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15. 计算：
(1) $[x(x^2 - 2x + 3) - 3x] ÷ \frac{1}{2}x^2 - x(x + 2)$；
(2) $[x(x^2y^2 - xy) - y(x^2 - x^3y)] ÷ x^2y$。
(1) $[x(x^2 - 2x + 3) - 3x] ÷ \frac{1}{2}x^2 - x(x + 2)$；
(2) $[x(x^2y^2 - xy) - y(x^2 - x^3y)] ÷ x^2y$。
答案
(1) $-x^2 -4$ (2) $2xy -2$
解析
【分析】
这两道题是整式混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算乘除，最后算加减”的运算顺序：①先利用单项式乘多项式的法则展开括号内的乘积项，合并同类项化简括号内的结果；②再依据多项式除以单项式的法则（多项式每一项分别除以单项式，商相加）计算除法部分；③最后计算加减运算，去括号时注意符号变化，合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 计算$[x(x^2 - 2x + 3) - 3x] ÷ \frac{1}{2}x^2 - x(x + 2)$
第一步：化简中括号内的式子
$x(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x$
则中括号内为：$x^3 - 2x^2 + 3x - 3x = x^3 - 2x^2$
第二步：计算除法
$(x^3 - 2x^2) ÷ \frac{1}{2}x^2 = (x^3 - 2x^2) × \frac{2}{x^2} = x^3×\frac{2}{x^2} - 2x^2×\frac{2}{x^2} = 2x - 4$
第三步：计算后面的乘积并化简整体
$x(x+2) = x^2 + 2x$
原式$= 2x - 4 - (x^2 + 2x) = 2x -4 -x^2 -2x = -x^2 -4$
(2) 计算$[x(x^2y^2 - xy) - y(x^2 - x^3y)] ÷ x^2y$
第一步：化简中括号内的式子
$x(x^2y^2 - xy) = x^3y^2 - x^2y$
$y(x^2 - x^3y) = x^2y - x^3y^2$
则中括号内为：$x^3y^2 - x^2y - (x^2y - x^3y^2) = x^3y^2 -x^2y -x^2y +x^3y^2 = 2x^3y^2 - 2x^2y$
第二步：计算除法
$(2x^3y^2 - 2x^2y) ÷ x^2y = 2x^3y^2 ÷ x^2y - 2x^2y ÷ x^2y = 2xy - 2$
【答案】
(1) $-x^2 -4$ (2) $2xy -2$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式除以单项式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式运算法则的应用，解题的关键是严格遵循运算顺序，展开和去括号时要注意符号变化，避免出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
这两道题是整式混合运算题，解题遵循“先算括号内，再算乘除，最后算加减”的运算顺序：①先利用单项式乘多项式的法则展开括号内的乘积项，合并同类项化简括号内的结果；②再依据多项式除以单项式的法则（多项式每一项分别除以单项式，商相加）计算除法部分；③最后计算加减运算，去括号时注意符号变化，合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 计算$[x(x^2 - 2x + 3) - 3x] ÷ \frac{1}{2}x^2 - x(x + 2)$
第一步：化简中括号内的式子
$x(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x$
则中括号内为：$x^3 - 2x^2 + 3x - 3x = x^3 - 2x^2$
第二步：计算除法
$(x^3 - 2x^2) ÷ \frac{1}{2}x^2 = (x^3 - 2x^2) × \frac{2}{x^2} = x^3×\frac{2}{x^2} - 2x^2×\frac{2}{x^2} = 2x - 4$
第三步：计算后面的乘积并化简整体
$x(x+2) = x^2 + 2x$
原式$= 2x - 4 - (x^2 + 2x) = 2x -4 -x^2 -2x = -x^2 -4$
(2) 计算$[x(x^2y^2 - xy) - y(x^2 - x^3y)] ÷ x^2y$
第一步：化简中括号内的式子
$x(x^2y^2 - xy) = x^3y^2 - x^2y$
$y(x^2 - x^3y) = x^2y - x^3y^2$
则中括号内为：$x^3y^2 - x^2y - (x^2y - x^3y^2) = x^3y^2 -x^2y -x^2y +x^3y^2 = 2x^3y^2 - 2x^2y$
第二步：计算除法
$(2x^3y^2 - 2x^2y) ÷ x^2y = 2x^3y^2 ÷ x^2y - 2x^2y ÷ x^2y = 2xy - 2$
【答案】
(1) $-x^2 -4$ (2) $2xy -2$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式除以单项式；整式混合运算
【点评】
本题重点考查整式运算法则的应用，解题的关键是严格遵循运算顺序，展开和去括号时要注意符号变化，避免出现漏乘、符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
16. 先化简，再求值：$[(-3a^5)^2 ÷ (-a^2)^3 + 3a^5(2a^3 - 4a)] ÷ (-3a^2)^2$，其中$a=-3$。
答案
原式$=\frac{2}{3}a^4 - \frac{4}{3}a^2 -1$.当$a=-3$时，原式$=\frac{2}{3}×(-3)^4 - \frac{4}{3}×(-3)^2 -1=41$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再代值”的解题原则，运算顺序与有理数混合运算一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容。首先运用积的乘方、幂的乘方法则计算所有乘方项，再依次计算中括号内的同底数幂除法、单项式乘多项式，合并同类项后用多项式除以单项式法则得到最简式，最后代入a的值计算结果即可。
【解析】
解：先计算各乘方项：
$(-3a^5)^2=9a^{10}$，$(-a^2)^3=-a^6$，$(-3a^2)^2=9a^4$
将上述结果代入原式，先计算中括号内的运算：
中括号内第一部分：$9a^{10} ÷ (-a^6) = -9a^4$
中括号内第二部分：由单项式乘多项式法则得
$3a^5(2a^3 - 4a) = 3a^5 · 2a^3 - 3a^5 · 4a = 6a^8 - 12a^6$
合并中括号内的整式得：$6a^8 - 12a^6 - 9a^4$
再计算多项式除以单项式，每一项分别除以$9a^4$：
$6a^8 ÷ 9a^4 = \frac{2}{3}a^4$
$-12a^6 ÷ 9a^4 = -\frac{4}{3}a^2$
$-9a^4 ÷ 9a^4 = -1$
即化简结果为$\frac{2}{3}a^4 - \frac{4}{3}a^2 - 1$
