10. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是边 AB 上的一点，且∠BCD = ∠A。
(1) 求证：CD = CB；
(2) 过点 B 作 BE⊥AC，垂足为点 E，BE 与 CD 相交于点 F。
① 求证：∠BCD = 2∠CBE；
② 如果△BDF 是等腰三角形，求∠A 的度数。

10. (1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB。
∵∠BDC 是△ADC 的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD。
又
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB。
∴∠ABC=∠BDC。
∴CD=CB。
(2)①证明:
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°。
设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α。
∴∠ABC=∠BDC=∠ACB=90°-α。
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α。
∴∠BCD=2∠CBE。
②∠A 的度数为 45°或 36°。

知识点一 等边三角形的判定
1. 的三角形是等边三角形。
2. 的等腰三角形是等边三角形。

知识点一 1.三个角都相等
2.有一个角等于60°

知识点二 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^{\circ}$，那么。

知识点二 它所对的直角边等于斜边的一半

例 1 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $D$ 是边 $AB$ 的中点，$CE ⊥ BC$ 于点 $C$，$AE ⊥ AB$ 于点 $A$，连接 $BE$ 交 $CD$ 于点 $G$。
(1) 求 $∠ DCE$ 的度数；
(2) 已知 $BE$ 垂直平分 $AC$，求证：$△ CEG$ 是等边三角形。

(1)
$\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB = 60°$。
$\because$ 点 $D$ 是 $AB$ 的中点，
$\therefore CD$ 平分 $∠ ACB$。
$\therefore ∠ DCB = ∠ DCA = \frac{1}{2} ∠ ACB = 30°$。
$\because CE ⊥ BC$，
$\therefore ∠ BCE = 90°$。
$\therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ DCB = 90° - 30° = 60°$。
(2)
$\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BAC = 60°$，$AB = BC$。
$\because AE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ BAE = 90°$。
$\therefore ∠ CAE = ∠ BAE - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
$\because ∠ ECA = ∠ BCE - ∠ ACB = 90° - 60° = 30°$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ ECA$。
$\therefore AE = CE$，$∠ AEC = 120°$。
$\because AB = CB$，$BE = BE$，$AE = CE$，
$\therefore △ ABE ≌ △ CBE (SSS)$。
$\therefore ∠ BEA = ∠ BEC$。
$\therefore ∠ GEC = \frac{1}{2} ∠ AEC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
由 (1) 知 $∠ GCE = 60°$，
$\therefore ∠ GEC = ∠ GCE = ∠ EGC = 60°$。
$\therefore △ CEG$ 是等边三角形。