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1. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代。一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点，在乙快递点卸完包裹后以相同的速度按原路返回公司。已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程$ s $（单位：m）与时间$ t $（单位：min）的函数关系如图所示。根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为
4
min。答案
1.4
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：①先观察图像返回段的信息：30min时离公司5a，40min时回到公司，由此可算出快递车行驶的速度；②结合行驶速度，分别算出行驶8a、5a、3a路程各自需要的时间，再根据返回总用时倒推出快递车从乙点开始返回的时间；③从出发到开始返回的总时间减去各段行驶的总时间，就是两次卸货的总时长，因两次卸货时间相同，除以2即可得到单次卸货时间。
【解析】
第一步：计算快递车行驶速度
由返回段图像可知，10min行驶的路程为5a，因此行驶速度：
$v=\frac{5a}{40-30}=0.5a\ \mathrm{m/min}$
第二步：计算各段路程行驶时长
行驶全程8a需要的时间：$t_{\mathrm{总行驶}}=\frac{8a}{0.5a}=16\ \mathrm{min}$，即返回全程用时16min，因此开始从乙点返回的时间为$40-16=24\ \mathrm{min}$。
公司到甲点路程为5a，行驶时间：$t_1=\frac{5a}{0.5a}=10\ \mathrm{min}$
甲点到乙点路程为$8a-5a=3a$，行驶时间：$t_2=\frac{3a}{0.5a}=6\ \mathrm{min}$
第三步：求单次卸货时间
设每个快递点卸包裹的时间为$x\ \mathrm{min}$，从出发到开始返回的24min包含两段行驶时间和两次卸货时间，可列方程：
$10 + x + 6 + x =24$
解得：$2x=8$，$x=4$
【答案】
4
【知识点】
s-t图像分析，行程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数图像的解读能力，解题核心是从图像中提取对应的路程、时间信息，结合行程公式找到等量关系列方程求解，需要注意题干中“行驶速度相同、卸货时间相同”的已知条件。
【难度系数】
0.65
解题可按以下步骤思考：①先观察图像返回段的信息：30min时离公司5a，40min时回到公司，由此可算出快递车行驶的速度；②结合行驶速度，分别算出行驶8a、5a、3a路程各自需要的时间，再根据返回总用时倒推出快递车从乙点开始返回的时间；③从出发到开始返回的总时间减去各段行驶的总时间，就是两次卸货的总时长，因两次卸货时间相同，除以2即可得到单次卸货时间。
【解析】
第一步：计算快递车行驶速度
由返回段图像可知，10min行驶的路程为5a，因此行驶速度：
$v=\frac{5a}{40-30}=0.5a\ \mathrm{m/min}$
第二步：计算各段路程行驶时长
行驶全程8a需要的时间：$t_{\mathrm{总行驶}}=\frac{8a}{0.5a}=16\ \mathrm{min}$，即返回全程用时16min，因此开始从乙点返回的时间为$40-16=24\ \mathrm{min}$。
公司到甲点路程为5a，行驶时间：$t_1=\frac{5a}{0.5a}=10\ \mathrm{min}$
甲点到乙点路程为$8a-5a=3a$，行驶时间：$t_2=\frac{3a}{0.5a}=6\ \mathrm{min}$
第三步：求单次卸货时间
设每个快递点卸包裹的时间为$x\ \mathrm{min}$，从出发到开始返回的24min包含两段行驶时间和两次卸货时间，可列方程：
$10 + x + 6 + x =24$
解得：$2x=8$，$x=4$
【答案】
4
【知识点】
s-t图像分析，行程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数图像的解读能力，解题核心是从图像中提取对应的路程、时间信息，结合行程公式找到等量关系列方程求解，需要注意题干中“行驶速度相同、卸货时间相同”的已知条件。
【难度系数】
0.65
2. 一次函数 $ y = 2x + b $ 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则 $ b = $
$\pm4$
。答案
2.$\pm4$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；第二步根据坐标轴互相垂直的特点，明确两个交点到原点的距离就是围成的直角三角形的两条直角边长度；第三步结合三角形面积公式列方程求解，注意距离是非负数，需要用绝对值处理，避免漏解。
【解析】
