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18. 按下列程序计算，把计算结果填写在对应的表格内：
输入$x$ → $+2$ → 平方 → $-$
$^3 -4$ → $÷ x$ → $+x$ → 输出$y$
（1）填写表格：
| 输入$x$ | $4$ | $2$ | $1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
| 输出$y$ | | $4$ |
| | $-4$ | $\dots$ |
（2）根据计算结果的变化趋势估计输出值$y$的范围；
（3）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简。
输入$x$ → $+2$ → 平方 → $-$
$^3 -4$ → $÷ x$ → $+x$ → 输出$y$（1）填写表格：
| 输入$x$ | $4$ | $2$ | $1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ | $\dots$ |
| 输出$y$ | | $4$ |
| | $-4$ | $\dots$ |（2）根据计算结果的变化趋势估计输出值$y$的范围；
（3）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简。
答案
(1) $-4$ 5 $\frac{11}{4}$ (2) $y ≤ 5$ (3) $[(x+2)^2 -x^3 -4] ÷x +x = -x^2 +2x +4$
解析
【分析】
这道题分为代数式求值、根据结果判断取值范围、代数式化简三个部分，解题思路如下：1. 第(1)问按照给定的运算程序，将输入的x值逐一代入，遵循先乘方、后乘除、最后加减的运算顺序逐步计算，即可得到输出y的值；2. 第(2)问观察第(1)问计算出的多个y值，找到最大值，结合数值变化规律即可判断y的取值范围；3. 第(3)问先根据运算程序的先后顺序，将运算过程转化为规范的代数式，再利用完全平方公式、多项式除以单项式法则、合并同类项的规则逐步化简即可。
【解析】
(1) 逐个代入x值按程序计算：
① 当$x=4$时：
先计算$(4+2)^2 -4^3 -4=36-64-4=-32$，再计算$-32÷4 +4=-8+4=-4$；
② 当$x=1$时：
先计算$(1+2)^2 -1^3 -4=9-1-4=4$，再计算$4÷1 +1=4+1=5$；
③ 当$x=-\frac{1}{2}$时：
先计算$(-\frac{1}{2}+2)^2 -(-\frac{1}{2})^3 -4=\frac{9}{4}+\frac{1}{8}-4=-\frac{13}{8}$，再计算$(-\frac{13}{8})÷(-\frac{1}{2}) +(-\frac{1}{2})=\frac{13}{4}-\frac{1}{2}=\frac{11}{4}$。
(2) 观察计算结果：$x=4$时$y=-4$，$x=2$时$y=4$，$x=1$时$y=5$，$x=-\frac{1}{2}$时$y=\frac{11}{4}$，$x=-2$时$y=-4$，可见y的最大值为5，因此输出值y的范围是$y≤5$。
(3) 根据运算程序列代数式并化简：
$\begin{aligned}&\ [(x+2)^2 -x^3 -4]÷ x +x \\=&\ (x^2+4x+4 -x^3 -4)÷ x +x \\=&\ (-x^3 +x^2 +4x)÷ x +x \\=&\ -x^2 +x +4 +x \\=&\ -x^2 +2x +4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{\dfrac{11}{4}}$
(2) $\boldsymbol{y ≤ 5}$
(3) 代数式为$[(x+2)^2 -x^3 -4] ÷ x +x$，化简结果为$\boldsymbol{-x^2 +2x +4}$
【知识点】
代数式求值，多项式除以单项式，整式化简
【点评】
本题结合程序运算考查整式相关运算，既要求能准确按照运算顺序代入求值，也要求熟练掌握完全平方公式、多项式除以单项式等运算法则，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
这道题分为代数式求值、根据结果判断取值范围、代数式化简三个部分，解题思路如下：1. 第(1)问按照给定的运算程序，将输入的x值逐一代入，遵循先乘方、后乘除、最后加减的运算顺序逐步计算，即可得到输出y的值；2. 第(2)问观察第(1)问计算出的多个y值，找到最大值，结合数值变化规律即可判断y的取值范围；3. 第(3)问先根据运算程序的先后顺序，将运算过程转化为规范的代数式，再利用完全平方公式、多项式除以单项式法则、合并同类项的规则逐步化简即可。
