登录
1. 计算$-3mn(m-\dfrac{1}{2}n)$的结果是 （
A.$3m^2n+mn^2$
B.$-3m^2n-\dfrac{3}{2}mn^2$
C.$-3m^2n+\dfrac{3}{2}mn^2$
D.$-3m^2n+\dfrac{1}{2}mn^2$
C
）A.$3m^2n+mn^2$
B.$-3m^2n-\dfrac{3}{2}mn^2$
C.$-3m^2n+\dfrac{3}{2}mn^2$
D.$-3m^2n+\dfrac{1}{2}mn^2$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时需要注意两点：一是每一项相乘时要带对符号，二是系数相乘、同底数幂相乘要按规则计算。本题中需要将$-3mn$分别乘括号里的$m$和$-\dfrac{1}{2}n$，再把两个乘积相加即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-3mn(m-\dfrac{1}{2}n)&=-3mn· m + (-3mn)·(-\dfrac{1}{2}n)\\&=-3m^{2}n + \dfrac{3}{2}mn^{2}\end{aligned}$
对比选项可知结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；有理数乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，运算中需格外注意符号的判断以及系数的准确计算，避免因漏乘系数、符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。运算时需要注意两点：一是每一项相乘时要带对符号，二是系数相乘、同底数幂相乘要按规则计算。本题中需要将$-3mn$分别乘括号里的$m$和$-\dfrac{1}{2}n$，再把两个乘积相加即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-3mn(m-\dfrac{1}{2}n)&=-3mn· m + (-3mn)·(-\dfrac{1}{2}n)\\&=-3m^{2}n + \dfrac{3}{2}mn^{2}\end{aligned}$
对比选项可知结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；有理数乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，运算中需格外注意符号的判断以及系数的准确计算，避免因漏乘系数、符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
2. 要使$(-x)(x^2 - mx + 2x)$的展开式中不含$x^2$的项，则$m$的值是（
A.-2
B.0
C.2
D.3
C
）A.-2
B.0
C.2
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路：首先要根据单项式乘多项式的运算法则把原式展开，再合并同类项找到所有含$x^2$的项，由于展开式不含$x^2$项，说明$x^2$项合并后的系数为0，据此列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
按照单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(-x)(x^2 - mx + 2x)&=(-x)· x^2 + (-x)· (-mx) + (-x)· 2x\\&=-x^3 + mx^2 - 2x^2\\&=-x^3 + (m - 2)x^2\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^2$的项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$m - 2 = 0$
解得：$m=2$
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；多项式不含项的条件
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，关键是理解“展开式不含某一项”就是合并同类项后该项的系数为0，解题时要注意单项式乘多项式运算中的符号问题，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先要根据单项式乘多项式的运算法则把原式展开，再合并同类项找到所有含$x^2$的项，由于展开式不含$x^2$项，说明$x^2$项合并后的系数为0，据此列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
按照单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(-x)(x^2 - mx + 2x)&=(-x)· x^2 + (-x)· (-mx) + (-x)· 2x\\&=-x^3 + mx^2 - 2x^2\\&=-x^3 + (m - 2)x^2\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^2$的项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$m - 2 = 0$
解得：$m=2$
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；多项式不含项的条件
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，关键是理解“展开式不含某一项”就是合并同类项后该项的系数为0，解题时要注意单项式乘多项式运算中的符号问题，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
3. 一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为$2x+5$，$x$，$2x$，则这个长方体箱子的体积为
（
A.$4x^3 + 10x^2$
B.$4x^3 + 10x$
C.$4x^2 + 10x$
D.$4x^2 + 10x^3$
（