将$a=-3$代入最简式：
$(-3)^4=81$，$(-3)^2=9$
原式$=\frac{2}{3} × 81 - \frac{4}{3} × 9 - 1 = 54 - 12 - 1 = 41$
【答案】
化简结果为$\frac{2}{3}a^4 - \frac{4}{3}a^2 -1$，求值结果为$\boxed{41}$
【知识点】
幂的运算性质；整式乘除运算；化简求值
【点评】
本题核心考察整式混合运算的运算顺序和运算法则，解题时需特别注意幂运算的指数变化规律、各项的符号，代值计算时注意负数的偶次幂为正，避免因符号或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.6
这是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再代值”的解题原则，运算顺序与有理数混合运算一致：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容。首先运用积的乘方、幂的乘方法则计算所有乘方项，再依次计算中括号内的同底数幂除法、单项式乘多项式，合并同类项后用多项式除以单项式法则得到最简式，最后代入a的值计算结果即可。
【解析】
解：先计算各乘方项：
$(-3a^5)^2=9a^{10}$，$(-a^2)^3=-a^6$，$(-3a^2)^2=9a^4$
将上述结果代入原式，先计算中括号内的运算：
中括号内第一部分：$9a^{10} ÷ (-a^6) = -9a^4$
中括号内第二部分：由单项式乘多项式法则得
$3a^5(2a^3 - 4a) = 3a^5 · 2a^3 - 3a^5 · 4a = 6a^8 - 12a^6$
合并中括号内的整式得：$6a^8 - 12a^6 - 9a^4$
再计算多项式除以单项式，每一项分别除以$9a^4$：
$6a^8 ÷ 9a^4 = \frac{2}{3}a^4$
$-12a^6 ÷ 9a^4 = -\frac{4}{3}a^2$
$-9a^4 ÷ 9a^4 = -1$
即化简结果为$\frac{2}{3}a^4 - \frac{4}{3}a^2 - 1$
将$a=-3$代入最简式：
$(-3)^4=81$，$(-3)^2=9$
原式$=\frac{2}{3} × 81 - \frac{4}{3} × 9 - 1 = 54 - 12 - 1 = 41$
【答案】
化简结果为$\frac{2}{3}a^4 - \frac{4}{3}a^2 -1$，求值结果为$\boxed{41}$
【知识点】
幂的运算性质；整式乘除运算；化简求值
【点评】
本题核心考察整式混合运算的运算顺序和运算法则，解题时需特别注意幂运算的指数变化规律、各项的符号，代值计算时注意负数的偶次幂为正，避免因符号或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.6
17. 已知$2x - y = -6$，求代数式$[(x^2 + y^2) - (x - y)^2 + 2y(x - y)] ÷ 4y$的值。
答案
原式$=x - \frac{1}{2}y$. $\because 2x - y = -6$, $\therefore x - \frac{1}{2}y = -3$. $\therefore$ 原式$=-3$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，无需直接求解x、y的具体值，解题思路分为两步：第一步先化简代数式，先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则将中括号内的式子展开，去括号后合并同类项，再按照多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果；第二步观察最简结果和已知条件$2x-y=-6$的联系，用整体代入的方法即可求出代数式的值。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}&[(x^2 + y^2) - (x - y)^2 + 2y(x - y)] ÷ 4y\\=&[(x^2 + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) + 2xy - 2y^2] ÷ 4y\\=&(x^2 + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + 2xy - 2y^2) ÷ 4y\\=&(4xy - 2y^2) ÷ 4y\\=&4xy÷4y - 2y^2÷4y\\=&x - \frac{1}{2}y\end{aligned}$
已知$2x - y = -6$，将等式两边同时除以2可得：
$x - \frac{1}{2}y = \frac{2x - y}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
即原式的值为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
整式的混合运算，多项式除以单项式，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，重点考查整式运算的相关法则，解题时要注意去括号的符号变化，熟练运用整体代入思想可避免求解未知数的具体值，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，无需直接求解x、y的具体值，解题思路分为两步：第一步先化简代数式，先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则将中括号内的式子展开，去括号后合并同类项，再按照多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果；第二步观察最简结果和已知条件$2x-y=-6$的联系，用整体代入的方法即可求出代数式的值。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}&[(x^2 + y^2) - (x - y)^2 + 2y(x - y)] ÷ 4y\\=&[(x^2 + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) + 2xy - 2y^2] ÷ 4y\\=&(x^2 + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 + 2xy - 2y^2) ÷ 4y\\=&(4xy - 2y^2) ÷ 4y\\=&4xy÷4y - 2y^2÷4y\\=&x - \frac{1}{2}y\end{aligned}$
已知$2x - y = -6$，将等式两边同时除以2可得：
$x - \frac{1}{2}y = \frac{2x - y}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
即原式的值为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
整式的混合运算，多项式除以单项式，整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，重点考查整式运算的相关法则，解题时要注意去括号的符号变化，熟练运用整体代入思想可避免求解未知数的具体值，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