【解析】
(1) 逐个代入x值按程序计算：
① 当$x=4$时：
先计算$(4+2)^2 -4^3 -4=36-64-4=-32$，再计算$-32÷4 +4=-8+4=-4$；
② 当$x=1$时：
先计算$(1+2)^2 -1^3 -4=9-1-4=4$，再计算$4÷1 +1=4+1=5$；
③ 当$x=-\frac{1}{2}$时：
先计算$(-\frac{1}{2}+2)^2 -(-\frac{1}{2})^3 -4=\frac{9}{4}+\frac{1}{8}-4=-\frac{13}{8}$，再计算$(-\frac{13}{8})÷(-\frac{1}{2}) +(-\frac{1}{2})=\frac{13}{4}-\frac{1}{2}=\frac{11}{4}$。
(2) 观察计算结果：$x=4$时$y=-4$，$x=2$时$y=4$，$x=1$时$y=5$，$x=-\frac{1}{2}$时$y=\frac{11}{4}$，$x=-2$时$y=-4$，可见y的最大值为5，因此输出值y的范围是$y≤5$。
(3) 根据运算程序列代数式并化简：
$\begin{aligned}&\ [(x+2)^2 -x^3 -4]÷ x +x \\=&\ (x^2+4x+4 -x^3 -4)÷ x +x \\=&\ (-x^3 +x^2 +4x)÷ x +x \\=&\ -x^2 +x +4 +x \\=&\ -x^2 +2x +4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{\dfrac{11}{4}}$
(2) $\boldsymbol{y ≤ 5}$
(3) 代数式为$[(x+2)^2 -x^3 -4] ÷ x +x$，化简结果为$\boldsymbol{-x^2 +2x +4}$
【知识点】
代数式求值，多项式除以单项式，整式化简
【点评】
本题结合程序运算考查整式相关运算，既要求能准确按照运算顺序代入求值，也要求熟练掌握完全平方公式、多项式除以单项式等运算法则，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
1. 下列各等式中，从左到右属于因式分解变形的是 【 】
A.$(y+2)(y-2)=y^2 -4$
B.$1-4a^2=(1+4a)(1-4a)$
C.$a^2 -3a +2 =a(a-3)+2$
D.$a^2x -a =a(ax -1)$
A.$(y+2)(y-2)=y^2 -4$
B.$1-4a^2=(1+4a)(1-4a)$
C.$a^2 -3a +2 =a(a-3)+2$
D.$a^2x -a =a(ax -1)$
答案
D
解析
【分析】
要判断某变形是否为因式分解，首先要牢记因式分解的两个核心判断标准：1. 变形对象是多项式，最终结果必须是几个整式相乘的形式，不能以和/差的形式作为最终结果；2. 变形前后等式恒成立。解题时我们逐一将选项和这两个标准比对，即可选出正确答案。
【解析】
结合因式分解的判断标准逐一分析选项：
A. $(y+2)(y-2)=y^2 -4$属于整式乘法运算，是把乘积形式转化为多项式，和因式分解的过程相反，不属于因式分解，故A错误；
B. 等式右边$(1+4a)(1-4a)=1-16a^2$，和左边$1-4a^2$不相等，变形不成立，故B错误；
C. 等式右边$a(a-3)+2$是乘积加常数的和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的要求，故C错误；
D. 对多项式$a^2x -a$提取公因式$a$后得到$a(ax-1)$，变形后是两个整式的乘积，且左右两边恒等，属于因式分解变形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；整式乘法
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的过程，同时要验证变形是否恒等，避免出现公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
要判断某变形是否为因式分解，首先要牢记因式分解的两个核心判断标准：1. 变形对象是多项式，最终结果必须是几个整式相乘的形式，不能以和/差的形式作为最终结果；2. 变形前后等式恒成立。解题时我们逐一将选项和这两个标准比对，即可选出正确答案。
【解析】
结合因式分解的判断标准逐一分析选项：
A. $(y+2)(y-2)=y^2 -4$属于整式乘法运算，是把乘积形式转化为多项式，和因式分解的过程相反，不属于因式分解，故A错误；
B. 等式右边$(1+4a)(1-4a)=1-16a^2$，和左边$1-4a^2$不相等，变形不成立，故B错误；