1. 求函数与y轴的交点：当x=0时，代入$y=2x+b$得$y=b$，即交点为$(0, b)$，该点到原点的距离为$|b|$。
2. 求函数与x轴的交点：当y=0时，代入$y=2x+b$得$0=2x+b$，解得$x=-\frac{b}{2}$，即交点为$(-\frac{b}{2}, 0)$，该点到原点的距离为$|-\frac{b}{2}|=\frac{|b|}{2}$。
3. 一次函数与两坐标轴围成的是直角三角形，面积为两条直角边乘积的一半，根据题意列方程：
$\frac{1}{2} × |b| × \frac{|b|}{2} = 4$
化简得：$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$
解得：$b=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，解题时要注意坐标带符号，而边长为非负数，需要用绝对值处理，避免漏掉b为负数的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；第二步根据坐标轴互相垂直的特点，明确两个交点到原点的距离就是围成的直角三角形的两条直角边长度；第三步结合三角形面积公式列方程求解，注意距离是非负数，需要用绝对值处理，避免漏解。
【解析】
1. 求函数与y轴的交点：当x=0时，代入$y=2x+b$得$y=b$，即交点为$(0, b)$，该点到原点的距离为$|b|$。
2. 求函数与x轴的交点：当y=0时，代入$y=2x+b$得$0=2x+b$，解得$x=-\frac{b}{2}$，即交点为$(-\frac{b}{2}, 0)$，该点到原点的距离为$|-\frac{b}{2}|=\frac{|b|}{2}$。
3. 一次函数与两坐标轴围成的是直角三角形，面积为两条直角边乘积的一半，根据题意列方程：
$\frac{1}{2} × |b| × \frac{|b|}{2} = 4$
化简得：$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$
解得：$b=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，解题时要注意坐标带符号，而边长为非负数，需要用绝对值处理，避免漏掉b为负数的情况。
【难度系数】
0.7
3. 如图，用弹簧测力计拉着重为12 N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动。经测算，在弹性限度内，弹簧测力计的读数F（单位：N）与装置高度h（单位：m）满足我们学过的某种函数关系。如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为10 N时，装置高度h为 （
A.0.8 m
B.0.75 m
C.0.5 m
D.0.25 m
A
）A.0.8 m
B.0.75 m
C.0.5 m
D.0.25 m
答案
3.A
解析
【分析】
首先根据题意可知弹簧测力计读数F与装置高度h满足我们学过的一次函数关系，结合数据变化规律可判断为正比例函数关系。解题时先利用待定系数法求出F关于h的函数解析式，再将F=10代入解析式，求解即可得到对应的h值。
【解析】
由题意知F与h成正比例函数关系，设函数解析式为$ F = kh $（k为常数，$ k ≠ 0 $）。
选取实验数据中$ h=0.2m $时$ F=2.5N $代入解析式，得：
$ 2.5 = 0.2k $
解得$ k = 12.5 $
因此函数解析式为$ F = 12.5h $。
当$ F = 10N $时，代入解析式得：
$ 10 = 12.5h $
解得$ h = 0.8m $
【答案】
A
【知识点】
正比例函数，待定系数法，函数求值
【点评】
本题结合物理实验情境考查函数的实际应用，需要先根据数据特征判断函数类型，再用待定系数法求出解析式后代入计算，难度不大，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据题意可知弹簧测力计读数F与装置高度h满足我们学过的一次函数关系，结合数据变化规律可判断为正比例函数关系。解题时先利用待定系数法求出F关于h的函数解析式，再将F=10代入解析式，求解即可得到对应的h值。
【解析】
由题意知F与h成正比例函数关系，设函数解析式为$ F = kh $（k为常数，$ k ≠ 0 $）。
选取实验数据中$ h=0.2m $时$ F=2.5N $代入解析式，得：
$ 2.5 = 0.2k $
解得$ k = 12.5 $
因此函数解析式为$ F = 12.5h $。
当$ F = 10N $时，代入解析式得：
$ 10 = 12.5h $
解得$ h = 0.8m $
【答案】
A
【知识点】
正比例函数，待定系数法，函数求值
【点评】
本题结合物理实验情境考查函数的实际应用，需要先根据数据特征判断函数类型，再用待定系数法求出解析式后代入计算，难度不大，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. A，B，C三名同学观察完某个一次函数的图象，描述如下：
A：函数的图象经过点$(0,-1)$；
