2. (2024·零陵区期末)如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如图：
【问题探究】
(1)第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；
第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，根据以上操作，当点M在EF上时，∠PBM=°；
【类比应用】
(2)如图②，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求∠MBQ的度数；
【拓展延伸】
(3)在(2)的探究中，正方形纸片的边长为4，改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.当QF=1时，请求出AP的长.

30
(2) 解：由
(1)可得∠ ABM=60°，
$ \therefore ∠ CBM=∠ ABC-∠ ABM=90°-60°=30°$。
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ A=∠ C=90°，
由折叠知AB=BM，∠ PMB=∠ A=90°，
$ \therefore BC=BM$，∠ BMQ=∠ C=90°。
在$\mathrm{Rt}△ BMQ$和$\mathrm{Rt}△ BCQ$中，
$ \begin{cases}BQ=BQ\\BM=BC\end{cases}$
$ \therefore \mathrm{Rt}△ BMQ≌\mathrm{Rt}△ BCQ(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠ MBQ=∠ CBQ$，
$ \therefore ∠ MBQ=\frac{1}{2}∠ CBM=\frac{1}{2}×30°=15°$。
(3) 解：当点Q在点F的下方时，
$ \because $在正方形ABCD中，AD=CD=4，
$ \therefore DQ=QF+DF=1+\frac{1}{2}CD=1+2=3$，
$ \therefore CQ=CD-DQ=4-3=1$。
由
(2)知$\mathrm{Rt}△ BMQ≌\mathrm{Rt}△ BCQ$，
$ \therefore MQ=CQ=1$。
设AP=x，由折叠知MP=AP=x，
$ \therefore PQ=MP+MQ=x+1$，PD=AD-AP=4-x。
在$\mathrm{Rt}△ PDQ$中，$PD^2+DQ^2=PQ^2$，
$ \therefore (4-x)^2+3^2=(x+1)^2$，
解得$x=\frac{12}{5}$，即$AP=\frac{12}{5}$；
当点Q在点F的上方时，
$ DQ=DF-QF=\frac{1}{2}CD-1=2-1=1$，
$ \therefore CQ=CD-DQ=4-1=3$，$\therefore MQ=CQ=3$。
设AP=MP=x，
则PD=AD-AP=4-x，PQ=MP+MQ=x+3，
在$\mathrm{Rt}△ PDQ$中，$PD^2+DQ^2=PQ^2$，
$ \therefore (4-x)^2+1^2=(x+3)^2$，解得$x=\frac{4}{7}$，即$AP=\frac{4}{7}$。
综上，AP的长为$\frac{12}{5}$或$\frac{4}{7}$。