5. (2024·无锡校级模拟)某大型水果超市销售无锡水蜜桃,根据前段时间的销售经验,每天的售价x(元/箱)与销售量y(箱)有如表关系:
| 每箱售价x/元 | 68 | 67 | 66 | 65 | … | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 每天销量y/箱 | 40 | 45 | 50 | 55 | … | 180 |
已知y与x之间的函数关系是一次函数.
(1)求y与x的函数表达式.
(2)水蜜桃的进价是40元/箱,若该超市每天销售水蜜桃盈利1 600元,要使顾客获得实惠,每箱售价是多少元?
(3)七月份连续阴雨,销售量减少,超市决定采取降价销售,所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在(2)的条件下,下降了m%,同时水蜜桃的进货成本下降了10%,销售量也因此比原来每天获得1 600元盈利时上涨了2m%$(m＜100)$,7月份(按31天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7 120元,求m的值.

解：​$(1) $​设​$y$​与​$x$​之间的函数表达式是​$y = kx + b(k\neq 0)，$​​$ $​根据题意可得​$\begin {cases}68k + b = 40\\67k + b = 45\end {cases}，$​ 用第一个方程减去第二个方程得：​$68k + b-(67k + b)=40 - 45，$​​$ $​即​$68k + b - 67k - b=-5，$​​$k=-5。$​​$ $​把​$k = - 5$​代入​$68k + b = 40$​得：​$68×(-5)+b = 40，$​​$ -340 + b = 40，$​​$b = 380。$​​$ $​故​$y$​与​$x$​之间的函数表达式是​$y=-5x + 380。$​​$ (2) $​由题意可得​$(x - 40)(-5x + 380)=1600，$​​$ $​展开得​$-5x^2+380x + 200x - 15200 = 1600，$​​$ $​整理得​$-5x^2+580x - 16800 = 0，$​​$ $​两边同时除以​$-5$​得​$x^2-116x + 3360 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(x - 56)(x - 60)=0，$​​$ $​解得​$x_{1}=56，$​​$x_{2}=60。$​ 因为要使顾客获得实惠，售价要低，所以​$x = 60$​舍去，所以​$x = 56。$​ 答：要使顾客获得实惠，每箱售价是​$56$​元。​$ (3) $​在​$(2)$​的条件下，​$x = 56$​时，​$y = -5×56 + 380 = 100。$​ 由题意得到方程​$1600×16=[56×(1 - m\%)-40×(1 - 10\%)]$​​$×100×(1 + 2m\%)×15+7120，$​​$ $​设​$m\% = t，$​则方程化为​$1600×16=[56×(1 - t)-40×0.9]$​​$×100×(1 + 2t)×15+7120，$​​$ 25600=(56 - 56t - 36)×1500×(1 + 2t)+7120，$​​$ 25600=(20 - 56t)×1500×(1 + 2t)+7120，$​​$ 25600 - 7120=(20 - 56t)×1500×(1 + 2t)，$​​$ 18480=(20 - 56t)×1500×(1 + 2t)，$​​$ 18480=(20 - 56t)(1500 + 3000t)，$​​$ 18480=30000+60000t-84000t-168000t^2，$​​$ 168000t^2+24000t - 11520 = 0，$​​$ $​两边同时除以​$80$​得​$2100t^2+300t - 144 = 0，$​​$ $​再除以​$60$​得​$35t^2+5t - 2.4 = 0，$​​$ 350t^2+50t - 24 = 0，$​​$ 175t^2+25t - 12 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(5t - 0.8)(35t+15)=0，$​​$ $​解得​$t_{1}=\frac {0.8}{5}=0.16，$​​$t_{2}=-\frac {15}{35}=-\frac {3}{7}($​舍去​$)。$​​$ $​所以​$m = 20。$​

6. (2024·徐州模拟)已知$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ C=90°,AC=BC$.
(1)当$AC=BC=6$时.
①如图①,将直角的顶点$D$放至$AB$的中点处,分别交$AC、BC$于点$E、F$,请说明$△ DEF$为等腰直角三角形;
②如图②,将直角顶点$D$放至$AC$边的某处,与$△ ABC$另两边的交点分别为点$E、F$,若$△ DEF$为等腰直角三角形且面积为$4$,求$CD$的长.
(2)若等腰直角$△ DEF$三个顶点分别在等腰直角$△ ABC$的三边上,等腰直角$△ DEF$的直角边长为$1$时,求等腰直角$△ ABC$的直角边长的最大值.

