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【定义运算】任意写一个三位数，百位数字比个位数字大3，交换它的百位数字与个位数字得到一个新数，然后用这两个数中的大数减去小数得到差，交换差的百位数字与个位数字，最后对差和新得到的数字做加法。
【问题介入】(1)用不同的三位数再做两次，结果都是1 089吗？
【原理探究】(2)你能解释其中的道理吗？
【问题介入】(1)用不同的三位数再做两次，结果都是1 089吗？
【原理探究】(2)你能解释其中的道理吗？
答案
(1)结果都是1 089。
(2)设这个三位数为100(3+c)+10b+c，交换百位数字与个位数字后为100c+10b+3+c。
根据题意，有[100(3+c)+10b+c]-[100c+10b+3+c]=297，
再交换297的百位和个位数字得792，而297+792=1 089，
所以用不同的三位数再做几次，结果都是1 089。
(2)设这个三位数为100(3+c)+10b+c，交换百位数字与个位数字后为100c+10b+3+c。
根据题意，有[100(3+c)+10b+c]-[100c+10b+3+c]=297，
再交换297的百位和个位数字得792，而297+792=1 089，
所以用不同的三位数再做几次，结果都是1 089。
解析
【分析】
解决第(1)问时，只需选取2个满足“百位数字比个位数字大3”的三位数，按照题目给出的运算步骤依次计算，即可验证结果是否一致；解决第(2)问时，我们可以用字母分别表示三位数各个数位上的数字，将原三位数和交换数位后的新三位数用含字母的代数式表示，再通过整式的加减运算计算差值，观察差值的特点，最后按步骤求和即可解释该规律。
【解析】
(1) 选取两个符合条件的三位数验证：
例1：取三位数734，百位数字7比个位数字4大3，交换百位和个位数字得437，大数减小数：$734-437=297$；交换297的百位和个位数字得792，求和：$297+792=1089$。
例2：取三位数522，百位数字5比个位数字2大3，交换百位和个位数字得225，大数减小数：$522-225=297$；交换297的百位和个位数字得792，求和：$297+792=1089$。
因此用不同的三位数再做两次，结果都是1089。
(2) 设这个三位数的个位数字为$c$，十位数字为$b$，由百位数字比个位数字大3可知百位数字为$3+c$。
原三位数可表示为：$100(3+c)+10b+c$
交换百位和个位数字后的新三位数为：$100c+10b+(3+c)$
两数作差：
$\begin{aligned}&[100(3+c)+10b+c] - [100c+10b+3+c]\\=&300+100c+10b+c - 100c -10b -3 -c\\=&297\end{aligned}$
可知差恒为297，交换297的百位和个位数字得792，两数相加得$297+792=1089$，因此无论选取哪个符合条件的三位数，最终结果都是1089。
【答案】
(1) 结果都是1089。
(2) 设这个三位数为$100(3+c)+10b+c$，交换百位数字与个位数字后为$100c+10b+3+c$。根据题意，有$[100(3+c)+10b+c]-[100c+10b+3+c]=297$，再交换297的百位和个位数字得792，而$297+792=1089$，所以用不同的三位数再做几次，结果都是1089。
【知识点】
数字的代数式表示，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题从具体运算操作入手，引导学生通过代数推导解释普遍规律，体现了从特殊到一般的数学思想，既巩固了整式加减的运算能力，也能帮助学生理解代数式在解释数字规律中的作用。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，只需选取2个满足“百位数字比个位数字大3”的三位数，按照题目给出的运算步骤依次计算，即可验证结果是否一致；解决第(2)问时，我们可以用字母分别表示三位数各个数位上的数字，将原三位数和交换数位后的新三位数用含字母的代数式表示，再通过整式的加减运算计算差值，观察差值的特点，最后按步骤求和即可解释该规律。
【解析】
(1) 选取两个符合条件的三位数验证：
例1：取三位数734，百位数字7比个位数字4大3，交换百位和个位数字得437，大数减小数：$734-437=297$；交换297的百位和个位数字得792，求和：$297+792=1089$。
例2：取三位数522，百位数字5比个位数字2大3，交换百位和个位数字得225，大数减小数：$522-225=297$；交换297的百位和个位数字得792，求和：$297+792=1089$。
因此用不同的三位数再做两次，结果都是1089。
(2) 设这个三位数的个位数字为$c$，十位数字为$b$，由百位数字比个位数字大3可知百位数字为$3+c$。
原三位数可表示为：$100(3+c)+10b+c$
交换百位和个位数字后的新三位数为：$100c+10b+(3+c)$
两数作差：
$\begin{aligned}&[100(3+c)+10b+c] - [100c+10b+3+c]\\=&300+100c+10b+c - 100c -10b -3 -c\\=&297\end{aligned}$
可知差恒为297，交换297的百位和个位数字得792，两数相加得$297+792=1089$，因此无论选取哪个符合条件的三位数，最终结果都是1089。
【答案】
(1) 结果都是1089。
(2) 设这个三位数为$100(3+c)+10b+c$，交换百位数字与个位数字后为$100c+10b+3+c$。根据题意，有$[100(3+c)+10b+c]-[100c+10b+3+c]=297$，再交换297的百位和个位数字得792，而$297+792=1089$，所以用不同的三位数再做几次，结果都是1089。
【知识点】
