一、选择题
1. 下列计算错误的有().
① $4\sqrt{5}×2\sqrt{5}=8\sqrt{5}$； ② $4\sqrt{3}×4\sqrt{2}=4\sqrt{6}$；
③ $\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\sqrt{9}-\sqrt{4}=1$； ④ $\frac{6-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-1$.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

1. C

① $4\sqrt{5}×2\sqrt{5}=4×2×(\sqrt{5})^2=8×5=40≠8\sqrt{5}$，错误；
② $4\sqrt{3}×4\sqrt{2}=4×4×\sqrt{3×2}=16\sqrt{6}≠4\sqrt{6}$，错误；
③ $\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，错误；
④ $\frac{6-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-1$，正确。
错误的有①②③，共3个。
C

2. 如果 $\sqrt{x - y - 2\sqrt{3}}+(x + y - 4\sqrt{3})^{2}=0$，那么 $\frac{y}{x}$ 的值是().

A.1
B.$-1$
C.3
D.$\frac{1}{3}$

2. D

因为$\sqrt{x - y - 2\sqrt{3}} + (x + y - 4\sqrt{3})^{2} = 0$，且$\sqrt{x - y - 2\sqrt{3}} ≥ 0$，$(x + y - 4\sqrt{3})^{2} ≥ 0$，所以$\begin{cases}x - y - 2\sqrt{3} = 0 \\ x + y - 4\sqrt{3} = 0\end{cases}$。
解方程组：
由$x - y = 2\sqrt{3}$和$x + y = 4\sqrt{3}$，两式相加得$2x = 6\sqrt{3}$，解得$x = 3\sqrt{3}$。
将$x = 3\sqrt{3}$代入$x - y = 2\sqrt{3}$，得$3\sqrt{3} - y = 2\sqrt{3}$，解得$y = \sqrt{3}$。
所以$\frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$。
D

3. 估算 $\frac{\sqrt{50}+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 的值().

A.在 4 和 5 之间
B.在 5 和 6 之间
C.在 6 和 7 之间
D.在 7 和 8 之间

3. D

$\begin{aligned}\frac{\sqrt{50} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}&=\frac{\sqrt{25×2} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{5\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\&=5 + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\&=5 + \sqrt{2}×\sqrt{3}×2÷\sqrt{2}\\&=5 + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\\&=5 + \sqrt{6}\\\end{aligned}$
因为$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$，所以$5 + 2 ＜ 5 + \sqrt{6} ＜ 5 + 3$，即$7 ＜ 5 + \sqrt{6} ＜ 8$，故值在7和8之间。
D

二、填空题
4. 比较大小：$-3\sqrt{2}\_\_\_\_\_\_-2\sqrt{3}$.

4. ＜

$-3\sqrt{2}=-\sqrt{18}$，$-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$，因为$\sqrt{18}＞\sqrt{12}$，所以$-\sqrt{18}＜-\sqrt{12}$，即$-3\sqrt{2}＜-2\sqrt{3}$。
＜

5. 已知实数 $x$ 满足 $|\sqrt{2024}-x|+\sqrt{x - 2025}=x$，则 $x =$.

5. 4049

要使$\sqrt{x - 2025}$有意义，则$x - 2025 ≥ 0$，即$x ≥ 2025$。
因为$x ≥ 2025$，所以$\sqrt{2024} - x ＜ 0$，则$|\sqrt{2024} - x| = x - \sqrt{2024}$。
原方程可化为：$x - \sqrt{2024} + \sqrt{x - 2025} = x$
移项可得：$\sqrt{x - 2025} = \sqrt{2024}$
两边平方得：$x - 2025 = 2024$
解得：$x = 2024 + 2025 = 4049$
4049

6. 已知 $\sqrt{x^{2}+8x + 16}+\sqrt{x^{2}-12x + 36}=10$，化简：$\sqrt{(2x + 8)^{2}}-2|x - 6|=$.

6. 4x - 4

$\sqrt{x^{2}+8x + 16}+\sqrt{x^{2}-12x + 36}=|x+4|+|x-6|$，当$-4 ≤ x ≤ 6$时，$|x+4|+|x-6|=x+4+6-x=10$，所以$-4 ≤ x ≤ 6$。
$\sqrt{(2x + 8)^{2}}-2|x - 6|=|2x+8|-2|x-6|=2|x+4|-2|x-6|$，因为$-4 ≤ x ≤ 6$，所以$|x+4|=x+4$，$|x-6|=6-x$，则$2(x+4)-2(6-x)=2x+8-12+2x=4x-4$。
4x - 4

三、解答题
7. 计算：
(1) $\sqrt{45}-\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{50}$；
(2) $(\sqrt{2}-1)^{2}+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+2)$.

7. (1) $\sqrt{5}$ (2) 3

(1) $\sqrt{45}-\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{50}$
$=3\sqrt{5}-\sqrt{\frac{2}{5}×50}$
$=3\sqrt{5}-\sqrt{20}$
$=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}$
$=\sqrt{5}$
(2) $(\sqrt{2}-1)^{2}+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+2)$
$=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 2[(\sqrt{3}×\sqrt{6}) + \sqrt{3}×2 - \sqrt{2}×\sqrt{6} - \sqrt{2}×2]$
$=3 - 2\sqrt{2} + 2[3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}]$
$=3 - 2\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})$
$=3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
$=3$