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8. 若 $ x $ 满足 $ (9-x)(x-4)=4 $，求 $ (9-x)^2 + (x-4)^2 $ 的值.
解:设 $ 9-x=a, x-4=b $,
则 $ (9-x)(x-4)=ab=4, a+b=(9-x)+(x-4)=5 $,
$ \therefore (9-x)^2 + (x-4)^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 × 4 =17 $.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若 $ x $ 满足 $ (x-2021)^2 + (x-2024)^2 =31 $, 求 $ (x-2021)(x-2024) $ 的值;
(2)如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ x,E,F $ 分别是 $ AD,DC $ 上的点,且 $ AE=1, CF=3 $,长方形 $ EMFD $ 的面积是48,分别以 $ MF,DF $ 为边作正方形 MFRN 和正方形 GFDH,求阴影部分的面积.
解:设 $ 9-x=a, x-4=b $,
则 $ (9-x)(x-4)=ab=4, a+b=(9-x)+(x-4)=5 $,
$ \therefore (9-x)^2 + (x-4)^2 = a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 × 4 =17 $.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若 $ x $ 满足 $ (x-2021)^2 + (x-2024)^2 =31 $, 求 $ (x-2021)(x-2024) $ 的值;
(2)如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ x,E,F $ 分别是 $ AD,DC $ 上的点,且 $ AE=1, CF=3 $,长方形 $ EMFD $ 的面积是48,分别以 $ MF,DF $ 为边作正方形 MFRN 和正方形 GFDH,求阴影部分的面积.
答案
(1)设 $x-2\ 021=a,x-2\ 024=b$,
则 $a^2+b^2=(x-2\ 021)^2+(x-2\ 024)^2=31$,
$a-b=(x-2\ 021)-(x-2\ 024)=3$.
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=3^2$.
∴ $31-2ab=9$.
∴ $ab=11$,
即$(x-2\ 021)(x-2\ 024)=11$.
(2)依题意,得 $DE=x-1,DF=x-3$.
∴ $(x-1)(x-3)=48$.
设 $x-1=a,x-3=b$,
则 $ab=48,a-b=2$.
∴ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=196$.
∵ $a,b$ 均为正数,
∴ $a+b=14$.
∴ $S_{阴影}=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$.
则 $a^2+b^2=(x-2\ 021)^2+(x-2\ 024)^2=31$,
$a-b=(x-2\ 021)-(x-2\ 024)=3$.
∴ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=3^2$.
∴ $31-2ab=9$.
∴ $ab=11$,
即$(x-2\ 021)(x-2\ 024)=11$.
(2)依题意,得 $DE=x-1,DF=x-3$.
∴ $(x-1)(x-3)=48$.
设 $x-1=a,x-3=b$,
则 $ab=48,a-b=2$.
∴ $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=196$.
∵ $a,b$ 均为正数,
∴ $a+b=14$.
∴ $S_{阴影}=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$.
解析
【分析】
（1）第一问可参照题干的换元思路，将两个含x的代数式分别设为a、b，先求出a与b的差值，再结合已知的a²+b²的值，利用完全平方公式的变形关系$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，代入数值即可求出ab即所求的乘积。
（2）第二问首先根据正方形边长和已知线段长度，表示出长方形EMFD的长和宽，由长方形面积得到对应代数式的乘积关系；再通过换元法将两个代数式设为a、b，得到ab和a-b的值，利用完全平方公式求出a+b的值；最后阴影部分为两个正方形的面积差，即$a^2-b^2$，利用平方差公式变形后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 设 $x-2021=a$，$x-2024=b$，
则 $a^2 + b^2 = (x-2021)^2 + (x-2024)^2 = 31$，
$a - b = (x-2021) - (x-2024) = 3$，
∴ $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 3^2$，
∴ $31 - 2ab = 9$，
解得 $ab=11$，
即 $(x-2021)(x-2024)=11$。
(2) 依题意，得 $DE = x - 1$，$DF = x - 3$，
∴ 长方形EMFD的面积为 $(x-1)(x-3)=48$，
设 $x-1=a$，$x-3=b$，
则 $ab=48$，$a - b = (x-1)-(x-3)=2$，
∴ $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 2^2 + 4×48 = 196$，
∵ $a$，$b$ 均为正数，
∴ $a + b = 14$，
∵ 阴影部分面积为正方形MFRN与正方形GFDH的面积差，
∴ $S_{阴影} = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 14×2 = 28$。
【答案】
(1) $\boxed{11}$
(2) $\boxed{28}$
【知识点】
换元法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活运用，通过换元法可简化复杂代数式的运算过程，降低计算出错的概率；第二问需要先结合几何图形的面积关系将几何问题转化为代数问题，再利用公式变形求解，能有效考查学生的知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可参照题干的换元思路，将两个含x的代数式分别设为a、b，先求出a与b的差值，再结合已知的a²+b²的值，利用完全平方公式的变形关系$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，代入数值即可求出ab即所求的乘积。
（2）第二问首先根据正方形边长和已知线段长度，表示出长方形EMFD的长和宽，由长方形面积得到对应代数式的乘积关系；再通过换元法将两个代数式设为a、b，得到ab和a-b的值，利用完全平方公式求出a+b的值；最后阴影部分为两个正方形的面积差，即$a^2-b^2$，利用平方差公式变形后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 设 $x-2021=a$，$x-2024=b$，
则 $a^2 + b^2 = (x-2021)^2 + (x-2024)^2 = 31$，
$a - b = (x-2021) - (x-2024) = 3$，
∴ $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 3^2$，
∴ $31 - 2ab = 9$，
解得 $ab=11$，
即 $(x-2021)(x-2024)=11$。
(2) 依题意，得 $DE = x - 1$，$DF = x - 3$，
∴ 长方形EMFD的面积为 $(x-1)(x-3)=48$，
设 $x-1=a$，$x-3=b$，
则 $ab=48$，$a - b = (x-1)-(x-3)=2$，
∴ $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 2^2 + 4×48 = 196$，
∵ $a$，$b$ 均为正数，
∴ $a + b = 14$，
∵ 阴影部分面积为正方形MFRN与正方形GFDH的面积差，
∴ $S_{阴影} = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 14×2 = 28$。
【答案】
(1) $\boxed{11}$
(2) $\boxed{28}$
【知识点】
换元法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活运用，通过换元法可简化复杂代数式的运算过程，降低计算出错的概率；第二问需要先结合几何图形的面积关系将几何问题转化为代数问题，再利用公式变形求解，能有效考查学生的知识迁移和综合应用能力。
【难度系数】
0.7