数字的代数式表示，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题从具体运算操作入手，引导学生通过代数推导解释普遍规律，体现了从特殊到一般的数学思想，既巩固了整式加减的运算能力，也能帮助学生理解代数式在解释数字规律中的作用。
【难度系数】
0.7
【拓展探究】(3)任意写一个个位数字不为0，百位数字与个位数字的差为k的三位数M(k为2～8的整数)，按照以下步骤操作：①交换M的百位数字与个位数字，得到三位数N；②用M减去N得到P；在①②操作步骤的基础上，再交换P的百位数字与个位数字得到三位数Q，最后计算P与Q的和，记为G。G的值是否变化？若不变，请直接写出G的值并举一例验证；若变化，请说明理由。
答案
(3)不变。设M=100a+10b+c，且a-c=k，c≠0，
所以N=100c+10b+a。
所以P=M-N=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)=99k=100k-k=100(k-1)+90+(10-k)。
所以Q=100(10-k)+90+(k-1)=1 089-99k。
所以G=P+Q=99k+(1 089-99k)=1 089。
举例：M=745，则N=547，所以P=198，则Q=891，所以G=P+Q=198+891=1 089。
所以N=100c+10b+a。
所以P=M-N=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)=99k=100k-k=100(k-1)+90+(10-k)。
所以Q=100(10-k)+90+(k-1)=1 089-99k。
所以G=P+Q=99k+(1 089-99k)=1 089。
举例：M=745，则N=547，所以P=198，则Q=891，所以G=P+Q=198+891=1 089。
解析
【分析】
要解决该问题，我们可以通过用字母表示三位数各数位上的数字，将数字变换过程转化为整式运算，判断最终结果是否随变量变化。解题思路为：首先设出三位数M的百位、十位、个位数字，结合已知条件用代数式表示M；再按照题目给定的操作步骤依次写出N、P、Q的代数式；最后计算P与Q的和，若结果不含变量则说明G的值不变，最后举例验证即可。
【解析】
解：G的值不变，推导如下：
设三位数M的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，由题意得$a-c=k$，且$c≠0$。
则$M=100a+10b+c$。
①交换M的百位数字与个位数字，得到$N=100c+10b+a$。
②计算$P=M-N$：
$\begin{aligned}P&=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\&=99a-99c\\&=99(a-c)=99k\end{aligned}$
将$99k$拆分为三位数形式：$99k=100(k-1)+90+(10-k)$（$k$为2~8的整数，$k-1$、$10-k$均为一位数，符合数位要求）。
交换P的百位数字与个位数字得到Q，则$Q=100(10-k)+90+(k-1)=1089-99k$。
计算$G=P+Q$：
$G=99k+(1089-99k)=1089$
举例验证：取$M=745$，交换百位和个位得$N=547$，$P=745-547=198$，交换P的百位和个位得$Q=891$，$G=198+891=1089$，与推导结果一致。
【答案】
G的值不变，$G=1089$。举例：如$M=745$，计算可得$G=1089$（举例合理即可）。
【知识点】
代数式表示多位数；整式的加减运算；数字规律探究
【点评】
本题属于数字规律探究类题型，核心是将数位变换转化为整式运算，通过消去变量得到固定结果，既考查了代数式的实际应用能力，也锻炼了逻辑推导和规律验证的思维。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，我们可以通过用字母表示三位数各数位上的数字，将数字变换过程转化为整式运算，判断最终结果是否随变量变化。解题思路为：首先设出三位数M的百位、十位、个位数字，结合已知条件用代数式表示M；再按照题目给定的操作步骤依次写出N、P、Q的代数式；最后计算P与Q的和，若结果不含变量则说明G的值不变，最后举例验证即可。
【解析】
解：G的值不变，推导如下：
设三位数M的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，由题意得$a-c=k$，且$c≠0$。
则$M=100a+10b+c$。
①交换M的百位数字与个位数字，得到$N=100c+10b+a$。
②计算$P=M-N$：
$\begin{aligned}P&=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\&=99a-99c\\&=99(a-c)=99k\end{aligned}$
将$99k$拆分为三位数形式：$99k=100(k-1)+90+(10-k)$（$k$为2~8的整数，$k-1$、$10-k$均为一位数，符合数位要求）。
交换P的百位数字与个位数字得到Q，则$Q=100(10-k)+90+(k-1)=1089-99k$。
计算$G=P+Q$：
$G=99k+(1089-99k)=1089$
举例验证：取$M=745$，交换百位和个位得$N=547$，$P=745-547=198$，交换P的百位和个位得$Q=891$，$G=198+891=1089$，与推导结果一致。
【答案】
G的值不变，$G=1089$。举例：如$M=745$，计算可得$G=1089$（举例合理即可）。
【知识点】
代数式表示多位数；整式的加减运算；数字规律探究
【点评】
本题属于数字规律探究类题型，核心是将数位变换转化为整式运算，通过消去变量得到固定结果，既考查了代数式的实际应用能力，也锻炼了逻辑推导和规律验证的思维。
【难度系数】
0.6
