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知识点)添括号法则
1. 符号语言：
2. 文字语言：添括号时，如果括号前面是
易错提示
1. 符号错误. 添括号时，括号前面是负号，未正确改变括号内各项的符号. 如将$a-b+c$添括号为$a-(b+c)$，导致错误.
2. 运用不当. 在复杂式子中，不能正确运用添括号法则进行变形. 如在计算含有多个括号的式子时，添括号错误影响后续计算.
3. 可通过去括号法则对添括号后的式子进行验证，确保等式成立.
1. 符号语言：
$a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c)$
.2. 文字语言：添括号时，如果括号前面是
正号
，括到括号里的各项都不变符号
；如果括号前面是负号
，括到括号里的各项都改变符号
.易错提示
1. 符号错误. 添括号时，括号前面是负号，未正确改变括号内各项的符号. 如将$a-b+c$添括号为$a-(b+c)$，导致错误.
2. 运用不当. 在复杂式子中，不能正确运用添括号法则进行变形. 如在计算含有多个括号的式子时，添括号错误影响后续计算.
3. 可通过去括号法则对添括号后的式子进行验证，确保等式成立.
答案
1. $a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c)$
2. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
2. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
解析
【分析】
本题考查添括号法则的基础识记，解题时可结合去括号法则逆推辅助记忆：①符号语言需要分别呈现括号前为正号、括号前为负号的两种典型添括号等式，可通过去括号验证左右两边相等来确认书写正确；②文字记忆可分两类情况梳理，对应括号前的符号不同，明确括号内各项的符号变化规则，也可结合易错点反向巩固，避免出现括号前为负号时漏改符号的问题。
【解析】
1. 符号语言用整式等式表示两种添括号情形：
当括号前为正号时，对$a+b+c$的后两项添括号可得$a+b+c=a+(b+c)$，将右边去括号后与左边完全一致；
当括号前为负号时，对$a-b-c$的后两项添括号可得$a-b-c=a-(b+c)$，将右边去括号后与左边完全一致，符合添括号规则。
2. 根据添括号法则的文字表述：
添括号分两种情况，括号前为正号时，括号内各项符号不变；括号前为负号时，括号内所有项的符号都要改变。
【答案】
1. $a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c)$
2. 正号；不变符号；负号；改变符号
【知识点】
添括号法则、整式变形
【点评】
本题是对添括号法则基础概念的考查，属于识记类题型，学习时要重点关注括号前为负号时的符号变化规则，可通过去括号逆推的方式验证添括号的正确性，有效避免符号错误。
【难度系数】
0.9
本题考查添括号法则的基础识记，解题时可结合去括号法则逆推辅助记忆：①符号语言需要分别呈现括号前为正号、括号前为负号的两种典型添括号等式，可通过去括号验证左右两边相等来确认书写正确；②文字记忆可分两类情况梳理，对应括号前的符号不同，明确括号内各项的符号变化规则，也可结合易错点反向巩固，避免出现括号前为负号时漏改符号的问题。
【解析】
1. 符号语言用整式等式表示两种添括号情形：
当括号前为正号时，对$a+b+c$的后两项添括号可得$a+b+c=a+(b+c)$，将右边去括号后与左边完全一致；
当括号前为负号时，对$a-b-c$的后两项添括号可得$a-b-c=a-(b+c)$，将右边去括号后与左边完全一致，符合添括号规则。
2. 根据添括号法则的文字表述：
添括号分两种情况，括号前为正号时，括号内各项符号不变；括号前为负号时，括号内所有项的符号都要改变。
【答案】
1. $a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a-(b+c)$
2. 正号；不变符号；负号；改变符号
【知识点】
添括号法则、整式变形
【点评】
本题是对添括号法则基础概念的考查，属于识记类题型，学习时要重点关注括号前为负号时的符号变化规则，可通过去括号逆推的方式验证添括号的正确性，有效避免符号错误。
【难度系数】
0.9
(1)$(a+b)^2$与$(a-b)^2$有怎样的联系,能否用一个等式来表示两者之间的关系?并尝试用图形来验证你的结论.
(2)若$x$满足$(40-x)(x-30)=-20$,则$(40-x)^2+(x-30)^2$的值为
(3)若$x$满足$(x-3)(x-1)=\frac{9}{4}$,则$(x-3)^2+(x-1)^2$的值为
(4)如图,正方形$ABCD$的边长为$x$,$AE=14$,$CG=30$,长方形$EFGD$的面积是200,四边形$NGDH$和四边形$MEDQ$都是正方形,四边形$PQDH$是长方形,则图中阴影部分的面积是
(2)若$x$满足$(40-x)(x-30)=-20$,则$(40-x)^2+(x-30)^2$的值为
140
.(3)若$x$满足$(x-3)(x-1)=\frac{9}{4}$,则$(x-3)^2+(x-1)^2$的值为
$\frac{17}{2}$
.(4)如图,正方形$ABCD$的边长为$x$,$AE=14$,$CG=30$,长方形$EFGD$的面积是200,四边形$NGDH$和四边形$MEDQ$都是正方形,四边形$PQDH$是长方形,则图中阴影部分的面积是
1056
.(结果必须是一个具体的数值) 答案
(1)$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ 图略.
