我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？
“陡”或“平缓”是用来描述梯子的什么？
观察图7-1中的梯子AB和EF，哪个更陡？你是怎样判断的？
观察图7-2中的梯子AB和EF，哪个更陡？你是怎样判断的？

解：
人们通过观察梯子的倾斜程度判断，“陡”或“平缓”是用来描述梯子的倾斜程度。
图7-1中：
计算梯子竖直高度与水平宽度的比值：
梯子AB：$\frac{AC}{BC}=\frac{5}{2}=2.5$，
梯子EF：$\frac{ED}{FD}=\frac{5}{3}\approx1.67$，
因为$2.5＞1.67$，竖直高度相同时，水平宽度越小，梯子越陡，故梯子AB更陡。
图7-2中：
计算梯子竖直高度与水平宽度的比值：
梯子AB：$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{1.5}\approx2.67$，
梯子EF：$\frac{ED}{FD}=\frac{3.5}{1.3}\approx2.69$，
因为$2.69＞2.67$，该比值越大，梯子倾斜程度越大，越陡，故梯子EF更陡。

例1 分别求出图7-3、图7-4中Rt△ABC的边AB的长及$\tan A$的值.
分析 想要求出$\tan A$的值，只要抓住正切的定义即可.
解 如图7-3，在Rt△ABC中，$AC=2$，$BC=3$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
$\therefore \tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{2}$.
如图7-4，在Rt△ABC中，$BC=4$，$AC=5$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{25-16}=3$.
$\therefore \tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$.

解：
如图7-3，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$BC=3$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，
$\therefore \tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3}{2}$。
如图7-4，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BC=4$，$AC=5$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=3$，
$\therefore \tan A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{4}{3}$。

例2 如图7-5，在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，$AB:BC=5:3$，求$\tan A$和$\tan B$的值.
解 在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，$AB:BC=5:3$，
可设$AB=5k$，$BC=3k(k≠0)$.
依据勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}-(3k)^{2}}=4k$.
所以$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3k}{4k}=\dfrac{3}{4}$，$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4k}{3k}=\dfrac{4}{3}$.

解：在Rt△ABC中，$∠ C=90°$，$AB:BC=5:3$，
可设$AB=5k$，$BC=3k(k≠0)$。
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(5k)^{2}-(3k)^{2}}=4k$。
所以$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{3k}{4k}=\dfrac{3}{4}$，
$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4k}{3k}=\dfrac{4}{3}$。