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三、解答题
7. 如图所示，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 是边 $BC$ 的中点，以 $AD$ 为一边作等边三角形 $ADE$。
（1）求 $∠ CAE$ 的度数；
（2）取边 $AB$ 的中点 $F$，连接 $CF$，$CE$，求证：四边形 $AFCE$ 是矩形。
7. 如图所示，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 是边 $BC$ 的中点，以 $AD$ 为一边作等边三角形 $ADE$。
（1）求 $∠ CAE$ 的度数；
（2）取边 $AB$ 的中点 $F$，连接 $CF$，$CE$，求证：四边形 $AFCE$ 是矩形。
答案
1. （1）
解：
因为$△ ABC$是等边三角形，点$D$是$BC$中点，根据等边三角形三线合一的性质，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$∠ BAC = 60^{\circ}$，所以$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC = 30^{\circ}$。
又因为$△ ADE$是等边三角形，所以$∠ DAE = 60^{\circ}$。
则$∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC$。
把$∠ DAE = 60^{\circ}$，$∠ DAC = 30^{\circ}$代入可得：$∠ CAE=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
2. （2）
证明：
因为$△ ABC$是等边三角形，$F$是$AB$中点，$D$是$BC$中点，根据等边三角形三线合一的性质，$CF⊥ AB$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，$AF=\frac{1}{2}AB$，$CD=\frac{1}{2}BC$，又$AB = BC$，所以$AF = CD$。
由（1）知$∠ CAE = 30^{\circ}$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，所以$∠ FAE=∠ BAC+∠ CAE=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，即$CF// AE$（因为$CF⊥ AB$，$∠ FAE = 90^{\circ}$）。
因为$△ ADE$是等边三角形，所以$AD = AE$，又$△ ABC$是等边三角形，$AD⊥ BC$，所以$AD = CF$（等边三角形三线合一，$AD$、$CF$都是高，等边三角形的高相等），则$AE = CF$。
因为$AF = CD$，$△ ABC$是等边三角形，$∠ ACD = 60^{\circ}$，$△ ADE$是等边三角形，$∠ ADE = 60^{\circ}$，$AD = DE$，$CD = AF$，$∠ ADC=∠ ADE = 60^{\circ}$，所以$△ ACD≌△ ECD(SAS)$（$AD = ED$，$∠ ADC=∠ EDC = 60^{\circ}$，$CD = CD$），则$AC = EC$。
又$AC = AB$，$AF=\frac{1}{2}AB$，$CD=\frac{1}{2}BC$，$AB = BC$，所以$AF = CD$，且$AE = CF$，$CF// AE$。
所以四边形$AFCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又$∠ FAE = 90^{\circ}$。
根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AFCE$是矩形。
综上，（1）$∠ CAE$的度数为$30^{\circ}$；（2）证明如上，四边形$AFCE$是矩形。
解：
因为$△ ABC$是等边三角形，点$D$是$BC$中点，根据等边三角形三线合一的性质，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$∠ BAC = 60^{\circ}$，所以$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC = 30^{\circ}$。
又因为$△ ADE$是等边三角形，所以$∠ DAE = 60^{\circ}$。
则$∠ CAE=∠ DAE-∠ DAC$。
把$∠ DAE = 60^{\circ}$，$∠ DAC = 30^{\circ}$代入可得：$∠ CAE=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
2. （2）
证明：
因为$△ ABC$是等边三角形，$F$是$AB$中点，$D$是$BC$中点，根据等边三角形三线合一的性质，$CF⊥ AB$，$AD⊥ BC$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，$AF=\frac{1}{2}AB$，$CD=\frac{1}{2}BC$，又$AB = BC$，所以$AF = CD$。
由（1）知$∠ CAE = 30^{\circ}$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，所以$∠ FAE=∠ BAC+∠ CAE=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，即$CF// AE$（因为$CF⊥ AB$，$∠ FAE = 90^{\circ}$）。
因为$△ ADE$是等边三角形，所以$AD = AE$，又$△ ABC$是等边三角形，$AD⊥ BC$，所以$AD = CF$（等边三角形三线合一，$AD$、$CF$都是高，等边三角形的高相等），则$AE = CF$。
因为$AF = CD$，$△ ABC$是等边三角形，$∠ ACD = 60^{\circ}$，$△ ADE$是等边三角形，$∠ ADE = 60^{\circ}$，$AD = DE$，$CD = AF$，$∠ ADC=∠ ADE = 60^{\circ}$，所以$△ ACD≌△ ECD(SAS)$（$AD = ED$，$∠ ADC=∠ EDC = 60^{\circ}$，$CD = CD$），则$AC = EC$。