C. 等式右边$a(a-3)+2$是乘积加常数的和的形式，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的要求，故C错误；
D. 对多项式$a^2x -a$提取公因式$a$后得到$a(ax-1)$，变形后是两个整式的乘积，且左右两边恒等，属于因式分解变形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；整式乘法
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的过程，同时要验证变形是否恒等，避免出现公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
2. 下列多项式的因式分解中，正确的是 【 】
A.$12xyz - 9x^2y^2 = 3xyz(4 - 3xyz)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$-x^2 + xy - xz = -x(x^2 + y - z)$
D.$a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a)$
A.$12xyz - 9x^2y^2 = 3xyz(4 - 3xyz)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$-x^2 + xy - xz = -x(x^2 + y - z)$
D.$a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a)$
答案
B
解析
【分析】
本题考查提公因式法因式分解，解题思路为：首先明确提公因式的步骤：第一步确定公因式，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式得到括号内的项，若提取的公因式带负号，括号内每一项都要变号；第三步验证提取后的结果是否和原式相等，逐一对四个选项判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：多项式$12xyz - 9x^2y^2$的公因式是$3xy$，提取公因式后应为$3xy(4z - 3xy)$，选项中公因式判断错误，故A不符合题意；
B选项：多项式$3a^2y - 3ay + 6y$的公因式是$3y$，提取公因式得$3y(a^2 - a + 2)$，和选项表述一致，故B符合题意；
C选项：多项式$-x^2 + xy - xz$提取公因式$-x$后，括号内各项要变号，正确结果应为$-x(x - y + z)$，选项中括号内各项符号和第一项次数均错误，故C不符合题意；
D选项：多项式$a^2b + 5ab - b$提取公因式$b$后，最后一项$-b÷ b=-1$不能遗漏，正确结果应为$b(a^2 + 5a - 1)$，选项漏写了常数项$-1$，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题，解题的核心是准确确定公因式，尤其要注意提取负公因式时括号内各项需变号，提取公因式后要检查是否存在漏项的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法因式分解，解题思路为：首先明确提公因式的步骤：第一步确定公因式，先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，用原多项式的每一项除以公因式得到括号内的项，若提取的公因式带负号，括号内每一项都要变号；第三步验证提取后的结果是否和原式相等，逐一对四个选项判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：多项式$12xyz - 9x^2y^2$的公因式是$3xy$，提取公因式后应为$3xy(4z - 3xy)$，选项中公因式判断错误，故A不符合题意；
B选项：多项式$3a^2y - 3ay + 6y$的公因式是$3y$，提取公因式得$3y(a^2 - a + 2)$，和选项表述一致，故B符合题意；
C选项：多项式$-x^2 + xy - xz$提取公因式$-x$后，括号内各项要变号，正确结果应为$-x(x - y + z)$，选项中括号内各项符号和第一项次数均错误，故C不符合题意；
D选项：多项式$a^2b + 5ab - b$提取公因式$b$后，最后一项$-b÷ b=-1$不能遗漏，正确结果应为$b(a^2 + 5a - 1)$，选项漏写了常数项$-1$，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题，解题的核心是准确确定公因式，尤其要注意提取负公因式时括号内各项需变号，提取公因式后要检查是否存在漏项的问题。
【难度系数】
0.8
