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制作万花筒
小亮在一本课外读物上了解到，要想在穿衣镜(平面镜)中看到自己的全身像，穿衣镜的长度至少是身高的一半。下面是小亮在日记中记录的思考过程：
如图
，已知人AC竖直站立，穿衣镜PQ竖直放置，此时$PQ// AC$，B为眼睛的位置，$A'C'$是人AC在穿衣镜PQ中的像，M，N分别是过点P，Q的法线PM，QN与AC的交点。
因为PM和QN是法线，所以$PM⊥ AC$，$QN⊥ AC$。
所以$∠ AMP=∠ BMP=∠ BNQ=∠ CNQ=90°$。所以$PM// QN$。
又因为$PQ// AC$，所以$∠ MPQ=∠ BMP=90°$。所以四边形PMNQ是矩形。
所以$PQ=MN$。
根据平面镜成像原理可知$∠ APM=∠ BPM$。
在$△ AMP$和$△ BMP$中，$\begin{cases} ∠ AMP=∠ BMP, \\ MP=MP, \\ ∠ APM=∠ BPM, \end{cases}$
所以$△ AMP≌△ BMP(ASA)$。所以$AM=BM$。
……
因此，要想在穿衣镜中看到自己的全身像，穿衣镜上端处和人眼与头顶的中点处齐平，此时穿衣镜有最小长度，即身高的一半。
任务：
(1)从小亮的日记中还可以知道$AP=A'P$，$CQ=C'Q$，可以用数学知识
A. 图形的轴对称 B. 图形的旋转 C. 图形的全等
(2)请你补全小亮的思考过程。
(3)应用：如图
，现有一面平面镜PQ竖直挂在墙上，某人的身高AC为170 cm，他站在镜子前某处，眼睛B只能看到部分身长$AD=68$ cm，若他想看到自己的全身像，则将镜子向下移动的距离QM至少为
小亮在一本课外读物上了解到，要想在穿衣镜(平面镜)中看到自己的全身像，穿衣镜的长度至少是身高的一半。下面是小亮在日记中记录的思考过程：
如图
，已知人AC竖直站立，穿衣镜PQ竖直放置，此时$PQ// AC$，B为眼睛的位置，$A'C'$是人AC在穿衣镜PQ中的像，M，N分别是过点P，Q的法线PM，QN与AC的交点。因为PM和QN是法线，所以$PM⊥ AC$，$QN⊥ AC$。
所以$∠ AMP=∠ BMP=∠ BNQ=∠ CNQ=90°$。所以$PM// QN$。
又因为$PQ// AC$，所以$∠ MPQ=∠ BMP=90°$。所以四边形PMNQ是矩形。
所以$PQ=MN$。
根据平面镜成像原理可知$∠ APM=∠ BPM$。
在$△ AMP$和$△ BMP$中，$\begin{cases} ∠ AMP=∠ BMP, \\ MP=MP, \\ ∠ APM=∠ BPM, \end{cases}$
所以$△ AMP≌△ BMP(ASA)$。所以$AM=BM$。
……
因此，要想在穿衣镜中看到自己的全身像，穿衣镜上端处和人眼与头顶的中点处齐平，此时穿衣镜有最小长度，即身高的一半。
任务：
(1)从小亮的日记中还可以知道$AP=A'P$，$CQ=C'Q$，可以用数学知识
A
来解释。A. 图形的轴对称 B. 图形的旋转 C. 图形的全等
(2)请你补全小亮的思考过程。
(3)应用：如图
，现有一面平面镜PQ竖直挂在墙上，某人的身高AC为170 cm，他站在镜子前某处，眼睛B只能看到部分身长$AD=68$ cm，若他想看到自己的全身像，则将镜子向下移动的距离QM至少为51
cm。答案
(1)A
(2)根据平面镜成像原理可知∠BQN=∠CQN。
在△BNQ和△CNQ中，$\begin{cases} ∠BNQ=∠CNQ, \\ QN=QN, \\ ∠BQN=∠CQN, \end{cases}$
所以△BNQ≌△CNQ(ASA)。所以BN=CN。
所以 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$。
所以 $PQ=\frac{1}{2}AC$。
(3)根据题意可知，此人身高AC为170 cm，镜子大小应为170÷2=85(cm)。
因为部分身长AD=68 cm，
所以需要镜子68÷2=34(cm)。
所以要想看到全身像，镜子还需要向下移动85-34=51(cm)。
故答案为51。
(2)根据平面镜成像原理可知∠BQN=∠CQN。
在△BNQ和△CNQ中，$\begin{cases} ∠BNQ=∠CNQ, \\ QN=QN, \\ ∠BQN=∠CQN, \end{cases}$
所以△BNQ≌△CNQ(ASA)。所以BN=CN。
所以 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$。
所以 $PQ=\frac{1}{2}AC$。
(3)根据题意可知，此人身高AC为170 cm，镜子大小应为170÷2=85(cm)。
因为部分身长AD=68 cm，
所以需要镜子68÷2=34(cm)。
所以要想看到全身像，镜子还需要向下移动85-34=51(cm)。
故答案为51。
解析
【分析】
(1) 平面镜成像时，物体和它的像关于镜面对称，符合轴对称的特征，由此可判断对应选项。
(2) 仿照前面证明头顶侧三角形全等的思路，利用平面镜成像原理得到脚侧对应的角相等，证明△BNQ和△CNQ全等，得到N是BC中点，进而推导MN是AC的一半，结合之前PQ=MN的结论，即可得穿衣镜最小长度为身高一半。
