6. 如图，在△ABC中，$AB=AC=5$，$BC=8$.已知$∠ P=\dfrac{1}{2}∠ A$，试求$\tan∠ P$的值.
答案
解：过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BH=CH=1/2BC=4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AH=√(AB²-BH²)=√(5²-4²)=3，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴AH平分∠BAC，即∠BAH=1/2∠BAC，
又∵∠P=1/2∠A，
∴∠P=∠BAH，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=BH/AH=4/3，
∴tan∠P=4/3。
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BH=CH=1/2BC=4，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AH=√(AB²-BH²)=√(5²-4²)=3，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴AH平分∠BAC，即∠BAH=1/2∠BAC，
又∵∠P=1/2∠A，
∴∠P=∠BAH，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=BH/AH=4/3，
∴tan∠P=4/3。
7. 如图，你认为AB、DE哪一段山坡更陡一些？为什么？
答案
解：
在Rt△ABC中，
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40(\mathrm{m})$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$。
在Rt△DEF中，
$DF = \sqrt{DE^2 - EF^2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = 30(\mathrm{m})$，
$\tan D = \frac{EF}{DF} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$。
因为$\frac{4}{3} ＞ \frac{3}{4}$，即$\tan D ＞ \tan A$，
所以DE段山坡更陡一些。
在Rt△ABC中，
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{50^2 - 30^2} = 40(\mathrm{m})$，
$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$。
在Rt△DEF中，
$DF = \sqrt{DE^2 - EF^2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = 30(\mathrm{m})$，
$\tan D = \frac{EF}{DF} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$。
因为$\frac{4}{3} ＞ \frac{3}{4}$，即$\tan D ＞ \tan A$，
所以DE段山坡更陡一些。
8. 如图，△ABC表示一块三角形的草地，其中$BC=10\ \mathrm{m}$，$\tan B=2$，$\tan C=\dfrac{1}{2}$，试求这块草地的面积.
答案
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设AD = x m。
在Rt△ABD中，∵$\tan B = \frac{AD}{BD} = 2$，
∴$BD = \frac{AD}{2} = \frac{x}{2}$ m。
在Rt△ACD中，∵$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$，
∴$CD = \frac{AD}{\frac{1}{2}} = 2x$ m。
∵$BC = CD + BD = 10$ m，
∴$2x + \frac{x}{2} = 10$，
解得$x = 4$。
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$（$\mathrm{m}^2$）。
答：这块草地的面积为20平方米。
在Rt△ABD中，∵$\tan B = \frac{AD}{BD} = 2$，
∴$BD = \frac{AD}{2} = \frac{x}{2}$ m。
在Rt△ACD中，∵$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$，
∴$CD = \frac{AD}{\frac{1}{2}} = 2x$ m。
∵$BC = CD + BD = 10$ m，
∴$2x + \frac{x}{2} = 10$，
解得$x = 4$。
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$（$\mathrm{m}^2$）。
答：这块草地的面积为20平方米。
如图7-6,当一动点从点O出发,沿$45°$方向移动到点E时,
这个点沿水平方向前进了1个单位长度,沿竖直方向也上升了1
个单位长度,因此$\tan45°$的值为1.
用同样的方法,观察A、B、C、D四个点的特征,你能写出
$\tan10°$、$\tan20°$、$\tan30°$、$\tan40°$的近似值吗?
这个点沿水平方向前进了1个单位长度,沿竖直方向也上升了1
个单位长度,因此$\tan45°$的值为1.
用同样的方法,观察A、B、C、D四个点的特征,你能写出
$\tan10°$、$\tan20°$、$\tan30°$、$\tan40°$的近似值吗?
答案
解：
根据正切的定义，$\tanθ=\frac{\mathrm{竖直上升的单位长度}}{\mathrm{水平前进的单位长度}}$，已知水平方向前进1个单位长度：
对于$10°$，点A竖直上升约0.18个单位长度，故$\tan10°\approx\frac{0.18}{1}=0.18$；
对于$20°$，点B竖直上升约0.36个单位长度，故$\tan20°\approx\frac{0.36}{1}=0.36$；
对于$30°$，点C竖直上升约0.58个单位长度，故$\tan30°\approx\frac{0.58}{1}=0.58$；
对于$40°$，点D竖直上升约0.84个单位长度，故$\tan40°\approx\frac{0.84}{1}=0.84$。
答：$\tan10°\approx0.18$，$\tan20°\approx0.36$，$\tan30°\approx0.58$，$\tan40°\approx0.84$。
根据正切的定义，$\tanθ=\frac{\mathrm{竖直上升的单位长度}}{\mathrm{水平前进的单位长度}}$，已知水平方向前进1个单位长度：
对于$10°$，点A竖直上升约0.18个单位长度，故$\tan10°\approx\frac{0.18}{1}=0.18$；
对于$20°$，点B竖直上升约0.36个单位长度，故$\tan20°\approx\frac{0.36}{1}=0.36$；
对于$30°$，点C竖直上升约0.58个单位长度，故$\tan30°\approx\frac{0.58}{1}=0.58$；
对于$40°$，点D竖直上升约0.84个单位长度，故$\tan40°\approx\frac{0.84}{1}=0.84$。
答：$\tan10°\approx0.18$，$\tan20°\approx0.36$，$\tan30°\approx0.58$，$\tan40°\approx0.84$。
例1 用计算器求下列各值(精确到0.01):
(1)$\tan28°$; (2)$\tan38°20'$.
解 (1)依次按键:,
显示结果为0.5317094317,得$\tan28°≈0.53$;
(2)依次按键:,
显示结果为0.790697482,得$\tan38°20'≈0.79$.
(1)$\tan28°$; (2)$\tan38°20'$.
解 (1)依次按键:,
显示结果为0.5317094317,得$\tan28°≈0.53$;
(2)依次按键:,
显示结果为0.790697482,得$\tan38°20'≈0.79$.
答案
解：
(1) 使用计算器依次按键：$\boxed{\tan}$ $\boxed{2}$ $\boxed{8}$ $\boxed{D° M'S}$ $\boxed{)}$ $\boxed{=}$，
显示结果为$0.5317094317$，得$\tan28°≈0.53$；
(2) 使用计算器依次按键：$\boxed{\tan}$ $\boxed{3}$ $\boxed{8}$ $\boxed{D° M'S}$ $\boxed{2}$ $\boxed{0}$ $\boxed{D° M'S}$ $\boxed{\blacktriangleright}$ $\boxed{)}$ $\boxed{=}$，
显示结果为$0.790697482$，得$\tan38°20'≈0.79$。
(1) 使用计算器依次按键：$\boxed{\tan}$ $\boxed{2}$ $\boxed{8}$ $\boxed{D° M'S}$ $\boxed{)}$ $\boxed{=}$，
显示结果为$0.5317094317$，得$\tan28°≈0.53$；
(2) 使用计算器依次按键：$\boxed{\tan}$ $\boxed{3}$ $\boxed{8}$ $\boxed{D° M'S}$ $\boxed{2}$ $\boxed{0}$ $\boxed{D° M'S}$ $\boxed{\blacktriangleright}$ $\boxed{)}$ $\boxed{=}$，
显示结果为$0.790697482$，得$\tan38°20'≈0.79$。
