9. 如图所示，已知正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$CE$ 平分 $∠ ACD$ 交 $BD$ 于点 $E$，
（1）如图（1），求证：$BC = BE$；
（2）如图（2），过点 $E$ 作 $EG ⊥ AB$ 于点 $G$，$EH ⊥ BC$ 于点 $H$，判断四边形 $EGBH$ 的形状并证明；
（3）如图（3），若 $BC$ 为 $\sqrt{2}$，过点 $E$ 作 $EF ⊥ CE$，交 $AB$ 于点 $F$，求 $BF$ 的长。

9. 提示：(1)可通过计算，得出$∠ BEC=∠ BCE=67.5^{\circ}$，因而$BC=BE$ (2)四边形$EGBH$为正方形 提示：先证明它是矩形，再说明一组邻边相等 (3)$2-\sqrt{2}$ 提示：可证明$△ EFB≌△ CED$，则$BF=ED=BD-BE=BD-BC=2-\sqrt{2}$

（1）证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC⊥BD$，$∠BCD=90^{\circ}$，$∠ACB=∠ACD=45^{\circ}$，$∠OBC=45^{\circ}$。
∵$CE$平分$∠ACD$，
∴$∠ECD=∠ACE=22.5^{\circ}$。
∴$∠BCE=∠ACB+∠ACE=45^{\circ}+22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$。
在$△BEC$中，$∠BEC=180^{\circ}-∠OBC-∠BCE=180^{\circ}-45^{\circ}-67.5^{\circ}=67.5^{\circ}$。
∴$∠BEC=∠BCE$，
∴$BC=BE$。
（2）四边形$EGBH$是正方形。
证明：
∵$EG⊥AB$，$EH⊥BC$，$∠ABC=90^{\circ}$，
∴四边形$EGBH$是矩形。
∵四边形$ABCD$是正方形，$O$为对角线交点，
∴点$E$在$BD$上，$BD$平分$∠ABC$。
∵$EG⊥AB$，$EH⊥BC$，
∴$EG=EH$。
∴矩形$EGBH$是正方形。
（3）解：
∵$BC=\sqrt{2}$，正方形$ABCD$中，$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
由（1）知$BE=BC=\sqrt{2}$，
∴$ED=BD-BE=2-\sqrt{2}$。
∵$EF⊥CE$，$∠BCD=90^{\circ}$，
∴$∠FEC=∠BCD=90^{\circ}$，
∴$∠FEB+∠BEC=∠ECD+∠BEC=90^{\circ}$，
∴$∠FEB=∠ECD$。
∵$∠FBE=∠EDC=45^{\circ}$，$BE=BC=CD$，
∴$△EFB≌△CED(ASA)$。
∴$BF=ED=2-\sqrt{2}$。