登录
13. （12 分）若$x$，$y$为实数，且$y=\sqrt{1 - 4x}+\sqrt{4x - 1}+\dfrac{1}{2}$，求$\sqrt{\dfrac{x}{y}+2+\dfrac{y}{x}}÷ \sqrt{\dfrac{x}{y}-2+\dfrac{y}{x}}$的值.
答案
解：根据题意，得1-4x≥0，4x-1≥0，
$ \therefore x=\frac{1}{4}$，则$y=\frac{1}{2}$，
$ \therefore \frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$，
$ \therefore \sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}} ÷ \sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{1}{2}+2+2} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}-2+2}=\sqrt{\frac{9}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=3$
$ \therefore x=\frac{1}{4}$，则$y=\frac{1}{2}$，
$ \therefore \frac{x}{y}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$，
$ \therefore \sqrt{\frac{x}{y}+2+\frac{y}{x}} ÷ \sqrt{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{1}{2}+2+2} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}-2+2}=\sqrt{\frac{9}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=3$