(2)140
(3)$\frac{17}{2}$
(4)1056
(2)140
(3)$\frac{17}{2}$
(4)1056
解析
【分析】
本题围绕完全平方公式的变形应用展开：(1)将两个完全平方公式展开后作差，即可得到二者的关系，再通过正方形面积割补即可验证等式；(2)(3)用换元法将所求代数式转化为完全平方公式的变形形式，代入已知条件即可计算；(4)先把阴影部分面积用含ED、DG的代数式表示，再结合已知条件得到ED与DG的差、乘积，利用完全平方公式变形计算即可。
【解析】
(1) 分别展开两个完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
将两式作差得：
$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$，
即二者关系为$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$（或$\boldsymbol{(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}$）。
图形验证：作边长为$a+b$的大正方形，在内部作居中的边长为$a-b$的小正方形，大正方形与小正方形的面积差等于4个长为a、宽为b的长方形的面积和，即可验证等式。
(2) 设$m=40-x$，$n=x-30$，则$mn=-20$，$m+n=(40-x)+(x-30)=10$。
根据完全平方公式变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入得：
$m^2+n^2=10^2-2×(-20)=100+40=140$。
(3) 设$m=x-3$，$n=x-1$，则$mn=\frac{9}{4}$，$m-n=(x-3)-(x-1)=-2$。
根据完全平方公式变形$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$，代入得：
$m^2+n^2=(-2)^2+2×\frac{9}{4}=4+\frac{9}{2}=\frac{17}{2}$。
(4) 设$ED=a$，$DG=b$，由长方形EFGD面积为200，得$ab=200$。
正方形ABCD边长为x，$AE=14$，$CG=30$，故$a=x-14$，$b=x-30$，则$a-b=(x-14)-(x-30)=16$。
观察图形可知阴影部分是边长为$(a+b)$的正方形，面积为$(a+b)^2$，根据完全平方公式变形$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，代入得：
$(a+b)^2=16^2+4×200=256+800=1056$。
【答案】
(1)$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，图略；
(2)$140$；
(3)$\frac{17}{2}$；
(4)$1056$
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形能力，换元法可大幅简化复杂代数式的计算，最后一问将几何面积问题转化为代数计算，体现了数形结合的思想，熟练掌握完全平方公式的常见变形是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题围绕完全平方公式的变形应用展开：(1)将两个完全平方公式展开后作差，即可得到二者的关系，再通过正方形面积割补即可验证等式；(2)(3)用换元法将所求代数式转化为完全平方公式的变形形式，代入已知条件即可计算；(4)先把阴影部分面积用含ED、DG的代数式表示，再结合已知条件得到ED与DG的差、乘积，利用完全平方公式变形计算即可。
【解析】
(1) 分别展开两个完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
将两式作差得：
$(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$，
即二者关系为$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$（或$\boldsymbol{(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}$）。
图形验证：作边长为$a+b$的大正方形，在内部作居中的边长为$a-b$的小正方形，大正方形与小正方形的面积差等于4个长为a、宽为b的长方形的面积和，即可验证等式。
(2) 设$m=40-x$，$n=x-30$，则$mn=-20$，$m+n=(40-x)+(x-30)=10$。
根据完全平方公式变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，代入得：
$m^2+n^2=10^2-2×(-20)=100+40=140$。
(3) 设$m=x-3$，$n=x-1$，则$mn=\frac{9}{4}$，$m-n=(x-3)-(x-1)=-2$。
根据完全平方公式变形$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$，代入得：
$m^2+n^2=(-2)^2+2×\frac{9}{4}=4+\frac{9}{2}=\frac{17}{2}$。
(4) 设$ED=a$，$DG=b$，由长方形EFGD面积为200，得$ab=200$。
正方形ABCD边长为x，$AE=14$，$CG=30$，故$a=x-14$，$b=x-30$，则$a-b=(x-14)-(x-30)=16$。
观察图形可知阴影部分是边长为$(a+b)$的正方形，面积为$(a+b)^2$，根据完全平方公式变形$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，代入得：
$(a+b)^2=16^2+4×200=256+800=1056$。
【答案】
(1)$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$，图略；
(2)$140$；
(3)$\frac{17}{2}$；
(4)$1056$
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形能力，换元法可大幅简化复杂代数式的计算，最后一问将几何面积问题转化为代数计算，体现了数形结合的思想，熟练掌握完全平方公式的常见变形是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
