3. 如图，已知$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ AOC=∠ BOD$，$△ AOB$与$△ COD$全等吗？请说明理由。

3. 解：$△ AOB$与$△ COD$全等。理由如下：
因为$∠ AOC=∠ BOD$，
所以$∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$，
即$∠ COD=∠ AOB$。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠ AOB=∠ COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$。

【分析】
要判断△AOB和△COD是否全等，先梳理已知条件：题目给出OA=OC、OB=OD两组对应边相等，结合已学的“边角边”全等判定定理，只需再证明这两组边的夹角∠AOB和∠COD相等即可。已知∠AOC和∠BOD相等，两个角都包含公共角∠AOD，将两个等角同时减去公共角∠AOD，即可推导出∠AOB=∠COD，满足“边角边”的判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
△AOB与△COD全等，理由如下：
$\because ∠ AOC=∠ BOD$
$\therefore ∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$
即$∠ COD=∠ AOB$
在$△ AOB$和$△ COD$中：
$\begin{cases}OA=OC \\∠ AOB=∠ COD \\OB=OD\end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$
【答案】
$△ AOB$与$△ COD$全等，$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，核心考查“边角边”判定定理的应用，解题的关键是利用等角减公共角得到两组对应边的夹角相等，做题时要注意找准对应边和对应的夹角，避免误用非夹角的角参与判定。
【难度系数】
0.8

课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
边角边
“边角边”
两边及其分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“”
易错提醒
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等

夹角 SAS 不一定

【分析】
本题考查三角形全等的“边角边”判定相关基础概念，解题时先回忆“边角边”判定定理的完整内容：首先明确“边角边”中“角”的位置是两条相等边的夹角，不是任意角；再回忆该判定的英文简写规则；最后结合易错点记忆，“两边及其中一边的对角相等”没有对应的全等判定依据，无法保证两个三角形一定全等。
【解析】
1. 第一个空：根据“边角边”判定定理的定义，两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，因此此处填“夹角”；
2. 第二个空：“边角边”的简写采用英文首字母，边（Side）首字母为S，角（Angle）首字母为A，按照边-角-边的顺序，简写为“SAS”；
3. 第三个空：两边分别相等且其中一组等边的对角相等，属于“SSA”的情况，不存在对应的全等判定定理，存在不相等的反例，因此两个三角形不一定全等，此处填“不一定”。
【答案】
夹角；SAS；不一定
【知识点】
边角边判定定理；全等判定易错点
【点评】
本题是全等三角形判定的基础概念题，重点考查对“边角边”判定内容的记忆和对常见误区的区分，只有准确掌握判定定理中“角是两边的夹角”这一核心要求，才能避免混淆出错。
【难度系数】
0.9

任务一
综合运用全等三角形的“边边边”判定定理和性质
阅读材料，完成下列探究。
如图，点B，E，F，C在同一条直线上，A，D为线段BC上方的两点，连接AB，DC，AF，DE，AF与DE交于点O，AB=CD，BE=CF，AF=DE。

探究1：图中哪两个三角形全等？为什么？
探究2：$∠ OEF$与$∠ OFE$相等吗？为什么？
归纳总结
要说明两个角（或两条线段）相等，如果两个角（或两条线段）分属于两个三角形，一般考虑说明两个三角形全等。

探究1 解：$△ DCE≌△ ABF$。理由如下：
因为$BE=CF$，
所以$BE+EF=CF+EF$，即$BF=CE$。
在$△ DCE$ 和$△ ABF$ 中，
$\begin{cases}DC=AB,\\CE=BF,\\DE=AF,\end{cases}$
所以$△ DCE≌△ ABF(\mathrm{SSS})$。
探究2 解：$∠ OEF=∠ OFE$。理由如下：
因为$△ DCE≌△ ABF$，
所以$∠ OEF=∠ OFE$。

【分析】
解决本题可分两步思考：1. 处理探究1时，先观察已知的等边条件，发现BE=CF可通过加上公共线段EF，推导出BF=CE，此时△ABF和△DCE的三组对应边全部相等，结合“边边边”判定定理即可证明两个三角形全等；2. 处理探究2时，要判断两个角是否相等，可观察到两个角是探究1中全等三角形的对应角，直接利用全等三角形对应角相等的性质即可得出结论。
【解析】
探究1
$△ DCE≌△ ABF$，理由如下：
$\because BE=CF$
$\therefore BE+EF=CF+EF$，即$BF=CE$
在$△ DCE$和$△ ABF$中：
$\begin{cases}DC=AB\\CE=BF\\DE=AF\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ ABF(\mathrm{SSS})$
探究2
$∠ OEF=∠ OFE$，理由如下：
$\because △ DCE≌△ ABF$
$\therefore ∠ DEC=∠ AFB$，即$∠ OEF=∠ OFE$
【答案】
探究1：$△ DCE≌△ ABF$，理由见解析；
探究2：$∠ OEF$与$∠ OFE$相等，理由见解析。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合题，解题核心是通过线段和差构造全等所需的等边条件，再依据判定定理和性质逐步推导结论，是夯实全等相关基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8

如图，在$△ ACD$和$△ BCE$中，$CA = CB$，$AD = BE$，$CD = CE$，$∠ ACE = 50°$，$∠ BCD = 150°$，$AD$与$BE$相交于点$P$，求$∠ BPD$的度数。

解：在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BE,\\CD=CE,\end{cases}$
所以$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SSS})$。
所以$∠ ACD=∠ BCE$，$∠ A=∠ B$。
所以$∠ BCA+∠ ACE=∠ ACE+∠ ECD$。
所以$∠ ACB=∠ ECD=\dfrac{1}{2}(∠ BCD-∠ ACE)$。
因为$∠ ACE=50°$，$∠ BCD=150°$，
所以$∠ ACB=\dfrac{1}{2}×(150°-50°)=50°$。
因为$∠ B+∠ ACB=∠ A+∠ APB$，
所以$∠ APB=∠ ACB=50°$。
所以$∠ BPD=180°-50°=130°$。

【分析】
解题时首先从已知的三组边相等的条件入手，先利用SSS判定定理证明△ACD和△BCE全等，得到对应角相等的结论；再通过角的和差关系推导得出∠ACB=∠ECD，结合已知的∠ACE、∠BCD的度数，计算出∠ACB的度数；之后利用角的等量关系得出∠APB=∠ACB；最后根据∠APB和∠BPD互为邻补角，和为180°，即可求出∠BPD的度数。
【解析】
在$△ ACD$ 和$△ BCE$ 中，
$\begin{cases}AC=BC,\\AD=BE,\\CD=CE,\end{cases}$
所以$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SSS})$。
所以$∠ ACD=∠ BCE$，$∠ A=∠ B$。
所以$∠ BCA+∠ ACE=∠ ACE+∠ ECD$，
化简得$∠ ACB=∠ ECD$，因此$∠ ACB=\dfrac{1}{2}(∠ BCD-∠ ACE)$。
因为$∠ ACE=50°$，$∠ BCD=150°$，
代入得$∠ ACB=\dfrac{1}{2}×(150°-50°)=50°$。
因为$∠ B+∠ ACB=∠ A+∠ APB$，且$∠ A=∠ B$，
所以$∠ APB=∠ ACB=50°$。
所以$∠ BPD=180°-∠APB=180°-50°=130°$。
【答案】
$130°$
【知识点】
SSS判定全等三角形、全等三角形的性质、邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质综合应用的典型题型，解题核心是先通过边的条件证明全等得到对应角相等，再结合角的和差关系、邻补角性质推导所求角度，能够较好地考查学生的逻辑推理能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.7