如图,从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形,长方形的长为$(2a+b)\ \mathrm{m}$,宽为$(a+b)\ \mathrm{m}$,小正方形的边长为$a\ \mathrm{m}$.
(1)求剩余铁皮的面积;
(2)当$a=3,b=2$时,求剩余铁皮的面积.

(1)剩余铁皮的面积为$(a^2+3ab+b^2)\ \mathrm{m}^2$.
(2)将 $a=3,b=2$ 代入 $a^2+3ab+b^2$,得 $3^2+3×3×2+2^2=31$.
∴ 剩余铁皮的面积为 $31\ \mathrm{m}^2$.

【分析】
(1) 剩余铁皮的面积可通过“大长方形面积减去剪去的小正方形面积”的和差思路计算。首先分别根据长方形、正方形的面积公式写出对应面积的表达式，再利用多项式乘多项式法则展开表达式，合并同类项化简后就能得到剩余面积的代数式。
(2) 第二问属于代数式求值类问题，直接将$a=3$、$b=2$代入第一问得到的化简结果中，按照先乘方、再乘法、最后加减的运算顺序计算即可得到具体数值。
【解析】
(1) 大长方形的面积为长乘宽，即：
$S_{\mathrm{大长方形}}=(2a+b)(a+b)$
小正方形的面积为边长的平方，即：
$S_{\mathrm{小正方形}}=a^2$
剩余铁皮的面积为两者的差：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{剩余}}&=(2a+b)(a+b)-a^2\\&=2a^2+2ab+ab+b^2-a^2\\&=a^2+3ab+b^2\end{aligned}$
(2) 将$a=3$，$b=2$代入$a^2+3ab+b^2$计算：
$\begin{aligned}原式&=3^2+3×3×2+2^2\\&=9+18+4\\&=31\end{aligned}$
【答案】
(1) 剩余铁皮的面积为$(a^2+3ab+b^2)\ \mathrm{m}^2$
(2) 当$a=3,b=2$时，剩余铁皮的面积为$31\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简，代数式求值
【点评】
本题结合几何面积场景考查整式运算，解题的关键是找准面积的和差关系，计算多项式乘法时需注意不要漏乘项，合并同类项和代入求值时遵循运算规则即可顺利求解，是巩固整式运算基础的典型题型。
【难度系数】
0.8