是有理数基础概念的常规应用题，解题的核心是熟练掌握相反数、倒数的定义以及绝对值非负性的性质，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确相关基础概念：第(1)问根据相反数和倒数的定义求解即可：互为相反数的两个数和为0，据此可求出a的值；互为倒数的两个数乘积为1，据此可求出b的值。第(2)问利用绝对值的非负性求解：任意数的绝对值都是非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此可求出m、n的值，再代入计算mn的数值即可。
【解析】
(1) 因为a与2互为相反数，根据相反数的定义，得a + 2 = 0，解得a = -2；
因为b与$-\frac{1}{3}$互为倒数，根据倒数的定义，得$b × (-\frac{1}{3}) = 1$，解得$b = 1 ÷ (-\frac{1}{3}) = -3$。
(2) 由绝对值的非负性可知，$|m - a| ≥ 0$，$|b + n| ≥ 0$，
又因为$|m - a| + |b + n| = 0$，所以可得：
$m - a = 0$，$b + n = 0$，
将a=-2，b=-3代入上述两个式子：
$m - (-2) = 0$，解得$m = -2$；
$-3 + n = 0$，解得$n = 3$，
所以$mn = (-2) × 3 = -6$。
【答案】
(1) $-2$，$-3$；(2) $-6$
【知识点】
相反数的定义；倒数的定义；绝对值的非负性
【点评】
本题是有理数基础概念的常规应用题，解题的核心是熟练掌握相反数、倒数的定义以及绝对值非负性的性质，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