B：$y$的值随$x$值的增大而减小；
C：函数的图象不经过第一象限。
写出满足上述三条性质的一个函数表达式为
A：函数的图象经过点$(0,-1)$；
B：$y$的值随$x$值的增大而减小；
C：函数的图象不经过第一象限。
写出满足上述三条性质的一个函数表达式为
$y=-x-1$(答案不唯一)
。答案
4.$y=-x-1$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k ≠ 0$），再对应三个条件逐步推导参数的取值：①由函数图象过点$(0,-1)$，代入可直接求出$b$的值；②由$y$随$x$增大而减小，可确定$k$的符号为负；③验证当$k＜0$、已求出的$b=-1＜0$时，函数图象经过二、三、四象限，满足不经过第一象限的要求。最后取任意一个负的$k$值，代入即可得到符合要求的函数表达式。
【解析】
设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
1. 代入点$(0,-1)$：当$x=0$时，$y=-1$，代入得$-1 = k × 0 + b$，解得$b = -1$；
2. 由“$y$的值随$x$值的增大而减小”可得，一次函数中$k ＜ 0$；
3. 当$k ＜ 0$，$b = -1 ＜ 0$时，函数图象经过第二、三、四象限，满足“不经过第一象限”的条件。
取$k = -1$，可得函数表达式为$y = -x - 1$，答案不唯一，只要满足$k ＜ 0$，$b = -1$即可。
【答案】
$y=-x-1$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查一次函数中参数$k$、$b$对函数增减性、图象经过象限的影响，掌握相关性质即可快速写出符合要求的表达式。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k ≠ 0$），再对应三个条件逐步推导参数的取值：①由函数图象过点$(0,-1)$，代入可直接求出$b$的值；②由$y$随$x$增大而减小，可确定$k$的符号为负；③验证当$k＜0$、已求出的$b=-1＜0$时，函数图象经过二、三、四象限，满足不经过第一象限的要求。最后取任意一个负的$k$值，代入即可得到符合要求的函数表达式。
【解析】
设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
1. 代入点$(0,-1)$：当$x=0$时，$y=-1$，代入得$-1 = k × 0 + b$，解得$b = -1$；
2. 由“$y$的值随$x$值的增大而减小”可得，一次函数中$k ＜ 0$；
3. 当$k ＜ 0$，$b = -1 ＜ 0$时，函数图象经过第二、三、四象限，满足“不经过第一象限”的条件。
取$k = -1$，可得函数表达式为$y = -x - 1$，答案不唯一，只要满足$k ＜ 0$，$b = -1$即可。
【答案】
$y=-x-1$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数的图象与性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查一次函数中参数$k$、$b$对函数增减性、图象经过象限的影响，掌握相关性质即可快速写出符合要求的表达式。
【难度系数】
0.7
5.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间。某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2 h记录一次箭尺读数(箭尺最大读数为120 cm)，如表所示：
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x(单位：h)，纵轴表示箭尺读数y(单位：cm)，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线。
(2)观察各点的分布规律，它符合我们学过的什么函数？请结合表格数据，求出该函数的表达式。
(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午9:00，那么当箭尺读数为78 cm时是几点？
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x(单位：h)，纵轴表示箭尺读数y(单位：cm)，请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线。
(2)观察各点的分布规律，它符合我们学过的什么函数？请结合表格数据，求出该函数的表达式。
(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午9:00，那么当箭尺读数为78 cm时是几点？
答案
5.(1)描点、连线略。
(2)符合一次函数。y 关于 x 的函数表达式为 $y=6x+6$。
(3)当箭尺读数为 78 cm 时是 21:00。
(2)符合一次函数。y 关于 x 的函数表达式为 $y=6x+6$。
(3)当箭尺读数为 78 cm 时是 21:00。