又$AC = AB$，$AF=\frac{1}{2}AB$，$CD=\frac{1}{2}BC$，$AB = BC$，所以$AF = CD$，且$AE = CF$，$CF// AE$。
所以四边形$AFCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又$∠ FAE = 90^{\circ}$。
根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AFCE$是矩形。
综上，（1）$∠ CAE$的度数为$30^{\circ}$；（2）证明如上，四边形$AFCE$是矩形。
解析
（1）解：因为△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，
所以∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
所以∠CAD=∠BAD=30°。
因为△ADE是等边三角形，
所以∠DAE=60°，
所以∠CAE=∠DAE - ∠CAD=60° - 30°=30°。
（2）证明：因为△ABC是等边三角形，F是AB的中点，
所以CF⊥AB，∠AFC=90°，CF平分∠ACB，∠ACF=30°。
由（1）知∠CAE=30°，
所以∠CAE=∠ACF，
所以AE//CF。
因为△ABC是等边三角形，D是BC中点，F是AB中点，
所以AD=CF。
因为△ADE是等边三角形，
所以AD=AE，
所以AE=CF。
因为AE//CF且AE=CF，
所以四边形AFCE是平行四边形。
又因为∠AFC=90°，
所以四边形AFCE是矩形。
所以∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
所以∠CAD=∠BAD=30°。
因为△ADE是等边三角形，
所以∠DAE=60°，
所以∠CAE=∠DAE - ∠CAD=60° - 30°=30°。
（2）证明：因为△ABC是等边三角形，F是AB的中点，
所以CF⊥AB，∠AFC=90°，CF平分∠ACB，∠ACF=30°。
由（1）知∠CAE=30°，
所以∠CAE=∠ACF，
所以AE//CF。
因为△ABC是等边三角形，D是BC中点，F是AB中点，
所以AD=CF。
因为△ADE是等边三角形，
所以AD=AE，
所以AE=CF。
因为AE//CF且AE=CF，
所以四边形AFCE是平行四边形。
又因为∠AFC=90°，
所以四边形AFCE是矩形。
8. 如图所示，在 $□ ABCD$ 中，点 $O$ 为 $BD$ 的中点，点 $E$ 在 $AD$ 上，连接 $EO$ 并延长交 $BC$ 于点 $F$，连接 $BE$，$DF$。
（1）求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形；
（2）若 $AB = 3\sqrt{2}$，$AD = 6$，$∠ BAD = 135^{\circ}$，当四边形 $BEDF$ 为菱形时，求 $AE$ 的长。
（1）求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形；
（2）若 $AB = 3\sqrt{2}$，$AD = 6$，$∠ BAD = 135^{\circ}$，当四边形 $BEDF$ 为菱形时，求 $AE$ 的长。
答案
8. (1)略 (2)1 提示：过点$B$作$BH⊥ AD$，交$DA$延长线于点$H$，利用勾股定理求得$AE=1$
解析
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ OED=∠ OFB$，$∠ ODE=∠ OBF$。
∵点$O$为$BD$的中点，
∴$OB=OD$。
在$△ OED$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ OED=∠ OFB \\∠ ODE=∠ OBF \\OD=OB\end{cases}$，
∴$△ OED≌△ OFB(AAS)$，
∴$OE=OF$。
又
∵$OB=OD$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
（2）解：
过点$B$作$BH⊥ AD$，交$DA$延长线于点$H$。
∵$∠ BAD=135°$，
∴$∠ BAH=180° - 135°=45°$。
在$Rt△ ABH$中，$AB=3\sqrt{2}$，
$AH=BH=AB·\cos45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3$。
设$AE=x$，则$DE=AD - AE=6 - x$。
∵四边形$BEDF$为菱形，
∴$BE=DE=6 - x$。
在$Rt△ BHE$中，$HE=AH + AE=3 + x$，$BH=3$，
由勾股定理得：$BE^2=BH^2 + HE^2$，
即$(6 - x)^2=3^2 + (3 + x)^2$，
解得$x=1$，
∴$AE=1$。
答案：（1）见证明过程；（2）$\boxed{1}$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ OED=∠ OFB$，$∠ ODE=∠ OBF$。
∵点$O$为$BD$的中点，
∴$OB=OD$。
在$△ OED$和$△ OFB$中，
$\begin{cases}∠ OED=∠ OFB \\∠ ODE=∠ OBF \\OD=OB\end{cases}$，
∴$△ OED≌△ OFB(AAS)$，
∴$OE=OF$。
又
∵$OB=OD$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
（2）解：
过点$B$作$BH⊥ AD$，交$DA$延长线于点$H$。
∵$∠ BAD=135°$，
∴$∠ BAH=180° - 135°=45°$。
在$Rt△ ABH$中，$AB=3\sqrt{2}$，
$AH=BH=AB·\cos45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3$。
设$AE=x$，则$DE=AD - AE=6 - x$。
∵四边形$BEDF$为菱形，
∴$BE=DE=6 - x$。
在$Rt△ BHE$中，$HE=AH + AE=3 + x$，$BH=3$，
由勾股定理得：$BE^2=BH^2 + HE^2$，
即$(6 - x)^2=3^2 + (3 + x)^2$，
解得$x=1$，
∴$AE=1$。
答案：（1）见证明过程；（2）$\boxed{1}$
