1. 小淇同学在学习了光的反射规律后,用一个小平面镜PQ做实验.如图,他先将平面镜放在水平面上,用一束与水平面成$30°$角的光线照射平面镜上的A处,使光影正好落在对面墙面一幅画的底边点C.他不改变光线的角度,将平面镜原地转动$7.5°$,即$∠ PAP'=7.5°$,使光影落在点C正上方的点D,测得CD=10 cm.求平面镜放置点与墙面的距离AB(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$).
答案
解：设AB的长度为x cm。
根据光的反射规律，平面镜转动7.5°，反射光线转动的角度为$2×7.5°=15°$。
初始时，入射光线与水平面成$30°$，则反射光线与AB的夹角$∠ CAB=30°$；
转动平面镜后，反射光线与AB的夹角$∠ DAB=30°+15°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=AB·\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=AB·\tan45°=x$。
因为$CD=BD-BC=10$，所以：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=10$
$x(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=10$
$x=\frac{10}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{30}{3-\sqrt{3}}=\frac{30(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=5(3+\sqrt{3})=15+5\sqrt{3}\approx15+5×1.73=23.7$
答：平面镜放置点与墙面的距离AB约为23.7 cm（或$15+5\sqrt{3}$ cm）。
根据光的反射规律，平面镜转动7.5°，反射光线转动的角度为$2×7.5°=15°$。
初始时，入射光线与水平面成$30°$，则反射光线与AB的夹角$∠ CAB=30°$；
转动平面镜后，反射光线与AB的夹角$∠ DAB=30°+15°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=AB·\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD=AB·\tan45°=x$。
因为$CD=BD-BC=10$，所以：
$x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=10$
$x(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=10$
$x=\frac{10}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{30}{3-\sqrt{3}}=\frac{30(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=5(3+\sqrt{3})=15+5\sqrt{3}\approx15+5×1.73=23.7$
答：平面镜放置点与墙面的距离AB约为23.7 cm（或$15+5\sqrt{3}$ cm）。
2. 如图,灯塔B位于港口A的北偏东$58°$方向,且A、B之间的距离为30 km,灯塔C位于灯塔B的正东方向,且B、C之间的距离为10 km.一艘轮船从港口A出发,沿正南方向航行到达D处,测得灯塔C在北偏东$37°$方向上.这时,D处距离港口A有多远(结果取整数,参考数据:$\sin58°\approx0.85$,$\cos58°\approx0.53$,$\tan58°\approx1.60$,$\sin37°\approx0.60$,
$\cos37°\approx0.80$,$\tan37°\approx0.75$)?
$\cos37°\approx0.80$,$\tan37°\approx0.75$)?
答案
解：过点B作BE⊥正北方向于点E，过点C作CF⊥正北方向于点F，
则四边形BEFC是矩形，
∴ CF=BE+BC，EF=BE（此处修正：应为CF的水平长度为BE+BC，EF为竖直方向长度等于BE？不，重新规范：）
解：过点B作BM⊥AD的延长线于M，过点C作CN⊥AD的延长线于N，
则四边形BMNC是矩形，
∴ CN=BM，MN=BC=10 km。
设AD的长度为x km，
在Rt△ABM中，∠BAM=58°，AB=30 km，
BM=AB·sin58°≈30×0.85=25.5 km，
AM=AB·cos58°≈30×0.53=15.9 km，
∴ CN=25.5 km，DN=AM+MN+AD=15.9+10+x。
在Rt△CDN中，∠CDN=37°，
由tan∠CDN=CN/DN，得：
0.75=25.5/(15.9+10+x)，
解得：25.9+x=25.5÷0.75=34，