A
）A.$4x^3 + 10x^2$
B.$4x^3 + 10x$
C.$4x^2 + 10x$
D.$4x^2 + 10x^3$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆长方体体积的计算公式：体积=长×宽×高。接下来把题目给出的长、宽、高的代数式代入公式，得到整式乘法算式，再按照单项式乘多项式的运算法则展开计算，最后对照选项选出正确答案即可。计算时要注意单项式乘法中指数的运算规则，不要漏乘项。
【解析】
根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，代入已知的长、宽、高计算如下：
$\begin{aligned}V&=(2x+5)× x× 2x\\&=(2x+5)× 2x^2 \quad \mathrm{（先计算单项式乘法：$x·2x=2x^2$）}\\&=2x·2x^2 + 5×2x^2 \quad \mathrm{（根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项）}\\&=4x^3 + 10x^2\end{aligned}$
对比选项可知结果对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
长方体体积公式；单项式乘多项式；单项式乘法
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算结合的基础题，核心是熟练掌握体积公式和整式乘法的运算法则，计算时注意不要漏乘项、不要搞错同底数幂相乘的指数规则即可正确解答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆长方体体积的计算公式：体积=长×宽×高。接下来把题目给出的长、宽、高的代数式代入公式，得到整式乘法算式，再按照单项式乘多项式的运算法则展开计算，最后对照选项选出正确答案即可。计算时要注意单项式乘法中指数的运算规则，不要漏乘项。
【解析】
根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，代入已知的长、宽、高计算如下：
$\begin{aligned}V&=(2x+5)× x× 2x\\&=(2x+5)× 2x^2 \quad \mathrm{（先计算单项式乘法：$x·2x=2x^2$）}\\&=2x·2x^2 + 5×2x^2 \quad \mathrm{（根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项）}\\&=4x^3 + 10x^2\end{aligned}$
对比选项可知结果对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
长方体体积公式；单项式乘多项式；单项式乘法
【点评】
本题是整式乘法与几何体积计算结合的基础题，核心是熟练掌握体积公式和整式乘法的运算法则，计算时注意不要漏乘项、不要搞错同底数幂相乘的指数规则即可正确解答。
【难度系数】
0.85
4. 下列计算错误的是（
A.$2x^2(\dfrac{1}{3}x - y) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2y$
B.$3x^2y(1 - 2y^3) = 3x^2y + 6x^2y^3$
C.$2x(3x^2 - xy + y) = 6x^3 - 2x^2y + 2xy$
D.$-2x(x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1) = -2x^3 + x^2 - 2x$
B
）A.$2x^2(\dfrac{1}{3}x - y) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2y$
B.$3x^2y(1 - 2y^3) = 3x^2y + 6x^2y^3$
C.$2x(3x^2 - xy + y) = 6x^3 - 2x^2y + 2xy$
D.$-2x(x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1) = -2x^3 + x^2 - 2x$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：依据单项式乘多项式的运算法则，对四个选项逐一展开计算，再将计算结果和选项给出的结果对比，即可找出计算错误的选项。运算时需注意两个要点：一是单项式乘多项式每一项时符号判断不要出错，二是同底数幂相乘时指数要正确相加。
【解析】
单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
逐一验证各选项：
A选项：$2x^2(\dfrac{1}{3}x - y) = 2x^2 · \dfrac{1}{3}x + 2x^2 · (-y) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2y$，计算正确。
B选项：$3x^2y(1 - 2y^3) = 3x^2y · 1 + 3x^2y · (-2y^3) = 3x^2y - 6x^2y^4$，和选项给出的$3x^2y + 6x^2y^3$对比，符号、y的次数均错误，计算错误。
C选项：$2x(3x^2 - xy + y) = 2x · 3x^2 + 2x · (-xy) + 2x · y = 6x^3 - 2x^2y + 2xy$，计算正确。
D选项：$-2x(x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1) = -2x · x^2 + (-2x) · (-\dfrac{1}{2}x) + (-2x) · 1 = -2x^3 + x^2 - 2x$，计算正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，运算时要格外注意符号的判断，以及同底数幂相乘的指数计算，避免出现漏乘、符号错误或指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路为：依据单项式乘多项式的运算法则，对四个选项逐一展开计算，再将计算结果和选项给出的结果对比，即可找出计算错误的选项。运算时需注意两个要点：一是单项式乘多项式每一项时符号判断不要出错，二是同底数幂相乘时指数要正确相加。
