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10. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$(-2)^{-3}=6$
B.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=4$
C.$(\dfrac{1}{5})^{-1}=-5$
D.$5.6×10^{2}=56$
A.$(-2)^{-3}=6$
B.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=4$
C.$(\dfrac{1}{5})^{-1}=-5$
D.$5.6×10^{2}=56$
答案
B
解析
【分析】
本题主要考查负整数指数幂的运算及科学记数法的还原，解题思路为：先回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及科学记数法还原为普通数字的方法，再逐一计算四个选项的结果，对比选项给出的结论判断正误，最终选出正确选项。
【解析】
根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及科学记数法的还原规则，逐一计算：
A选项：$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}≠6$，故A错误；
B选项：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，故B正确；
C选项：$(\frac{1}{5})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{5})^1}=5≠-5$，故C错误；
D选项：$5.6×10^2=5.6×100=560≠56$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算；科学记数法还原；有理数乘方
【点评】
本题属于基础概念应用型题目，核心是对负整数指数幂运算法则的掌握，计算时要注意负底数乘方的符号问题，避免因符号判断失误或者计算粗心出错。
【难度系数】
0.9
本题主要考查负整数指数幂的运算及科学记数法的还原，解题思路为：先回忆负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及科学记数法还原为普通数字的方法，再逐一计算四个选项的结果，对比选项给出的结论判断正误，最终选出正确选项。
【解析】
根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及科学记数法的还原规则，逐一计算：
A选项：$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}≠6$，故A错误；
B选项：$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，故B正确；
C选项：$(\frac{1}{5})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{5})^1}=5≠-5$，故C错误；
D选项：$5.6×10^2=5.6×100=560≠56$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算；科学记数法还原；有理数乘方
【点评】
本题属于基础概念应用型题目，核心是对负整数指数幂运算法则的掌握，计算时要注意负底数乘方的符号问题，避免因符号判断失误或者计算粗心出错。
【难度系数】
0.9
11. (★) 若$(x+1)^{-1}$无意义，则$x^{-2}=$
答案
解：
根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，当底数$a=0$时该式无意义。
因为$(x+1)^{-1}$无意义，所以$x+1=0$，
解得$x=-1$。
所以$x^{-2}=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$。
根据负整数指数幂的定义，$a^{-1}=\frac{1}{a}$，当底数$a=0$时该式无意义。
因为$(x+1)^{-1}$无意义，所以$x+1=0$，
解得$x=-1$。
所以$x^{-2}=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$。
解析
【分析】
解题时首先要明确负整数指数幂无意义的条件：对于$a^{-p}$（$p$为正整数），当底数$a=0$时，对应分式的分母为0，该式无意义。因此第一步先根据$(x+1)^{-1}$无意义列方程求出$x$的值，第二步将$x$代入$x^{-2}$，按照负整数指数幂的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），当底数$a=0$时，分式分母为0，该式无意义。
已知$(x+1)^{-1}$无意义，因此底数$x+1=0$，
解得$x=-1$。
将$x=-1$代入$x^{-2}$计算：
$x^{-2}=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
负整数指数幂的定义，幂的运算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握负整数指数幂中底数不为0的限制条件，计算负指数幂时注意先转化为正指数幂的倒数再运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确负整数指数幂无意义的条件：对于$a^{-p}$（$p$为正整数），当底数$a=0$时，对应分式的分母为0，该式无意义。因此第一步先根据$(x+1)^{-1}$无意义列方程求出$x$的值，第二步将$x$代入$x^{-2}$，按照负整数指数幂的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），当底数$a=0$时，分式分母为0，该式无意义。
已知$(x+1)^{-1}$无意义，因此底数$x+1=0$，
解得$x=-1$。
将$x=-1$代入$x^{-2}$计算：
$x^{-2}=(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
负整数指数幂的定义，幂的运算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握负整数指数幂中底数不为0的限制条件，计算负指数幂时注意先转化为正指数幂的倒数再运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.85
12. (★★)计算：
$(-\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^2 × 7^0 - (\dfrac{1}{3})^{-1}$
$(-\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^2 × 7^0 - (\dfrac{1}{3})^{-1}$
答案
解：
