20.（9分）将自然数1至100排列如图64-G-3：

图64-G-3
(1)用上面的长方形任意框出四个数(如图64-G-3)，框中的最大数为a，另外三个数可以表示为：，，；
(2)如果框出的四个数的和是216，那么框出的这四个数分别是多少？
(3)小明说:我想用上面的长方形框出和为126的四个数.小明能框出这四个数吗？为什么？

20. 解:(1)a−1 a−7 a−8
(2)由(1)可得 a+a−1+a−7+a−8=216,解得 a=58,
所以 a−1=57,a−7=51,a−8=50,
所以框出的这四个数分别是 50,51,57,58.
(3)不能.理由如下：
a+a−1+a−7+a−8=126,
解得 $a=\frac{71}{2}$,不是整数,
所以小明不能框出这四个数.

【分析】
首先观察数表排列规律：每行有7个连续自然数，同一行中相邻两个数相差1，同一列中上下相邻两个数相差7。
(1) 框中最大数a是四个数里右下角的数，它左侧的数比它小1，它正上方同列的数比它小7，左上角的数比它正上方的数再小1，也就是比a小8，据此即可写出另外三个数。
(2) 根据四个数的和为216的等量关系，把四个用a表示的数相加列一元一次方程，求解得到a的值后再计算另外三个数即可。
(3) 同样按照和为126列方程求解a，判断a是否为符合要求的正整数，即可判断能不能框出。
【解析】
(1) 由数表规律可知：同一行相邻数差1，同一列上下相邻数差7，最大数a在右下角，因此它左侧的数为$a-1$，正上方的数为$a-7$，左上角的数为$a-7-1=a-8$。
(2) 设框中最大数为$a$，根据四个数的和是216列方程：
$\begin{aligned}a+(a-1)+(a-7)+(a-8)&=216\\4a-16&=216\\4a&=232\\a&=58\end{aligned}$
其余三个数分别为：$a-1=57$，$a-7=51$，$a-8=50$。
(3) 假设能框出和为126的四个数，设最大数为$a$，列方程：
$\begin{aligned}a+(a-1)+(a-7)+(a-8)&=126\\4a-16&=126\\4a&=142\\a&=\frac{71}{2}\end{aligned}$
因为$a$表示自然数，所得结果不是整数，不符合数的特征，因此不能框出这样的四个数。
【答案】
(1) $a-1$，$a-7$，$a-8$
(2) 50，51，57，58
(3) 不能，因为解得$a=\frac{71}{2}$不是整数，不符合要求。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，数字规律探究
【点评】
本题结合数表考查规律探究与一元一次方程的应用，核心是先找准数的排列规律，用含同一未知数的代数式表示出所有未知量，再根据等量关系列方程求解，最后要注意检验方程的解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7