【解析】
单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
逐一验证各选项：
A选项：$2x^2(\dfrac{1}{3}x - y) = 2x^2 · \dfrac{1}{3}x + 2x^2 · (-y) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2y$，计算正确。
B选项：$3x^2y(1 - 2y^3) = 3x^2y · 1 + 3x^2y · (-2y^3) = 3x^2y - 6x^2y^4$，和选项给出的$3x^2y + 6x^2y^3$对比，符号、y的次数均错误，计算错误。
C选项：$2x(3x^2 - xy + y) = 2x · 3x^2 + 2x · (-xy) + 2x · y = 6x^3 - 2x^2y + 2xy$，计算正确。
D选项：$-2x(x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1) = -2x · x^2 + (-2x) · (-\dfrac{1}{2}x) + (-2x) · 1 = -2x^3 + x^2 - 2x$，计算正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，运算时要格外注意符号的判断，以及同底数幂相乘的指数计算，避免出现漏乘、符号错误或指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
5. 方程$2x(x-1)-x(2x-5)=12$的解为（
A.$x=2$
B.$x=1$
C.$x=4$
D.$x=0$
C
）A.$x=2$
B.$x=1$
C.$x=4$
D.$x=0$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先观察方程特点，发现方程中含有单项式乘多项式的运算，因此第一步应先依据单项式乘多项式的运算法则去括号，再通过合并同类项将方程化简为标准的一元一次方程，最后求解即可得到答案，计算过程中需注意去括号时的符号变化。
【解析】
解：对原方程去括号，根据单项式乘多项式法则：
$2x· x + 2x· (-1) - [x· 2x + x· (-5)] = 12$
即$2x^2 - 2x - 2x^2 + 5x = 12$
合并同类项，得：
$3x = 12$
系数化为1，得：
$x = 4$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查整式乘法与一元一次方程求解的结合，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，去括号时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察方程特点，发现方程中含有单项式乘多项式的运算，因此第一步应先依据单项式乘多项式的运算法则去括号，再通过合并同类项将方程化简为标准的一元一次方程，最后求解即可得到答案，计算过程中需注意去括号时的符号变化。
【解析】
解：对原方程去括号，根据单项式乘多项式法则：
$2x· x + 2x· (-1) - [x· 2x + x· (-5)] = 12$
即$2x^2 - 2x - 2x^2 + 5x = 12$
合并同类项，得：
$3x = 12$
系数化为1，得：
$x = 4$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查整式乘法与一元一次方程求解的结合，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，去括号时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6. 在一次数学课上,学习了单项式乘多项式,小明回家后,拿出课堂笔记本复习,发现这样一道题:$-3x(-2x^2+3x-1)=6x^3-9x^2+□$,"$□$"的地方被墨水弄污了,你认为"$□$"内应填（
A.1
B.$-1$
C.$3x$
D.$-3x$
C
）A.1
B.$-1$
C.$3x$
D.$-3x$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，计算过程中要注意符号的处理。本题已知左边的运算式和前两项的运算结果，只需计算单项式与多项式最后一项的乘积，即可得到方框内应填的内容。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开左边式子：
$-3x(-2x^2 + 3x - 1)$
$= (-3x) × (-2x^2) + (-3x) × 3x + (-3x) × (-1)$
$= 6x^3 - 9x^2 + 3x$
对照等式右边的形式，可知“”内应填$3x$。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式、单项式乘法
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的关键是注意运算过程中的符号变化，熟练掌握法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所有乘积相加，计算过程中要注意符号的处理。本题已知左边的运算式和前两项的运算结果，只需计算单项式与多项式最后一项的乘积，即可得到方框内应填的内容。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开左边式子：
$-3x(-2x^2 + 3x - 1)$
$= (-3x) × (-2x^2) + (-3x) × 3x + (-3x) × (-1)$
$= 6x^3 - 9x^2 + 3x$
对照等式右边的形式，可知“”内应填$3x$。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式、单项式乘法
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的关键是注意运算过程中的符号变化，熟练掌握法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
