7. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 2∠C，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D。过点 B 作 BF⊥AD，垂足为点 F，延长 BF 交 AC 于点 E。
(1) 求证：△ABE 为等腰三角形；
(2) 已知 AC = 13，BD = 5，求 AB 的长。

7. (1)证明:
∵BF⊥AD,
∴∠AFE=∠AFB=90°。
∵AD 平分∠BAC,
∴∠EAF=∠BAF。
在△AEF 和△ABF 中,
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°,
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°,
∴∠AEF=∠ABF。
∴△ABE 为等腰三角形。
(2)解:如图,连接 DE。

∵AE=AB,AD 平分∠BAC,
∴AD 垂直平分 BE,
∴BD=ED,
∴∠DEF=∠DBF。
又
∵∠AEF=∠ABF,
∴∠AED=∠ABD。
∵∠ABC=2∠C,
∴∠AED=2∠C。
又
∵∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠C=∠EDC,
∴EC=ED,
∴CE=BD,
∴AB=AE=AC-CE=AC-BD=13-5=8。

8. 如图，点 D，E 分别是△ABC 的边 BA，BC 延长线上的点，AF 平分∠DAC，且 AF//BC。
(1) 求证：△ABC 是等腰三角形；
(2) 作∠ACE 的平分线交 AF 于点 G，若∠B = 40°，求∠AGC 的度数。

8. (1)证明:
∵AF 平分∠DAC,
∴∠DAF=∠CAF。
∵AF//BC,
∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB。
∴∠B=∠ACB。
∴△ABC 是等腰三角形。
(2)解:
∵AB=AC,∠B=40°,
∴∠ACB=∠B=40°。
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-40°=140°。
∵CG 平分∠ACE,
∴∠ACG=70°。
∵AF//BC,
∴∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°。

9. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，AC 上，且 BE = CF，BD = CE。
(1) 求证：△DEF 是等腰三角形；
(2) 当∠A = 40°时，求∠DEF 的度数。

9. (1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
在△DBE 和△ECF 中,
∵{BE=CF,∠B=∠C,BD=CE,
∴△DBE≌△ECF(SAS)。
∴DE=EF。
∴△DEF 是等腰三角形。
(2)解:由(1)知△DBE≌△ECF,
∴∠1=∠3,∠2=∠4。
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,
∴∠B=$\frac{1}{2}$(180°-40°)=70°。
∴∠1+∠2=110°。
∴∠3+∠2=110°。
∴∠DEF=180°-∠2-∠3=180°-110°=70°。