1. 如图，在Rt△MNP中，$∠ MPN=90°$，$PQ⊥ MN$，垂足为Q，则$\tan M=\dfrac{PN}{(\ \ \ \ )}=\dfrac{(\ \ \ \ )}{MQ}$，$\tan N=\dfrac{(\ \ \ \ )}{QN}=\dfrac{(\ \ \ \ )}{PN}$.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ MNP$中，$∠ MPN=90°$，根据正切定义：
$\tan M=\dfrac{PN}{MP}$，
在$\mathrm{Rt}△ MPQ$中，$∠ MQP=90°$，根据正切定义：
$\tan M=\dfrac{PQ}{MQ}$；
在$\mathrm{Rt}△ NPQ$中，$∠ NQP=90°$，根据正切定义：
$\tan N=\dfrac{PQ}{QN}$，
在$\mathrm{Rt}△ MNP$中，$∠ MPN=90°$，根据正切定义：
$\tan N=\dfrac{MP}{PN}$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{MP}$；$\boldsymbol{PQ}$；$\boldsymbol{PQ}$；$\boldsymbol{MP}$。
在$\mathrm{Rt}△ MNP$中，$∠ MPN=90°$，根据正切定义：
$\tan M=\dfrac{PN}{MP}$，
在$\mathrm{Rt}△ MPQ$中，$∠ MQP=90°$，根据正切定义：
$\tan M=\dfrac{PQ}{MQ}$；
在$\mathrm{Rt}△ NPQ$中，$∠ NQP=90°$，根据正切定义：
$\tan N=\dfrac{PQ}{QN}$，
在$\mathrm{Rt}△ MNP$中，$∠ MPN=90°$，根据正切定义：
$\tan N=\dfrac{MP}{PN}$。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{MP}$；$\boldsymbol{PQ}$；$\boldsymbol{PQ}$；$\boldsymbol{MP}$。
2. 如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A、B、C在格点上，连接AB、BC，则$\tan∠ B=$.
答案
解：过点A作AD⊥BC于点D。
由网格可知，AC=4，点B到AC的距离为2，
则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
计算AB、BC的长度：
$AB = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{6^2+2^2} = 2\sqrt{10}$。
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD$，得
$4 = \frac{1}{2} × 2\sqrt{10} × AD$，
解得$AD = \frac{2\sqrt{10}}{5}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = (2\sqrt{2})^2 - (\frac{2\sqrt{10}}{5})^2 = 8 - \frac{40}{25} = \frac{32}{5}$，
$\therefore BD = \frac{4\sqrt{10}}{5}$。
$\therefore \tan∠ B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{5}}{\frac{4\sqrt{10}}{5}} = \frac{1}{2}$。
由网格可知，AC=4，点B到AC的距离为2，
则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × 2 = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
计算AB、BC的长度：
$AB = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{6^2+2^2} = 2\sqrt{10}$。
由$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD$，得
$4 = \frac{1}{2} × 2\sqrt{10} × AD$，
解得$AD = \frac{2\sqrt{10}}{5}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = (2\sqrt{2})^2 - (\frac{2\sqrt{10}}{5})^2 = 8 - \frac{40}{25} = \frac{32}{5}$，
$\therefore BD = \frac{4\sqrt{10}}{5}$。
$\therefore \tan∠ B = \frac{AD}{BD} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{5}}{\frac{4\sqrt{10}}{5}} = \frac{1}{2}$。
3. 根据所给条件分别求出下列图中$∠ A$的正切值.
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$。
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$，
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$。
4. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接EB，设$∠ EBA=α$，求$\tanα$的值.
答案
解：设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = 90°，
在Rt△ABE中，∠EBA=α，
tanα = $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{a}{2a}$ = $\frac{1}{2}$。
∵E为AD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A = 90°，
在Rt△ABE中，∠EBA=α，
tanα = $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{a}{2a}$ = $\frac{1}{2}$。
5. 如图，在平面直角坐标系内有一点$P(3,4)$，求OP与x轴的正半轴的夹角$α$及与y轴的正半轴的夹角$β$的正切值.
答案
解：过点P作PA⊥x轴于点A，
∵点P的坐标为$(3,4)$，
∴$OA=3$，$PA=4$，且$∠ OAP=90°$。
在$Rt△ OAP$中，
$\tanα = \frac{PA}{OA} = \frac{4}{3}$；
$\tanβ = \frac{OA}{PA} = \frac{3}{4}$。
答：$∠ α$的正切值为$\frac{4}{3}$，$∠ β$的正切值为$\frac{3}{4}$。
∵点P的坐标为$(3,4)$，
∴$OA=3$，$PA=4$，且$∠ OAP=90°$。
在$Rt△ OAP$中，
$\tanα = \frac{PA}{OA} = \frac{4}{3}$；
$\tanβ = \frac{OA}{PA} = \frac{3}{4}$。
答：$∠ α$的正切值为$\frac{4}{3}$，$∠ β$的正切值为$\frac{3}{4}$。