解析
【分析】
(1) 第一问为作图题，解题时先提取表格中每组供水时间x和对应箭尺读数y组成的坐标点，在给定平面直角坐标系中依次找到各点位置描出，再顺次用直线连接即可。
(2) 观察描出的点的分布，所有点都在同一条直线上，符合一次函数的图像特征，因此判定为一次函数。求函数表达式使用待定系数法：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k\ne0)$，再选取表格中两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，可代入其余点验证结果正确性。
(3) 第三问为函数实际应用，箭尺读数为78cm即已知函数值$y=78$，将其代入第二问求出的函数表达式中，解一元一次方程得到供水时间x，再用实验开始的上午9:00加上经过的时间x，换算得到对应时刻即可。
【解析】
(1) 根据表格给出的各组$(x,y)$数据，在平面直角坐标系中依次对应描出各点，再用直线顺次连接各点即可，过程略。
(2) 观察描出的各点均在同一条直线上，因此符合一次函数。
设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$，选取表格中两组数据：当$x=0$时，$y=6$；当$x=2$时，$y=18$，代入解析式得：
$\begin{cases} b=6 \\ 2k + b = 18 \end{cases}$
把$b=6$代入第二个方程，得$2k+6=18$，解得$k=6$，代入其余表格数据验证均成立。
因此该函数的表达式为$y=6x+6$。
(3) 当箭尺读数$y=78\mathrm{cm}$时，代入$y=6x+6$得：
$78 = 6x + 6$
移项计算得$6x=72$，解得$x=12$。
已知实验开始时间是上午9:00，经过12小时后，对应时间为$9:00+12\mathrm{h}=21:00$。
【答案】
(1) 描点、连线略；
(2) 符合一次函数，函数表达式为$\boldsymbol{y=6x+6}$；
(3) 当箭尺读数为78 cm时是$\boldsymbol{21:00}$。
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题以我国古代浮箭漏发明为背景，考查一次函数在实际计时场景中的应用，既需要掌握一次函数图像特征、待定系数法求解析式的基础方法，也需要结合实际场景完成自变量与函数值的相互转换，能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为作图题，解题时先提取表格中每组供水时间x和对应箭尺读数y组成的坐标点，在给定平面直角坐标系中依次找到各点位置描出，再顺次用直线连接即可。
(2) 观察描出的点的分布，所有点都在同一条直线上，符合一次函数的图像特征，因此判定为一次函数。求函数表达式使用待定系数法：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k\ne0)$，再选取表格中两组对应的x、y值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式，可代入其余点验证结果正确性。
(3) 第三问为函数实际应用，箭尺读数为78cm即已知函数值$y=78$，将其代入第二问求出的函数表达式中，解一元一次方程得到供水时间x，再用实验开始的上午9:00加上经过的时间x，换算得到对应时刻即可。
【解析】
(1) 根据表格给出的各组$(x,y)$数据，在平面直角坐标系中依次对应描出各点，再用直线顺次连接各点即可，过程略。
(2) 观察描出的各点均在同一条直线上，因此符合一次函数。
设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$，选取表格中两组数据：当$x=0$时，$y=6$；当$x=2$时，$y=18$，代入解析式得：
$\begin{cases} b=6 \\ 2k + b = 18 \end{cases}$
把$b=6$代入第二个方程，得$2k+6=18$，解得$k=6$，代入其余表格数据验证均成立。
因此该函数的表达式为$y=6x+6$。
(3) 当箭尺读数$y=78\mathrm{cm}$时，代入$y=6x+6$得：
$78 = 6x + 6$
移项计算得$6x=72$，解得$x=12$。
已知实验开始时间是上午9:00，经过12小时后，对应时间为$9:00+12\mathrm{h}=21:00$。
【答案】
(1) 描点、连线略；
(2) 符合一次函数，函数表达式为$\boldsymbol{y=6x+6}$；
(3) 当箭尺读数为78 cm时是$\boldsymbol{21:00}$。
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题以我国古代浮箭漏发明为背景，考查一次函数在实际计时场景中的应用，既需要掌握一次函数图像特征、待定系数法求解析式的基础方法，也需要结合实际场景完成自变量与函数值的相互转换，能有效锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
