1. 计算下列各式.
(1)$2x + 3x$;
(2)$2x^{2}-3x^{2}+5x^{2}$;
(3)$x + 2x + 3y$;
(4)$2a^{2}b-3ab^{2}+a^{2}b + 2ab^{2}$.

(1)
解：根据合并同类项法则，对于同类项$2x$与$3x$，将系数相加，字母部分保持不变。
$2x + 3x=(2 + 3)x = 5x$
(2)
解：根据合并同类项法则，对于同类项$2x^{2}$、$-3x^{2}$与$5x^{2}$，将系数相加，字母部分保持不变。
$2x^{2}-3x^{2}+5x^{2}=(2 - 3 + 5)x^{2}=4x^{2}$
(3)
解：先合并$x$的同类项，$x+2x=(1 + 2)x = 3x$，$y$的项$3y$没有同类项，保持不变。
所以$x + 2x + 3y=3x + 3y$
(4)
解：分别合并$a^{2}b$与$ab^{2}$的同类项。
$2a^{2}b+a^{2}b=(2 + 1)a^{2}b = 3a^{2}b$
$-3ab^{2}+2ab^{2}=(-3 + 2)ab^{2}=-ab^{2}$
所以$2a^{2}b-3ab^{2}+a^{2}b + 2ab^{2}=3a^{2}b - ab^{2}$

2. 已知一个三角形的两边长分别为$\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$和$\sqrt{80}\ \mathrm{cm}$,如果该三角形的周长为$9\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$,你能求出第三条边的长吗?

解题过程如下：
已知三角形的两边长分别为 $\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$ 和 $\sqrt{80}\ \mathrm{cm}$，周长为 $9\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，设第三边长为 $x\ \mathrm{cm}$。
根据题意：
$\sqrt{20} + \sqrt{80} + x = 9\sqrt{5}$
化简 $\sqrt{20}$ 和 $\sqrt{80}$：
$\sqrt{20} = \sqrt{4 × 5} = 2\sqrt{5}$，
$\sqrt{80} = \sqrt{16 × 5} = 4\sqrt{5}$。
代入方程：
$2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + x = 9\sqrt{5}$，
$6\sqrt{5} + x = 9\sqrt{5}$，
$x = 9\sqrt{5} - 6\sqrt{5}$，
$x = 3\sqrt{5}$。

解题过程如下：
已知三角形的两边长分别为 $\sqrt{20}\ \mathrm{cm}$ 和 $\sqrt{80}\ \mathrm{cm}$，周长为 $9\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，设第三边长为 $x\ \mathrm{cm}$。
根据题意：
$\sqrt{20} + \sqrt{80} + x = 9\sqrt{5}$
化简 $\sqrt{20}$ 和 $\sqrt{80}$：
$\sqrt{20} = \sqrt{4 × 5} = 2\sqrt{5}$，
$\sqrt{80} = \sqrt{16 × 5} = 4\sqrt{5}$。
代入方程：
$2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} + x = 9\sqrt{5}$，
$6\sqrt{5} + x = 9\sqrt{5}$，
$x = 9\sqrt{5} - 6\sqrt{5}$，
$x = 3\sqrt{5}$。
最终

合作学习
探究:
1. 计算下列各式.
(1)$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}$;
(2)$2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+5\sqrt{3}$;
(3)$\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{9×7}$;
(4)$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+\sqrt{2}$;
(5)$\sqrt{18}-\sqrt{8}$.
总结:进行二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方因式相同的二次根式进行合并(二次根式的加减类似于合并同类项的运算).

(1)
解：$2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2 + 3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$。
(2)
解：$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2 - 3 + 5)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
(3)
首先化简 $3\sqrt{9 × 7}$：
$3\sqrt{9 × 7} = 3 × 3\sqrt{7} = 9\sqrt{7}$，
然后进行合并：
$\sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 9\sqrt{7} = (1 + 2 + 9)\sqrt{7} = 12\sqrt{7}$。
(4)
解：$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{2} = (3 - 2)\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，
由于$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，因此不能合并。
(5)
首先化简 $\sqrt{18}$ 和 $\sqrt{8}$：
$\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$，
$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，
然后进行合并：
$3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 - 2)\sqrt{2} = \sqrt{2}$。

2. 化简.
(1)$\sqrt{12}$;
(2)$\sqrt{48}$;
(3)$\sqrt{18}$;
(4)$\sqrt{8}$;
(5)$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$;
(6)$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}$.
归纳:识别二次根式的关键:
①;
②.

(1)$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
(2)$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$；
(4)$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$；
(5)$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
(6)$\sqrt{1\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。