(3) 根据已推导的结论：能看到的人体长度对应的镜子高度为该长度的一半。先计算看到全身像需要的镜子总高度，再计算当前能看到68cm对应的镜子高度，两者的差就是需要向下移动的最小距离。
【解析】
(1) 平面镜成像中，像与物体关于镜面成轴对称，因此$AP=A'P$，$CQ=C'Q$可以用轴对称知识解释，故选A。
(2) 补全思考过程如下：
根据平面镜成像原理可知$∠BQN=∠CQN$。
在$△BNQ$和$△CNQ$中，$\begin{cases} ∠BNQ=∠CNQ, \\ QN=QN, \\ ∠BQN=∠CQN, \end{cases}$
所以$△BNQ≌△CNQ(ASA)$，所以$BN=CN$。
所以 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$。
又因为已证四边形PMNQ是矩形，$PQ=MN$，所以 $PQ=\frac{1}{2}AC$。
(3) 根据结论，要看到全身像，镜子最小长度为身高的一半：
$170÷2=85(\mathrm{cm})$
当前能看到的身长$AD=68\ \mathrm{cm}$，对应需要的镜子长度为：
$68÷2=34(\mathrm{cm})$
因此需要向下移动的最小距离QM为：
$85-34=51(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)A
(2)根据平面镜成像原理可知∠BQN=∠CQN。在△BNQ和△CNQ中，$\begin{cases} ∠BNQ=∠CNQ, \\ QN=QN, \\ ∠BQN=∠CQN, \end{cases}$所以△BNQ≌△CNQ(ASA)。所以BN=CN。所以 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$。所以 $PQ=\frac{1}{2}AC$。
(3)51
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平面镜成像应用
【点评】
本题结合生活中平面镜成像的实际场景，将几何知识和生活常识融合，既考查了基础的全等、轴对称知识点，又引导学生学会类比推导、用已有结论解决新问题，有助于提升学生的知识迁移能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 平面镜成像时，物体和它的像关于镜面对称，符合轴对称的特征，由此可判断对应选项。
(2) 仿照前面证明头顶侧三角形全等的思路，利用平面镜成像原理得到脚侧对应的角相等，证明△BNQ和△CNQ全等，得到N是BC中点，进而推导MN是AC的一半，结合之前PQ=MN的结论，即可得穿衣镜最小长度为身高一半。
(3) 根据已推导的结论：能看到的人体长度对应的镜子高度为该长度的一半。先计算看到全身像需要的镜子总高度，再计算当前能看到68cm对应的镜子高度，两者的差就是需要向下移动的最小距离。
【解析】
(1) 平面镜成像中，像与物体关于镜面成轴对称，因此$AP=A'P$，$CQ=C'Q$可以用轴对称知识解释，故选A。
(2) 补全思考过程如下：
根据平面镜成像原理可知$∠BQN=∠CQN$。
在$△BNQ$和$△CNQ$中，$\begin{cases} ∠BNQ=∠CNQ, \\ QN=QN, \\ ∠BQN=∠CQN, \end{cases}$
所以$△BNQ≌△CNQ(ASA)$，所以$BN=CN$。
所以 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$。
又因为已证四边形PMNQ是矩形，$PQ=MN$，所以 $PQ=\frac{1}{2}AC$。
(3) 根据结论，要看到全身像，镜子最小长度为身高的一半：
$170÷2=85(\mathrm{cm})$
当前能看到的身长$AD=68\ \mathrm{cm}$，对应需要的镜子长度为：
$68÷2=34(\mathrm{cm})$
因此需要向下移动的最小距离QM为：
$85-34=51(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)A
(2)根据平面镜成像原理可知∠BQN=∠CQN。在△BNQ和△CNQ中，$\begin{cases} ∠BNQ=∠CNQ, \\ QN=QN, \\ ∠BQN=∠CQN, \end{cases}$所以△BNQ≌△CNQ(ASA)。所以BN=CN。所以 $MN=BM+BN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AC$。所以 $PQ=\frac{1}{2}AC$。
(3)51
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平面镜成像应用
【点评】
本题结合生活中平面镜成像的实际场景，将几何知识和生活常识融合，既考查了基础的全等、轴对称知识点，又引导学生学会类比推导、用已有结论解决新问题，有助于提升学生的知识迁移能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