根据整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及任意非零数的零次幂等于1，分别计算各项：
$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = 4$
$(-1)^2 = 1$，$7^0 = 1$
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4 + 1×1 - 3\\&=4+1-3\\&=2\end{aligned}$
根据整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），以及任意非零数的零次幂等于1，分别计算各项：
$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = 4$
$(-1)^2 = 1$，$7^0 = 1$
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4 + 1×1 - 3\\&=4+1-3\\&=2\end{aligned}$
解析
【分析】
本题是整数指数幂的混合运算题，解题思路如下：首先回忆三类运算法则：①负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂法则：任意非零数的零次幂等于1；③有理数乘方及混合运算顺序。解题时先分别化简原式中的每一项，再按照先算乘法、后算加减的顺序计算最终结果即可。
【解析】
根据整数指数幂的运算法则分别计算各项：
1. 计算$(-\frac{1}{2})^{-2}$：由负整数指数幂法则得$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = 4$；
2. 计算$(-1)^2 × 7^0$：$(-1)^2=1$，由零指数幂法则得$7^0=1$，因此该项结果为$1×1=1$；
3. 计算$(\frac{1}{3})^{-1}$：由负整数指数幂法则得$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{3}}=3$。
将各项结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4 + 1×1 - 3\\&=4+1-3\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数混合运算
【点评】
本题是指数幂运算的基础题型，主要考查对负整数指数幂、零指数幂运算法则的掌握，计算时需注意运算顺序和负指数幂化简时的符号，熟练掌握基础法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题是整数指数幂的混合运算题，解题思路如下：首先回忆三类运算法则：①负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）；②零指数幂法则：任意非零数的零次幂等于1；③有理数乘方及混合运算顺序。解题时先分别化简原式中的每一项，再按照先算乘法、后算加减的顺序计算最终结果即可。
【解析】
根据整数指数幂的运算法则分别计算各项：
1. 计算$(-\frac{1}{2})^{-2}$：由负整数指数幂法则得$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = 4$；
2. 计算$(-1)^2 × 7^0$：$(-1)^2=1$，由零指数幂法则得$7^0=1$，因此该项结果为$1×1=1$；
3. 计算$(\frac{1}{3})^{-1}$：由负整数指数幂法则得$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{3}}=3$。
将各项结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4 + 1×1 - 3\\&=4+1-3\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，有理数混合运算
【点评】
本题是指数幂运算的基础题型，主要考查对负整数指数幂、零指数幂运算法则的掌握，计算时需注意运算顺序和负指数幂化简时的符号，熟练掌握基础法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
13. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$ a^6b ÷ a^{-2} = \frac{b}{a^3} $
B.$ (2a - b)^2 = 4a^2 - b^2 $
C.$ (-2ab^2)^3 = -6a^3b^6 $
D.$ a^{-6}b^4 ÷ (-a^{-5}b^4) = -\frac{1}{a} $
A.$ a^6b ÷ a^{-2} = \frac{b}{a^3} $
B.$ (2a - b)^2 = 4a^2 - b^2 $
C.$ (-2ab^2)^3 = -6a^3b^6 $
D.$ a^{-6}b^4 ÷ (-a^{-5}b^4) = -\frac{1}{a} $
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应的运算法则：分别运用同底数幂的除法法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法则、整数指数幂的除法法则计算各选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），可得$a^6b÷ a^{-2}=a^{6-(-2)}b=a^8b$，与选项中的$\frac{b}{a^3}$不符，故A错误。
选项B：根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，可得$(2a-b)^2=(2a)^2-2×2a× b + b^2=4a^2-4ab+b^2$，与选项中的$4a^2-b^2$不符，故B错误。
选项C：根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得$(-2ab^2)^3=(-2)^3· a^3· (b^2)^3=-8a^3b^6$，与选项中的$-6a^3b^6$不符，故C错误。
选项D：根据同底数幂的除法法则，可得$a^{-6}b^4÷ (-a^{-5}b^4)=[1÷(-1)]· a^{-6-(-5)}· b^{4-4}=-a^{-1}· b^0=-\frac{1}{a}$（运算默认底数不为0，有意义），与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
整数指数幂运算，完全平方公式，积的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查各类整式运算法则的掌握程度，学习中要准确区分不同运算的公式规则，避免混淆完全平方公式与平方差公式、积的乘方的系数计算等常见易错点。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应的运算法则：分别运用同底数幂的除法法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法则、整数指数幂的除法法则计算各选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$），可得$a^6b÷ a^{-2}=a^{6-(-2)}b=a^8b$，与选项中的$\frac{b}{a^3}$不符，故A错误。
