例 如图，在$△ ABC$和$△ DBC$中，$∠ ACB=∠ DBC=90°$，$E$是$BC$的中点，$DE⊥ AB$于点$F$，且$AC=EB$。
(1)$△ ACB$与$△ EBD$是否全等？为什么？
(2)若$DB=12$，求$AC$的长。

归纳总结
如果两个三角形有两组角对应相等，要说明两个三角形全等，应再找一组对应边相等，根据“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等。

(1)全等。理由如下：
因为$∠ ACB=90°$，$DE⊥ AB$，
所以$∠ DEB + ∠ ABC = 90°$，$∠ A + ∠ ABC =90°$。
所以$∠ DEB=∠ A$。
在$△ ACB$ 和$△ EBD$ 中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ EBD,\\AC=EB,\\∠ A=∠ DEB,\end{cases}$
所以$△ ACB≌△ EBD(\mathrm{ASA})$。
(2)$AC=6$。

【分析】
(1) 要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：已知∠ACB=∠DBC=90°，AC=EB，还需要一组对应相等的角或边即可判定全等。由DE⊥AB可得∠ABC+∠DEB=90°，结合Rt△ACB中∠A+∠ABC=90°，根据同角的余角相等可推出∠A=∠DEB，此时满足角边角的判定条件，即可证明两三角形全等。
(2) 求AC的长，可借助全等三角形的对应边相等，先得到BC=DB，再结合E是BC中点，推出AC=EB=½BC=½DB，代入数值计算即可。
【解析】
(1) △ACB与△EBD全等，理由如下：
∵ ∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴ ∠DEB + ∠ABC = 90°，∠A + ∠ABC =90°，
∴ ∠DEB=∠A（同角的余角相等）。
在△ACB 和△EBD 中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ EBD=90°,\\AC=EB,\\∠ A=∠ DEB,\end{cases}$
∴ △ACB≌△EBD（ASA）。
(2) 由(1)中△ACB≌△EBD，得BC=DB，
∵ DB=12，
∴ BC=12，
又
∵ E是BC的中点，
∴ EB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵ 已知AC=EB，
∴ AC=6。
【答案】
(1) 全等，理由见上述解析；
(2) $AC=6$
【知识点】
同角的余角相等，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题的关键是利用垂直关系推导相等的角，找到全等的判定条件，再结合边的数量关系求解，有助于巩固全等相关的基础知识点。
【难度系数】
0.7

小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千。如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她。若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.4 m和1.8 m，$∠ BOC =90°$，则爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）


A.1 m
B.1.6 m
C.1.8 m
D.1.4 m

D

【分析】
解题时首先结合图形和已知条件分析：OB、OC均为秋千的绳索，长度相等；BD、CE都垂直于OA，可得两个直角；由∠BOC=90°，可通过同角的余角相等得到一组角相等，进而可证明△OBD和△COE全等。再利用全等三角形对应边相等的性质，得到相关线段的长度，最后结合B点距离地面的高度，就能算出C点距离地面的高度。
【解析】
解：由题意可知，OB=OC，∠BDO=∠CEO=90°，∠BOC=90°。
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD + ∠COE = 90°，
又
∵在Rt△OBD中，∠BOD + ∠OBD = 90°，
∴∠OBD = ∠COE。
在△OBD和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠BDO=∠CEO \\∠OBD=∠COE \\OB=OC\end{array} $
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴BD=OE=1.4m，CE=OD=1.8m。
∵B处距地面高度为1m，即AD=1m，
∴OA=OD + AD = 1.8 + 1 = 2.8m，
∴C处距地面的高度为AE = OA - OE = 2.8 - 1.4 = 1.4m。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题结合生活中荡秋千的场景考查全等三角形的实际应用，解题的关键是从实际场景中抽象出几何图形，通过证明三角形全等得到对应边的等量关系，进而求解未知线段长度，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