7. 已知$A=x^2+3x-a$，$B=-x$，$C=x^3+3x^2+5$，若$A· B + C$的值与$x$的取值无关，则当$x=-4$时，$A$的值为（
A.0
B.4
C.-4
D.2
B
）A.0
B.4
C.-4
D.2
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先明确核心条件：$A· B + C$的值与$x$取值无关，意味着该代数式化简后所有含$x$的项的系数都为0。首先先计算$A· B + C$的表达式，合并同类项后令含$x$项的系数为0求出$a$的值，最后将$a$和$x=-4$代入$A$的表达式计算即可得到结果。
【解析】
首先计算$A· B + C$的表达式：
$\begin{aligned}A· B + C&=(x^2 + 3x - a)·(-x) + (x^3 + 3x^2 + 5)\\&=-x^3 - 3x^2 + ax + x^3 + 3x^2 + 5\\&=ax + 5\end{aligned}$
因为$A· B + C$的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即$a=0$。
将$a=0$代入$A$的表达式得：$A=x^2 + 3x$。
当$x=-4$时，代入$A$计算：
$A=(-4)^2 + 3×(-4)=16 - 12=4$
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式运算
2.代数式求值
3.多项式无关性性质
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心是理解“代数式的值与某字母无关，则该字母所有对应项的系数为0”的规律，计算过程需要注意去括号的符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解题时先明确核心条件：$A· B + C$的值与$x$取值无关，意味着该代数式化简后所有含$x$的项的系数都为0。首先先计算$A· B + C$的表达式，合并同类项后令含$x$项的系数为0求出$a$的值，最后将$a$和$x=-4$代入$A$的表达式计算即可得到结果。
【解析】
首先计算$A· B + C$的表达式：
$\begin{aligned}A· B + C&=(x^2 + 3x - a)·(-x) + (x^3 + 3x^2 + 5)\\&=-x^3 - 3x^2 + ax + x^3 + 3x^2 + 5\\&=ax + 5\end{aligned}$
因为$A· B + C$的值与$x$的取值无关，所以含$x$项的系数为0，即$a=0$。
将$a=0$代入$A$的表达式得：$A=x^2 + 3x$。
当$x=-4$时，代入$A$计算：
$A=(-4)^2 + 3×(-4)=16 - 12=4$
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式运算
2.代数式求值
3.多项式无关性性质
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心是理解“代数式的值与某字母无关，则该字母所有对应项的系数为0”的规律，计算过程需要注意去括号的符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
8. 若$a^2 + 3a = 2$，则代数式$5a(a+3)-2$的值为（
A.7
B.8
C.9
D.10
B
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件与待求代数式的特征：已知$a^2+3a$的具体数值，无需单独求解$a$的值，只需先运用单项式乘多项式的法则化简待求代数式，再将其整理为含$a^2+3a$的结构，最后整体代入已知值计算即可。
【解析】
第一步，利用单项式乘多项式法则展开待求式：
$5a(a+3)=5a· a + 5a·3=5a^2+15a$
因此原式可变形为：
$5a^2+15a -2$
第二步，提取公因式，将式子转化为含已知式的形式：
$5a^2+15a -2=5(a^2+3a)-2$
第三步，将$a^2+3a=2$整体代入计算：
$5×2 -2=10-2=8$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式运算；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对单项式乘多项式运算法则的掌握，以及整体代入思想的运用，通过整体代入可省略求解$a$的步骤，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件与待求代数式的特征：已知$a^2+3a$的具体数值，无需单独求解$a$的值，只需先运用单项式乘多项式的法则化简待求代数式，再将其整理为含$a^2+3a$的结构，最后整体代入已知值计算即可。
【解析】
第一步，利用单项式乘多项式法则展开待求式：
$5a(a+3)=5a· a + 5a·3=5a^2+15a$
因此原式可变形为：
$5a^2+15a -2$
第二步，提取公因式，将式子转化为含已知式的形式：
$5a^2+15a -2=5(a^2+3a)-2$
第三步，将$a^2+3a=2$整体代入计算：
$5×2 -2=10-2=8$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式运算；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对单项式乘多项式运算法则的掌握，以及整体代入思想的运用，通过整体代入可省略求解$a$的步骤，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
9. 计算：
(1) $2m^2 - n(5m - n) - m(2m - 5n)$；
(2) $-5x^2(-2xy)^2 - x^2(7x^2y^2 - 2x)$。
(1) $2m^2 - n(5m - n) - m(2m - 5n)$；
(2) $-5x^2(-2xy)^2 - x^2(7x^2y^2 - 2x)$。
答案
9. (1) 原式$=2m^2-5mn+n^2-2m^2+5mn$
$=n^2$.
