3. 如图,某水库大坝的横断面是梯形ABCD,已知迎水面AB的坡长为10 m,$∠ B=60°$,背水面DC的坡长为$10\sqrt{3}$ m.水利部门决定对该水库进行加固,加固后大坝的横断面为梯形ABED,CE=4 m.
(1)已知需加固的大坝长为120 m,则需要填土方多少立方米?
(2)求新大坝背水面DE的坡度(结果保留根号).
(1)已知需加固的大坝长为120 m,则需要填土方多少立方米?
(2)求新大坝背水面DE的坡度(结果保留根号).
答案
解：
(1) 过点A作$AG⊥ BC$于G，过点D作$DF⊥ BE$于F，
∵ 梯形ABCD中，$AD// BC$，∴ $AG=DF$。
在$Rt△ ABG$中，$∠ B=60°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
∴ $AG=AB·\sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$DF=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$△ DCE$的面积为：$\frac{1}{2}× CE× DF=\frac{1}{2}×4×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
需要填的土方体积为：$10\sqrt{3}×120=1200\sqrt{3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{DC^2-DF^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{300-75}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$。
∵ $CE=4\ \mathrm{m}$，∴ $EF=FC+CE=15+4=19\ \mathrm{m}$。
∴ DE的坡度为$\frac{DF}{EF}=\frac{5\sqrt{3}}{19}$，即坡度为$5\sqrt{3}:19$。
答：(1) 需要填土方$1200\sqrt{3}$立方米；(2) 新大坝背水面DE的坡度为$5\sqrt{3}:19$。
(1) 过点A作$AG⊥ BC$于G，过点D作$DF⊥ BE$于F，
∵ 梯形ABCD中，$AD// BC$，∴ $AG=DF$。
在$Rt△ ABG$中，$∠ B=60°$，$AB=10\ \mathrm{m}$，
∴ $AG=AB·\sin60°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即$DF=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$△ DCE$的面积为：$\frac{1}{2}× CE× DF=\frac{1}{2}×4×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
需要填的土方体积为：$10\sqrt{3}×120=1200\sqrt{3}\ \mathrm{m}^3$。
(2) 在$Rt△ DFC$中，由勾股定理得：
$FC=\sqrt{DC^2-DF^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{300-75}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$。
∵ $CE=4\ \mathrm{m}$，∴ $EF=FC+CE=15+4=19\ \mathrm{m}$。
∴ DE的坡度为$\frac{DF}{EF}=\frac{5\sqrt{3}}{19}$，即坡度为$5\sqrt{3}:19$。
答：(1) 需要填土方$1200\sqrt{3}$立方米；(2) 新大坝背水面DE的坡度为$5\sqrt{3}:19$。
4. 如图,A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80 km,$∠ A=45°$,$∠ B=30°$.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要行驶多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少行驶多少千米(精确到0.1 km.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$)?
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要行驶多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少行驶多少千米(精确到0.1 km.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$)?
答案
解：(1)过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=80km，
CD=BC·sin30°=80×$\frac{1}{2}$=40(km)，
BD=BC·cos30°=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$(km)。
在Rt△ACD中，∠A=45°，
AC=$\frac{CD}{sin45°}$=$\frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=40$\sqrt{2}$(km)。
则AC+BC=40$\sqrt{2}$+80≈40×1.41+80=136.4(km)。
(2)在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=40km，
AD=CD=40(km)，
AB=AD+BD=40+40$\sqrt{3}$≈40+40×1.73=109.2(km)。
少行驶的路程为：(40$\sqrt{2}$+80)-(40+40$\sqrt{3}$)≈136.4-109.2=27.2(km)。
答：(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要行驶136.4千米；
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少行驶27.2千米。
在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=80km，
CD=BC·sin30°=80×$\frac{1}{2}$=40(km)，
BD=BC·cos30°=80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=40$\sqrt{3}$(km)。
在Rt△ACD中，∠A=45°，
AC=$\frac{CD}{sin45°}$=$\frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=40$\sqrt{2}$(km)。
则AC+BC=40$\sqrt{2}$+80≈40×1.41+80=136.4(km)。
(2)在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=40km，
AD=CD=40(km)，
AB=AD+BD=40+40$\sqrt{3}$≈40+40×1.73=109.2(km)。
少行驶的路程为：(40$\sqrt{2}$+80)-(40+40$\sqrt{3}$)≈136.4-109.2=27.2(km)。
答：(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要行驶136.4千米；
(2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少行驶27.2千米。
5. 如图,港口B位于港口A的南偏西$45°$方向,灯塔C恰好在AB的中点处.一艘海轮位于港口A的正南方向、港口B的南偏东$45°$方向的D处,沿正北方向航行18.5 km到达E处,此时测得灯塔C在E处的南偏西$70°$方向上,求E处距离港口A有多远(参考数据:$\sin70°\approx0.94$,$\cos70°\approx0.34$,$\tan70°\approx2.75$).
答案
解：过点$CF⊥ AE$于点F，设$AE = x$ km。
由题意可知，$∠ BAD = 45°$，$∠ DBA = 45°$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$AD = BD$，$∠ ADB = 90°$。
$\because C$是$AB$的中点，$CF⊥ AE$，$BD⊥ AE$，
$\therefore CF$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore CF = \frac{1}{2}BD$，$AF = \frac{1}{2}AD$。
又$\because AD = BD$，$\therefore CF = AF$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$∠ CEF = 70°$，
$\therefore EF = \frac{CF}{\tan70°} \approx \frac{AF}{2.75}$。
$\because AF = AE - EF$，且$AF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(x + 18.5)$，
$\therefore \frac{1}{2}(x + 18.5) = x - \frac{\frac{1}{2}(x + 18.5)}{2.75}$
将$\tan70°\approx2.75$代入，化简得：
$\frac{1}{2}(x + 18.5)(1 + \frac{4}{11}) = x$
$\frac{1}{2}(x + 18.5)×\frac{15}{11} = x$
$15(x + 18.5) = 22x$
$15x + 277.5 = 22x$
$7x = 277.5$
$x = \frac{555}{14} \approx 39.6$
答：E处距离港口A约39.6 km。
由题意可知，$∠ BAD = 45°$，$∠ DBA = 45°$，
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形，$AD = BD$，$∠ ADB = 90°$。
$\because C$是$AB$的中点，$CF⊥ AE$，$BD⊥ AE$，
$\therefore CF$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore CF = \frac{1}{2}BD$，$AF = \frac{1}{2}AD$。
又$\because AD = BD$，$\therefore CF = AF$。
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$∠ CEF = 70°$，
$\therefore EF = \frac{CF}{\tan70°} \approx \frac{AF}{2.75}$。
$\because AF = AE - EF$，且$AF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(x + 18.5)$，
$\therefore \frac{1}{2}(x + 18.5) = x - \frac{\frac{1}{2}(x + 18.5)}{2.75}$
将$\tan70°\approx2.75$代入，化简得：
$\frac{1}{2}(x + 18.5)(1 + \frac{4}{11}) = x$
$\frac{1}{2}(x + 18.5)×\frac{15}{11} = x$
$15(x + 18.5) = 22x$
$15x + 277.5 = 22x$
$7x = 277.5$
$x = \frac{555}{14} \approx 39.6$
答：E处距离港口A约39.6 km。