选项B：根据完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，可得$(2a-b)^2=(2a)^2-2×2a× b + b^2=4a^2-4ab+b^2$，与选项中的$4a^2-b^2$不符，故B错误。
选项C：根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得$(-2ab^2)^3=(-2)^3· a^3· (b^2)^3=-8a^3b^6$，与选项中的$-6a^3b^6$不符，故C错误。
选项D：根据同底数幂的除法法则，可得$a^{-6}b^4÷ (-a^{-5}b^4)=[1÷(-1)]· a^{-6-(-5)}· b^{4-4}=-a^{-1}· b^0=-\frac{1}{a}$（运算默认底数不为0，有意义），与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
整数指数幂运算，完全平方公式，积的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查各类整式运算法则的掌握程度，学习中要准确区分不同运算的公式规则，避免混淆完全平方公式与平方差公式、积的乘方的系数计算等常见易错点。
【难度系数】
0.8
14. (★★)计算：
(1)$(-2x^3)^2 · (-x^2) ÷ [(-x)^2]^3$；
(2)$(-2^{-1}mn^{-2})^{-2} · (m^2n)^{-3} ÷ 2m^{-2}$；
(3)$\dfrac{x^{-2}y^{-3} · (-2x^{-3}y^{-1})^{-2}}{2^{-1}x^2y^{-3}}$。
(1)$(-2x^3)^2 · (-x^2) ÷ [(-x)^2]^3$；
(2)$(-2^{-1}mn^{-2})^{-2} · (m^2n)^{-3} ÷ 2m^{-2}$；
(3)$\dfrac{x^{-2}y^{-3} · (-2x^{-3}y^{-1})^{-2}}{2^{-1}x^2y^{-3}}$。
答案
解：
(1) 原式$=4x^6 · (-x^2) ÷ x^6$
$=-4x^8 ÷ x^6$
$=-4x^2$
(2) 原式$=(-2^{-1})^{-2}m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-8}n ÷ 2m^{-2}$
$=2m^{-6}n$
$=\dfrac{2n}{m^6}$
(3) 原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · \dfrac{1}{4}x^{6}y^{2}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^{4}y^{-1}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
(1) 原式$=4x^6 · (-x^2) ÷ x^6$
$=-4x^8 ÷ x^6$
$=-4x^2$
(2) 原式$=(-2^{-1})^{-2}m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-8}n ÷ 2m^{-2}$
$=2m^{-6}n$
$=\dfrac{2n}{m^6}$
(3) 原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · \dfrac{1}{4}x^{6}y^{2}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^{4}y^{-1}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
解析
【分析】
这三道题均为整数指数幂的运算题，解题时遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：第一步先处理乘方运算，运用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）、积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），注意区分负系数、负指数的符号变化；第二步处理乘除运算，运用同底数幂的乘除法则（同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减），最终可将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式。
【解析】
(1) 原式$=4x^6 · (-x^2) ÷ x^6$
$=-4x^8 ÷ x^6$
$=-4x^2$
(2) 原式$=(-2^{-1})^{-2}m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-8}n ÷ 2m^{-2}$
$=2m^{-6}n$
$=\dfrac{2n}{m^6}$
(3) 原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · \dfrac{1}{4}x^{6}y^{2}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^{4}y^{-1}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
【答案】
(1) $-4x^2$；(2) $\dfrac{2n}{m^6}$；(3) $\dfrac{1}{2}x^2y^2$
【知识点】
整数指数幂运算；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘除法
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，核心考查整数指数幂相关运算法则的应用，运算过程中需要注意系数符号、指数符号的变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
这三道题均为整数指数幂的运算题，解题时遵循“先算乘方，再算乘除”的运算顺序：第一步先处理乘方运算，运用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）、积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），注意区分负系数、负指数的符号变化；第二步处理乘除运算，运用同底数幂的乘除法则（同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减），最终可将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式。