(2) 原式$=-5x^2·4x^2y^2-7x^4y^2+2x^3$
$=-20x^4y^2-7x^4y^2+2x^3$
$=-27x^4y^2+2x^3$.
$=n^2$.
(2) 原式$=-5x^2·4x^2y^2-7x^4y^2+2x^3$
$=-20x^4y^2-7x^4y^2+2x^3$
$=-27x^4y^2+2x^3$.
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：
(1) 第一问先根据单项式乘多项式的法则去掉两个括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，再识别并合并同类项即可得到结果；
(2) 第二问先计算积的乘方运算$(-2xy)^2$，再根据单项式乘多项式的法则去括号，最后合并同类项得到结果，计算过程中需注意符号和同底数幂的乘法法则的应用。
【解析】
(1) 利用单项式乘多项式法则去括号：
原式$=2m^2-5mn+n^2-2m^2+5mn$
合并同类项，$2m^2$与$-2m^2$抵消，$-5mn$与$+5mn$抵消，得：
$=n^2$
(2) 先计算积的乘方：$(-2xy)^2=4x^2y^2$，再去括号：
原式$=-5x^2·4x^2y^2-7x^4y^2+2x^3$
计算单项式乘法得：
$=-20x^4y^2-7x^4y^2+2x^3$
合并同类项得：
$=-27x^4y^2+2x^3$
【答案】
(1) $n^2$；(2) $-27x^4y^2 + 2x^3$
【知识点】
单项式乘多项式；整式混合运算；积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握各类运算法则，尤其要注意去括号时的符号变化，避免出现漏乘、符号出错等问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序：
(1) 第一问先根据单项式乘多项式的法则去掉两个括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，再识别并合并同类项即可得到结果；
(2) 第二问先计算积的乘方运算$(-2xy)^2$，再根据单项式乘多项式的法则去括号，最后合并同类项得到结果，计算过程中需注意符号和同底数幂的乘法法则的应用。
【解析】
(1) 利用单项式乘多项式法则去括号：
原式$=2m^2-5mn+n^2-2m^2+5mn$
合并同类项，$2m^2$与$-2m^2$抵消，$-5mn$与$+5mn$抵消，得：
$=n^2$
(2) 先计算积的乘方：$(-2xy)^2=4x^2y^2$，再去括号：
原式$=-5x^2·4x^2y^2-7x^4y^2+2x^3$
计算单项式乘法得：
$=-20x^4y^2-7x^4y^2+2x^3$
合并同类项得：
$=-27x^4y^2+2x^3$
【答案】
(1) $n^2$；(2) $-27x^4y^2 + 2x^3$
【知识点】
单项式乘多项式；整式混合运算；积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握各类运算法则，尤其要注意去括号时的符号变化，避免出现漏乘、符号出错等问题。
【难度系数】
0.8
10. 先阅读下面的材料,再解答问题:
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值.
分析:由$x^2y=3$无法求出$x,y$的值,故考虑用整体思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24$.
问题:
(1)已知$ab=3$,求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)·(-2b)$的值;
(2)已知$ab^2=6$,求$ab(a^2b^5 -ab^3 -b)$的值.
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)$的值.
分析:由$x^2y=3$无法求出$x,y$的值,故考虑用整体思想,将$x^2y=3$整体代入.
解:$2xy(x^5y^2 - 3x^3y - 4x)=2x^6y^3 -6x^4y^2 -8x^2y=2(x^2y)^3 -6(x^2y)^2 -8x^2y=2×3^3 -6×3^2 -8×3=-24$.
问题:
(1)已知$ab=3$,求$(2a^3b^2 -3a^2b +4a)·(-2b)$的值;
(2)已知$ab^2=6$,求$ab(a^2b^5 -ab^3 -b)$的值.
