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1. (★)填空:
(1)$(-a^2) · a^3 =$ ;
(2)$(a^3)^2 · (a^4)^3 =$ ;
(3)$(ab^3)^2 =$ ;
(4)$2^3 ÷ 2^5 =$ ;
(5)$a^5 ÷ a^2 =$ , $a^2 ÷ a^5 =$ .
(1)$(-a^2) · a^3 =$ ;
(2)$(a^3)^2 · (a^4)^3 =$ ;
(3)$(ab^3)^2 =$ ;
(4)$2^3 ÷ 2^5 =$ ;
(5)$a^5 ÷ a^2 =$ , $a^2 ÷ a^5 =$ .
答案
解：
(1) $(-a^2) · a^3 = -a^{2+3} = \boldsymbol{-a^5}$
(2) $(a^3)^2 · (a^4)^3 = a^{6} · a^{12} = a^{6+12} = \boldsymbol{a^{18}}$
(3) $(ab^3)^2 = a^2 · (b^3)^2 = \boldsymbol{a^2b^6}$
(4) $2^3 ÷ 2^5 = 2^{3-5} = 2^{-2} = \boldsymbol{\frac{1}{4}}$
(5) $a^5 ÷ a^2 = a^{5-2} = \boldsymbol{a^3}$，$a^2 ÷ a^5 = a^{2-5} = a^{-3} = \boldsymbol{\frac{1}{a^3}}$
(1) $(-a^2) · a^3 = -a^{2+3} = \boldsymbol{-a^5}$
(2) $(a^3)^2 · (a^4)^3 = a^{6} · a^{12} = a^{6+12} = \boldsymbol{a^{18}}$
(3) $(ab^3)^2 = a^2 · (b^3)^2 = \boldsymbol{a^2b^6}$
(4) $2^3 ÷ 2^5 = 2^{3-5} = 2^{-2} = \boldsymbol{\frac{1}{4}}$
(5) $a^5 ÷ a^2 = a^{5-2} = \boldsymbol{a^3}$，$a^2 ÷ a^5 = a^{2-5} = a^{-3} = \boldsymbol{\frac{1}{a^3}}$
2. (★) 一般地,当n是正整数时,$a^{-n} = \_\_\_\_\_\_$ (a≠0);$a^0 = \_\_\_\_\_\_$ (a≠0).
答案
解：$\dfrac{1}{a^n}$；$1$
3. (★)整数指数幂的运算性质可以归纳如下:当m,n为整数时,
(1) $a^m · a^n = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$;
(3) $(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$.
(1) $a^m · a^n = \_\_\_\_\_\_$;
(2) $(a^m)^n = \_\_\_\_\_\_$;
(3) $(ab)^n = \_\_\_\_\_\_$.
答案
解：
(1) $a^{m+n}$
(2) $a^{mn}$
(3) $a^n b^n$
(1) $a^{m+n}$
(2) $a^{mn}$
(3) $a^n b^n$
4. (★)计算$2026^{-1}$的结果是 【 】
A.2 026
B.-2 026
C.$\frac{1}{2026}$
D.$-\frac{1}{2026}$
A.2 026
B.-2 026
C.$\frac{1}{2026}$
D.$-\frac{1}{2026}$
答案
C
解析
根据负整数指数幂的运算法则：对于不为0的数a，有$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（p为正整数），代入a=2026，p=1，可得$2026^{-1}=\frac{1}{2026}$。
5. (★)若$a=-3^{-2}, b=(-\frac{1}{3})^{-2}, c=(-\frac{1}{5})^0$，
则$a,b,c$的大小关系为 【 】
A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜a＜b$
则$a,b,c$的大小关系为 【 】
A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜a＜b$
答案
B
解析
根据整数指数幂的运算法则分别计算a、b、c的值：
1. 计算a：$a=-3^{-2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$
2. 计算b：$b=(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=9$
3. 计算c：根据零指数幂法则，非零数的0次幂等于1，得$c=(-\frac{1}{5})^0=1$
比较大小：$-\frac{1}{9}＜1＜9$，即$a＜c＜b$
1. 计算a：$a=-3^{-2}=-\frac{1}{3^2}=-\frac{1}{9}$
2. 计算b：$b=(-\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}=9$
3. 计算c：根据零指数幂法则，非零数的0次幂等于1，得$c=(-\frac{1}{5})^0=1$
比较大小：$-\frac{1}{9}＜1＜9$，即$a＜c＜b$
6. (★)已知点$P(3,2m-3)$关于x轴的对称点$P_1$的坐标是$(n-2,-1)$，则$(-n)^{-m}=$.