解：​$(1) ①$​如图​$①，$​过点​$D$​作​$DG\perp AC$​于点​$G，$​​$DH\perp BC$​于点​$H，$​连接​$CD。$
​​$ $​因为​$\triangle ABC$​是等腰直角三角形，​$AC = BC，$​点​$D$​是​$AB$​的中点，所以​$CD\perp AB，$​​$CD = AD = BD，$​​$∠ACD=∠BCD。$​​$ $​因为​$DG\perp AC，$​​$DH\perp BC，$​所以​$DG = DH。$​​$ $​因为​$∠ACB=∠EDF = 90°，$​所以​$∠DEC+∠DFC = 180°。$​​$ $​因为​$∠DEC+∠DEG = 180°，$​所以​$∠DEG=∠DFC。$​​$ $​又因为​$∠DGC=∠DHB = 90°，$​所以​$\triangle DEG\cong \triangle DFH(\mathrm {AAS})，$​所以​$DE = DF，$​所以​$\triangle DEF $​是等腰直角三角形。 ②如图②，过点​$F_{作}FN\perp AC$​于点​$N。$​​$ $​因为​$∠CED+∠CDE = 90°，$​​$∠ADF+∠CDE = 90°，$​所以​$∠ADF=∠CED。$​​$ $​又因为​$∠FND=∠C = 90°，$​​$DF = DE，$​所以​$\triangle FDN\cong \triangle DEC(\mathrm {AAS})，$​所以​$NF = DC。$​​$ $​因为​$∠C = 90°，$​​$AC = BC，$​所以​$∠A=∠B = 45°。$​​$ $​因为​$FN\perp AC，$​所以​$∠A=∠AFN = 45°，$​所以​$AN = NF。$​​$ $​设​$AN = NF = CD = x，$​则​$ND = 6 - 2x。$​​$ $​因为​$S_{\triangle DEF}=\frac {1}{2}DE·DF = 4，$​​$DE = DF，$​所以​$\frac {1}{2}DF^2=4，$​​$DF^2=8。$​​$ $​因为​$DN^2+NF^2=DF^2，$​所以​$(6 - 2x)^2+x^2=8，$​​$ $​展开得​$36-24x + 4x^2+x^2=8，$​​$ $​整理得​$5x^2-24x + 28 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(5x - 14)(x - 2)=0，$​​$ $​解得​$x = 2$​或​$x=\frac {14}{5}。$​​$ $​所以​$CD = 2$​或​$\frac {14}{5}。$​​$ (2) $​设等腰​$Rt\triangle DEF $​的直角顶点为​$D，$​​$ $​若​$D$​在​$AB$​上，如图③，取​$EF $​的中点​$Q，$​连接​$CQ、$​​$DQ，$​
则​$CQ=\frac {1}{2}EF，$​​$DQ=\frac {1}{2}EF。$​​$ $​因为​$\triangle DEF $​是直角边长为​$1$​的等腰直角三角形​$(∠EDF = 90°)，$​所以​$EF=\sqrt {2}，$​所以​$CQ = DQ=\frac {\sqrt {2}}{2}，$​所以​$CQ + DQ=\sqrt {2}，$​当​$C、$​​$Q、$​​$D$​三点共线时，​$CD$​最长，最长为​$\sqrt {2}。$​​$ $​在等腰​$Rt\triangle ABC(∠ACB = 90°)$​中，当​$CD\perp AB$​时，​$AC$​的长最大，​$AC$​的最大值为​$2。$​​$ $​若​$D$​在直角边上，如图④，过点​$E$​分别作​$EG\perp AC$​于点​$G，$​​$EH\perp CB$​于点​$H。$​​$ $​由​$(1)$​知​$\triangle DEG\cong \triangle FDC，$​设​$GE = x = CD，$​​$DG = y，$​​$AC = BC = s，$​​$ $​则​$\begin {cases}2x + y = s\\x ^2+y^2=1\end {cases}，$​把​$y = s - 2x$​代入​$x^2+y^2=1$​得​$x^2+(s - 2x)^2=1，$​​$ $​展开得​$x^2+s^2-4sx + 4x^2=1，$​整理得​$5x^2-4sx + s^2-1 = 0。$​​$ $​因为​$b^2-4ac = (-4s)^2-4×5×(s^2-1)=20 - 4s^2\geqslant 0，$​​$ $​解得​$s\leqslant \sqrt {5}。$​​$ $​当​$s $​取最大值时，​$x=\frac {2\sqrt {5}}{5}，$​​$y=\frac {\sqrt {5}}{5}，$​所以​$AC$​的最大值为​$\sqrt {5}。$​ 综上所述，​$AC$​的最大值为​$\sqrt {5}。$​