答案
10. (1) $(2a^3b^2-3a^2b+4a)·(-2b)$
$=-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab$
$=-4(ab)^3+6(ab)^2-8ab$
$=-4×3^3+6×3^2-8×3$
$=-108+54-24$
$=-78$.
(2) $ab(a^2b^5-ab^3-b)$
$=a^3b^6-a^2b^4-ab^2$
$=(ab^2)^3-(ab^2)^2-ab^2$
$=6^3-6^2-6$
$=174$.
$=-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab$
$=-4(ab)^3+6(ab)^2-8ab$
$=-4×3^3+6×3^2-8×3$
$=-108+54-24$
$=-78$.
(2) $ab(a^2b^5-ab^3-b)$
$=a^3b^6-a^2b^4-ab^2$
$=(ab^2)^3-(ab^2)^2-ab^2$
$=6^3-6^2-6$
$=174$.
解析
【分析】
这两道题都无法直接求出a、b的具体值，因此参照材料给出的整体思想解题：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，第二步逆用幂的运算性质，把展开后的式子变形为用已知整体（$ab$或$ab^2$）表示的形式，第三步将已知的整体的值代入计算即可，不需要求解单个未知数，能简化计算过程。
【解析】
(1) 先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{split}&(2a^3b^2-3a^2b+4a)·(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b)+(-3a^2b)×(-2b)+4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab\end{split}$
逆用幂的运算性质，将各项用$ab$表示：
$=-4(ab)^3+6(ab)^2-8ab$
把$ab=3$代入计算：
$\begin{split}=&-4×3^3+6×3^2-8×3\\=&-4×27+6×9-24\\=&-108+54-24\\=&-78\end{split}$
(2) 先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{split}&ab(a^2b^5-ab^3-b)\\=&ab× a^2b^5+ab×(-ab^3)+ab×(-b)\\=&a^3b^6-a^2b^4-ab^2\end{split}$
逆用幂的运算性质，将各项用$ab^2$表示：
$=(ab^2)^3-(ab^2)^2-ab^2$
把$ab^2=6$代入计算：
$\begin{split}=&6^3-6^2-6\\=&216-36-6\\=&174\end{split}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-78}$；(2) $\boldsymbol{174}$
【知识点】
单项式乘多项式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题属于材料引导类求值题，重点考查整体思想在整式运算中的应用，解题时无需计算单个字母的取值，先按照整式运算法则化简原式，再将已知条件作为整体代入即可，大幅降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
这两道题都无法直接求出a、b的具体值，因此参照材料给出的整体思想解题：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开，第二步逆用幂的运算性质，把展开后的式子变形为用已知整体（$ab$或$ab^2$）表示的形式，第三步将已知的整体的值代入计算即可，不需要求解单个未知数，能简化计算过程。
【解析】
(1) 先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{split}&(2a^3b^2-3a^2b+4a)·(-2b)\\=&2a^3b^2×(-2b)+(-3a^2b)×(-2b)+4a×(-2b)\\=&-4a^3b^3+6a^2b^2-8ab\end{split}$
逆用幂的运算性质，将各项用$ab$表示：
$=-4(ab)^3+6(ab)^2-8ab$
把$ab=3$代入计算：
$\begin{split}=&-4×3^3+6×3^2-8×3\\=&-4×27+6×9-24\\=&-108+54-24\\=&-78\end{split}$
(2) 先根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{split}&ab(a^2b^5-ab^3-b)\\=&ab× a^2b^5+ab×(-ab^3)+ab×(-b)\\=&a^3b^6-a^2b^4-ab^2\end{split}$
逆用幂的运算性质，将各项用$ab^2$表示：
$=(ab^2)^3-(ab^2)^2-ab^2$
把$ab^2=6$代入计算：
$\begin{split}=&6^3-6^2-6\\=&216-36-6\\=&174\end{split}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-78}$；(2) $\boldsymbol{174}$
【知识点】
单项式乘多项式，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题属于材料引导类求值题，重点考查整体思想在整式运算中的应用，解题时无需计算单个字母的取值，先按照整式运算法则化简原式，再将已知条件作为整体代入即可，大幅降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