答案
解：
∵ 点$P(3,2m-3)$关于$x$轴的对称点为$P_1(n-2,-1)$，
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}n-2=3 \\-(2m-3) = -1\end{cases}$
解得：$n=5$，$m=2$。
将$m=2$，$n=5$代入$(-n)^{-m}$：
$(-n)^{-m}=(-5)^{-2}=\frac{1}{(-5)^2}=\frac{1}{25}$
$\frac{1}{25}$
∵ 点$P(3,2m-3)$关于$x$轴的对称点为$P_1(n-2,-1)$，
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}n-2=3 \\-(2m-3) = -1\end{cases}$
解得：$n=5$，$m=2$。
将$m=2$，$n=5$代入$(-n)^{-m}$：
$(-n)^{-m}=(-5)^{-2}=\frac{1}{(-5)^2}=\frac{1}{25}$
$\frac{1}{25}$
7. (★)下列各式正确的是 【 】
A.$(x^{-1}y^{2})^{3}=x^{3}y^{6}$
B.$( \dfrac{x^{3}}{y^{2}} )^{-2}=\dfrac{y^{4}}{x^{5}}$
C.$\dfrac{1}{a-b}=a^{-1}-b^{-1}$
D.$( \dfrac{b}{a} )^{-n}=( \dfrac{a}{b} )^{n}(a≠0,b≠0,n为正整数)$
A.$(x^{-1}y^{2})^{3}=x^{3}y^{6}$
B.$( \dfrac{x^{3}}{y^{2}} )^{-2}=\dfrac{y^{4}}{x^{5}}$
C.$\dfrac{1}{a-b}=a^{-1}-b^{-1}$
D.$( \dfrac{b}{a} )^{-n}=( \dfrac{a}{b} )^{n}(a≠0,b≠0,n为正整数)$
答案
D
解析
分别计算各选项验证：
1. 选项A：根据幂的乘方法则，$(x^{-1}y^2)^3=x^{-3}y^6=\frac{y^6}{x^3}$，不等于$x^3y^6$，A错误。
2. 选项B：$(\frac{x^3}{y^2})^{-2}=\frac{(x^3)^{-2}}{(y^2)^{-2}}=\frac{x^{-6}}{y^{-4}}=\frac{y^4}{x^6}$，不等于$\frac{y^4}{x^5}$，B错误。
3. 选项C：$a^{-1}-b^{-1}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，不等于$\frac{1}{a-b}$，C错误。
4. 选项D：当$a≠0,b≠0,n$为正整数时，$(\frac{b}{a})^{-n}=\frac{b^{-n}}{a^{-n}}=\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n$，等式成立，D正确。
1. 选项A：根据幂的乘方法则，$(x^{-1}y^2)^3=x^{-3}y^6=\frac{y^6}{x^3}$，不等于$x^3y^6$，A错误。
2. 选项B：$(\frac{x^3}{y^2})^{-2}=\frac{(x^3)^{-2}}{(y^2)^{-2}}=\frac{x^{-6}}{y^{-4}}=\frac{y^4}{x^6}$，不等于$\frac{y^4}{x^5}$，B错误。
3. 选项C：$a^{-1}-b^{-1}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$，不等于$\frac{1}{a-b}$，C错误。
4. 选项D：当$a≠0,b≠0,n$为正整数时，$(\frac{b}{a})^{-n}=\frac{b^{-n}}{a^{-n}}=\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n$，等式成立，D正确。
8. (★★)已知$a^m = 3$，$a^n = 2$，则$a^{-m}a^{-n} = $
答案
$\frac{1}{6}$
解析
解：
根据负整数指数幂的性质，得
$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
将$a^m=3$，$a^n=2$代入，得
$a^{-m}a^{-n}=\frac{1}{a^m} · \frac{1}{a^n} = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
根据负整数指数幂的性质，得
$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
将$a^m=3$，$a^n=2$代入，得
$a^{-m}a^{-n}=\frac{1}{a^m} · \frac{1}{a^n} = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
9. (★★)计算:
(1) $5m^{-3}n^{2} · 3m^{5}n^{-5}$；
(2) $x^{4}y · (x^{-2}y)^{-3} ÷ ( \dfrac{1}{y} )^{2}$；
(3) $(m^{3}n)^{-2} · (2m^{-2}n^{-3})^{-2}$。
(1) $5m^{-3}n^{2} · 3m^{5}n^{-5}$；
(2) $x^{4}y · (x^{-2}y)^{-3} ÷ ( \dfrac{1}{y} )^{2}$；
(3) $(m^{3}n)^{-2} · (2m^{-2}n^{-3})^{-2}$。
答案
解：
(1) 原式$ = (5×3) · m^{-3+5} · n^{2+(-5)}$
$= 15m^2n^{-3}$
$= \dfrac{15m^2}{n^3}$
(2) 原式$ = x^4y · x^{(-2)×(-3)}y^{1×(-3)} ÷ \dfrac{1}{y^2}$
$= x^4y · x^6y^{-3} · y^2$
$= x^{4+6}y^{1-3+2}$
$= x^{10}y^0$
$= x^{10}$
(3) 原式$ = m^{3×(-2)}n^{1×(-2)} · 2^{-2}m^{(-2)×(-2)}n^{(-3)×(-2)}$
$= m^{-6}n^{-2} · \dfrac{1}{4}m^4n^6$
$= \dfrac{1}{4}m^{-6+4}n^{-2+6}$
$= \dfrac{1}{4}m^{-2}n^4$
$= \dfrac{n^4}{4m^2}$
(1) 原式$ = (5×3) · m^{-3+5} · n^{2+(-5)}$
$= 15m^2n^{-3}$
$= \dfrac{15m^2}{n^3}$
(2) 原式$ = x^4y · x^{(-2)×(-3)}y^{1×(-3)} ÷ \dfrac{1}{y^2}$
$= x^4y · x^6y^{-3} · y^2$
$= x^{4+6}y^{1-3+2}$
$= x^{10}y^0$
$= x^{10}$
(3) 原式$ = m^{3×(-2)}n^{1×(-2)} · 2^{-2}m^{(-2)×(-2)}n^{(-3)×(-2)}$
$= m^{-6}n^{-2} · \dfrac{1}{4}m^4n^6$
$= \dfrac{1}{4}m^{-6+4}n^{-2+6}$
$= \dfrac{1}{4}m^{-2}n^4$
$= \dfrac{n^4}{4m^2}$