【解析】
(1) 原式$=4x^6 · (-x^2) ÷ x^6$
$=-4x^8 ÷ x^6$
$=-4x^2$
(2) 原式$=(-2^{-1})^{-2}m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-2}n^{4} · m^{-6}n^{-3} ÷ 2m^{-2}$
$=4m^{-8}n ÷ 2m^{-2}$
$=2m^{-6}n$
$=\dfrac{2n}{m^6}$
(3) 原式$=\dfrac{x^{-2}y^{-3} · \dfrac{1}{4}x^{6}y^{2}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^{4}y^{-1}}{\dfrac{1}{2}x^{2}y^{-3}}$
$=\dfrac{1}{2}x^{2}y^{2}$
【答案】
(1) $-4x^2$；(2) $\dfrac{2n}{m^6}$；(3) $\dfrac{1}{2}x^2y^2$
【知识点】
整数指数幂运算；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘除法
【点评】
本题是幂运算的常规基础题型，核心考查整数指数幂相关运算法则的应用，运算过程中需要注意系数符号、指数符号的变化，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
15. (★★) 已知 $ a^{-1} - b^{-1} = 3 $，化简：$\frac{3a - ab - 3b}{a - b(1 - a)} = \_\_\_\_\_\_$
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
首先根据负整数指数幂的意义，将已知条件$a^{-1}-b^{-1}=3$转化为分式形式，通分整理得到$a-b$与$ab$的数量关系。再将待化简的分式的分子、分母分别变形，把$a-b$整体替换为含$ab$的式子，最后通过约分得到化简结果，无需单独求出$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：由负整数指数幂的定义，已知条件可变形为：
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3$
对左边通分，得：
$\frac{b - a}{ab} = 3$
整理得：$b - a = 3ab$，即$a - b = -3ab$。
再化简待求分式的分子和分母：
分子：$3a - ab - 3b = 3(a - b) - ab$
分母：$a - b(1 - a) = a - b + ab = (a - b) + ab$
将$a - b = -3ab$代入分子、分母：
分子$= 3×(-3ab) - ab = -9ab - ab = -10ab$
分母$= -3ab + ab = -2ab$
由原式有意义可知$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$，约分可得：
$\frac{-10ab}{-2ab} = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
负整数指数幂的运算，分式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是运用整体代入思想，通过对已知条件变形得到$a-b$和$ab$的关系，直接代入待求式计算，避免了求解单个未知数的复杂运算，考查了学生对代数式变形技巧的掌握情况。
【难度系数】
0.7
首先根据负整数指数幂的意义，将已知条件$a^{-1}-b^{-1}=3$转化为分式形式，通分整理得到$a-b$与$ab$的数量关系。再将待化简的分式的分子、分母分别变形，把$a-b$整体替换为含$ab$的式子，最后通过约分得到化简结果，无需单独求出$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：由负整数指数幂的定义，已知条件可变形为：
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3$
对左边通分，得：
$\frac{b - a}{ab} = 3$
整理得：$b - a = 3ab$，即$a - b = -3ab$。
再化简待求分式的分子和分母：
分子：$3a - ab - 3b = 3(a - b) - ab$
分母：$a - b(1 - a) = a - b + ab = (a - b) + ab$
将$a - b = -3ab$代入分子、分母：
分子$= 3×(-3ab) - ab = -9ab - ab = -10ab$
分母$= -3ab + ab = -2ab$
由原式有意义可知$a≠0$，$b≠0$，即$ab≠0$，约分可得：
$\frac{-10ab}{-2ab} = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
负整数指数幂的运算，分式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是运用整体代入思想，通过对已知条件变形得到$a-b$和$ab$的关系，直接代入待求式计算，避免了求解单个未知数的复杂运算，考查了学生对代数式变形技巧的掌握情况。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)阅读以下材料:
规定两数$a,b$之间的一种运算,记作【$a,b$】:如果$a^c = b$,那么【$a,b$】=$c$.例如,因为$2^3=8$,所以【$2,8$】=$3$.
(1)根据上述规定,填空:【$4, \frac{1}{16}$】=,【$5,1$】=,【, $\frac{1}{125}$】=$-3$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象【$3^n,4^n$】=【$3,4$】,小明给出了如下的证明:
设【$3^n,4^n$】=$x$,则$(3^n)^x=4^n$,即$(3^x)^n=4^n$,所以$3^x=4$,即【$3,4$】=$x$.所以【$3^n,4^n$】=【$3,4$】.请你尝试运用这种方法解决下面的问题.
求证:【$7,5$】+【$7,6$】=【$7,30$】.
规定两数$a,b$之间的一种运算,记作【$a,b$】:如果$a^c = b$,那么【$a,b$】=$c$.例如,因为$2^3=8$,所以【$2,8$】=$3$.
(1)根据上述规定,填空:【$4, \frac{1}{16}$】=,【$5,1$】=,【, $\frac{1}{125}$】=$-3$.
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象【$3^n,4^n$】=【$3,4$】,小明给出了如下的证明:
设【$3^n,4^n$】=$x$,则$(3^n)^x=4^n$,即$(3^x)^n=4^n$,所以$3^x=4$,即【$3,4$】=$x$.所以【$3^n,4^n$】=【$3,4$】.请你尝试运用这种方法解决下面的问题.
求证:【$7,5$】+【$7,6$】=【$7,30$】.