任务三
角边”判定定理和性质
阅读材料，完成下列探究。
如图，$BD=BC$，$BE=CA$，$∠ DBE=∠ C=62°$，$∠ BDE=75°$。

探究1：$△ BDE$与$△ CBA$全等吗？为什么？
探究2：$∠ AFD$的度数等于多少？

探究1 解：$△ BDE≌△ CBA$。理由如下：
在$△ BDE$ 和$△ CBA$ 中，
$\begin{cases}BD=CB,\\∠ DBE=∠ C,\\BE=CA,\end{cases}$
所以$△ BDE≌△ CBA(\mathrm{SAS})$。
探究2 解：因为$△ BDE≌△ CBA$，
所以$∠ BDE=∠ CBA=75°$。
所以$∠ ADF=180°-75°=105°$。
因为$∠ C=62°$，
所以$∠ A=180°-75°-62°=43°$。
所以$∠ AFD=180°-∠ ADF-∠ A=180°-105°-43°=32°$。

【分析】
探究1思路：
要判断两个三角形是否全等，先梳理已知条件：题目给出两组边相等$BD=BC$、$BE=CA$，同时给出一组角相等$∠DBE=∠C$，观察可知这组相等的角恰好是两组相等边的夹角，完全符合全等三角形的SAS判定条件，因此可直接证明两三角形全等。
探究2思路：
要求$∠AFD$的度数，首先利用探究1的全等结论，根据全等三角形对应角相等的性质，得到$∠BDE=∠CBA$；先在$△ ABC$中用三角形内角和定理算出$∠A$的度数，再结合邻补角和为$180°$算出$∠ADF$的度数，最后在$△ ADF$中再次用三角形内角和定理即可求出$∠AFD$的度数。
【解析】
探究1：
$△ BDE≌△ CBA$，理由如下：
在$△ BDE$ 和$△ CBA$ 中，
$\begin{cases}BD=CB,\\∠ DBE=∠ C,\\BE=CA,\end{cases}$
所以$△ BDE≌△ CBA(\mathrm{SAS})$。
探究2：
因为$△ BDE≌△ CBA$，
所以$∠ BDE=∠ CBA=75°$，
所以$∠ ADF=180°-75°=105°$。
因为$∠ C=62°$，
所以$∠ A=180°-∠CBA-∠C=180°-75°-62°=43°$，
所以$∠ AFD=180°-∠ ADF-∠ A=180°-105°-43°=32°$。
【答案】
探究1：$△ BDE≌△ CBA$，判定依据为$\mathrm{SAS}$；
探究2：$∠AFD=32°$
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算的基础综合题，解题的关键是先通过已知边、角条件准确判定三角形全等，再借助全等的性质转化角度关系，结合三角形内角和、邻补角的性质逐步推导计算，能较好地锻炼全等判定和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

如图，点B，F，C，E在同一条直线上，FB=CE，AB=DE，∠B=∠E。试说明：
(1)$△ ABC≌△ DEF$；
(2)$AC// DF$。

解：(1)因为$FB=CE$，
所以$FB+FC=CE+FC$。
所以$BC=EF$。
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中，
$\begin{cases}AB=DE,\\∠ B=∠ E,\\BC=EF,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
(2)因为$△ ABC≌△ DEF$，
所以$∠ ACB=∠ DFE$。
所以$AC// DF$。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知AB=DE、∠B=∠E，根据SAS判定定理，还需证明夹边BC=EF。由已知FB=CE，给等式两边同时加上公共线段FC，即可推出BC=EF，满足SAS判定条件即可证得全等。
(2) 要证明AC//DF，根据平行线的判定规则，只需证明AC、DF被BE所截形成的内错角∠ACB=∠DFE。结合(1)的全等结论，利用全等三角形对应角相等的性质即可得到这组角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
(1) 因为$FB=CE$，
所以$FB+FC=CE+FC$，
所以$BC=EF$。
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中，
$\begin{cases}AB=DE,\\∠ B=∠ E,\\BC=EF,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$。
(2) 因为$△ ABC≌△ DEF$，
所以$∠ ACB=∠ DFE$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$AC// DF$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ DEF$，证明见解析；
(2) $AC// DF$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是先通过线段和差转化得到全等判定的缺失条件，再利用全等的性质得到角的等量关系，进而证明直线平行，解题时要注意结合图形梳理线段、角的位置关系。
【难度系数】
0.75