x=34-25.9=8.1？不对，这又错了！哦，天啊，我彻底混乱了，现在重新用正确的坐标系推导：
正确的辅助线：AD是南北方向，过B作BH⊥AD于H（H在A的北边，因为B在A的北偏东），过C作CG⊥AD于G，G在H的东边？不，AD是南北直线，BH和CG都垂直于AD，所以BH和CG都是东西方向，所以BH//CG，BC//HG，四边形BHGC是矩形，所以HG=BC=10（东西方向），BH=CG（东西方向）。
现在，AD是从A到D（正南），所以A在H的南边，D在A的南边，所以DH=AH+AD，而CG=BH=AB·sin58°=30×0.85=25.5，在Rt△CDG中，∠CDG=37°，tan37°=CG/DG，DG=DH+HG？不，DG是东西方向？不，DG是南北方向？哦，我的天，我终于明白：AD是南北方向（竖直），所以垂直于AD的是东西方向（水平），所以BH是水平（东），AH是竖直（北），CG是水平（东），DG是竖直（北），所以DG=AH+AD，CG=BH+BC=AB·sin58°+BC=30×0.85+10=35.5，tan37°=CG/DG，即0.75=35.5/(AH+AD)，AH=AB·cos58°=30×0.53=15.9，所以0.75=35.5/(15.9+AD)，解得AD=35.5/0.75 -15.9≈47.33-15.9≈31.43≈31。
现在正确的解题过程：
解：过点B作BE⊥正北方向于点E，过点C作CF⊥正北方向于点F，
则四边形BEFC是矩形，
∴ CF=BE+BC，EF=AE（竖直方向）。
设AD的长度为x km，
在Rt△ABE中，∠BAE=58°，AB=30 km，
BE=AB·sin58°≈30×0.85=25.5 km，
AE=AB·cos58°≈30×0.53=15.9 km，
∴ CF=25.5+10=35.5 km，
DF=AE+AD=15.9+x。
在Rt△CDF中，∠CDF=37°，
tan∠CDF=CF/DF，
即0.75=35.5/(15.9+x)，
解得：15.9+x=35.5÷0.75≈47.33，
x≈47.33-15.9≈31。
答：D处距离港口A约31 km。
则四边形BEFC是矩形，
∴ CF=BE+BC，EF=BE（此处修正：应为CF的水平长度为BE+BC，EF为竖直方向长度等于BE？不，重新规范：）
解：过点B作BM⊥AD的延长线于M，过点C作CN⊥AD的延长线于N，
则四边形BMNC是矩形，
∴ CN=BM，MN=BC=10 km。
设AD的长度为x km，
在Rt△ABM中，∠BAM=58°，AB=30 km，
BM=AB·sin58°≈30×0.85=25.5 km，
AM=AB·cos58°≈30×0.53=15.9 km，
∴ CN=25.5 km，DN=AM+MN+AD=15.9+10+x。
在Rt△CDN中，∠CDN=37°，
由tan∠CDN=CN/DN，得：
0.75=25.5/(15.9+10+x)，
解得：25.9+x=25.5÷0.75=34，
x=34-25.9=8.1？不对，这又错了！哦，天啊，我彻底混乱了，现在重新用正确的坐标系推导：
正确的辅助线：AD是南北方向，过B作BH⊥AD于H（H在A的北边，因为B在A的北偏东），过C作CG⊥AD于G，G在H的东边？不，AD是南北直线，BH和CG都垂直于AD，所以BH和CG都是东西方向，所以BH//CG，BC//HG，四边形BHGC是矩形，所以HG=BC=10（东西方向），BH=CG（东西方向）。
现在，AD是从A到D（正南），所以A在H的南边，D在A的南边，所以DH=AH+AD，而CG=BH=AB·sin58°=30×0.85=25.5，在Rt△CDG中，∠CDG=37°，tan37°=CG/DG，DG=DH+HG？不，DG是东西方向？不，DG是南北方向？哦，我的天，我终于明白：AD是南北方向（竖直），所以垂直于AD的是东西方向（水平），所以BH是水平（东），AH是竖直（北），CG是水平（东），DG是竖直（北），所以DG=AH+AD，CG=BH+BC=AB·sin58°+BC=30×0.85+10=35.5，tan37°=CG/DG，即0.75=35.5/(AH+AD)，AH=AB·cos58°=30×0.53=15.9，所以0.75=35.5/(15.9+AD)，解得AD=35.5/0.75 -15.9≈47.33-15.9≈31.43≈31。
现在正确的解题过程：
解：过点B作BE⊥正北方向于点E，过点C作CF⊥正北方向于点F，
则四边形BEFC是矩形，
∴ CF=BE+BC，EF=AE（竖直方向）。
设AD的长度为x km，
在Rt△ABE中，∠BAE=58°，AB=30 km，
BE=AB·sin58°≈30×0.85=25.5 km，
AE=AB·cos58°≈30×0.53=15.9 km，
∴ CF=25.5+10=35.5 km，
DF=AE+AD=15.9+x。
在Rt△CDF中，∠CDF=37°，
tan∠CDF=CF/DF，
即0.75=35.5/(15.9+x)，
解得：15.9+x=35.5÷0.75≈47.33，
x≈47.33-15.9≈31。
答：D处距离港口A约31 km。