答案
解：
(1) 因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以【$4,\frac{1}{16}$】=$-2$；
因为$5^0=1$，所以【$5,1$】=$0$；
因为$5^{-3}=\frac{1}{125}$，所以【$5,\frac{1}{125}$】=$-3$。
答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 证明：
设【$7,5$】$=x$，【$7,6$】$=y$，
根据运算定义得：$7^x=5$，$7^y=6$，
所以$7^{x+y}=7^x · 7^y = 5 × 6 = 30$，
根据运算定义可知【$7,30$】$=x+y$，
因此【$7,5$】$+$【$7,6$】$=$【$7,30$】。
(1) 因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以【$4,\frac{1}{16}$】=$-2$；
因为$5^0=1$，所以【$5,1$】=$0$；
因为$5^{-3}=\frac{1}{125}$，所以【$5,\frac{1}{125}$】=$-3$。
答案依次为：$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 证明：
设【$7,5$】$=x$，【$7,6$】$=y$，
根据运算定义得：$7^x=5$，$7^y=6$，
所以$7^{x+y}=7^x · 7^y = 5 × 6 = 30$，
根据运算定义可知【$7,30$】$=x+y$，
因此【$7,5$】$+$【$7,6$】$=$【$7,30$】。
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题核心是透彻理解题目给出的运算规则：如果$a^c = b$，那么【$a,b$】=$c$。（1）问可直接依据规则求解：对于【$4,\frac{1}{16}$】，找到指数$c$使$4^c=\frac{1}{16}$；对于【$5,1$】，找到指数$c$使$5^c=1$；第三空找到底数$a$使$a^{-3}=\frac{1}{125}$即可。（2）问可参考材料给出的证明思路，先设【$7,5$】、【$7,6$】的结果分别为$x$、$y$，根据定义转化为指数式，再利用同底数幂的乘法运算性质，结合新定义即可推导出待证等式。
【解析】
(1) 根据题中运算规则：
① 因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以【$4,\frac{1}{16}$】$=-2$；
② 因为$5^0=1$，所以【$5,1$】$=0$；
③ 因为$5^{-3}=\frac{1}{125}$，所以【$5,\frac{1}{125}$】$=-3$，即所填底数为5。
(2) 证明：
设【$7,5$】$=x$，【$7,6$】$=y$，
根据运算定义可得：$7^x=5$，$7^y=6$，
由同底数幂的乘法法则：$7^{x+y}=7^x · 7^y = 5 × 6 = 30$，
根据运算定义可知【$7,30$】$=x+y$，
因此【$7,5$】$+$【$7,6$】$=$【$7,30$】，等式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{5}$
(2) 等式成立，证明如上
【知识点】
新定义运算，整数指数幂运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题通过引入新运算的形式，既考查了对新概念的阅读理解和迁移运用能力，又结合了幂的运算性质的应用，解题时紧扣新运算的定义是突破问题的关键，能较好地考查知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算题型，解题核心是透彻理解题目给出的运算规则：如果$a^c = b$，那么【$a,b$】=$c$。（1）问可直接依据规则求解：对于【$4,\frac{1}{16}$】，找到指数$c$使$4^c=\frac{1}{16}$；对于【$5,1$】，找到指数$c$使$5^c=1$；第三空找到底数$a$使$a^{-3}=\frac{1}{125}$即可。（2）问可参考材料给出的证明思路，先设【$7,5$】、【$7,6$】的结果分别为$x$、$y$，根据定义转化为指数式，再利用同底数幂的乘法运算性质，结合新定义即可推导出待证等式。
【解析】
(1) 根据题中运算规则：
① 因为$4^{-2}=\frac{1}{16}$，所以【$4,\frac{1}{16}$】$=-2$；
② 因为$5^0=1$，所以【$5,1$】$=0$；
③ 因为$5^{-3}=\frac{1}{125}$，所以【$5,\frac{1}{125}$】$=-3$，即所填底数为5。
(2) 证明：
设【$7,5$】$=x$，【$7,6$】$=y$，
根据运算定义可得：$7^x=5$，$7^y=6$，
由同底数幂的乘法法则：$7^{x+y}=7^x · 7^y = 5 × 6 = 30$，
根据运算定义可知【$7,30$】$=x+y$，
因此【$7,5$】$+$【$7,6$】$=$【$7,30$】，等式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{5}$
(2) 等式成立，证明如上
【知识点】
新定义运算，整数指数幂运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题通过引入新运算的形式，既考查了对新概念的阅读理解和迁移运用能力，又结合了幂的运算性质的应用，解题时紧扣新运算的定义是突破问题的关键，能较好地考查知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.7
