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问题导引
如图,将一块原长a m、宽b m的长方形绿地,加长了c m,加宽了d m,你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?
如图,将一块原长a m、宽b m的长方形绿地,加长了c m,加宽了d m,你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?
答案
解：方法1：直接计算扩大后整体长方形的长和宽
扩大后绿地的长为$(a+c)\ \mathrm{m}$，宽为$(b+d)\ \mathrm{m}$，
可得面积为：$\boldsymbol{(a+c)(b+d)}\ \mathrm{m}^2$。
方法2：将扩大后的绿地分割为4个小长方形，求和得总面积
四块小长方形的面积分别为$ab\ \mathrm{m}^2$、$ad\ \mathrm{m}^2$、$bc\ \mathrm{m}^2$、$cd\ \mathrm{m}^2$，
可得总面积为：$ab + ad + bc + cd\ \mathrm{m}^2$。
方法3：沿竖直方向分割为左右两个长方形，求和得总面积
左侧长方形面积为$a(b+d)\ \mathrm{m}^2$，右侧长方形面积为$c(b+d)\ \mathrm{m}^2$，
可得总面积为：$a(b+d) + c(b+d)\ \mathrm{m}^2$。
方法4：沿水平方向分割为上下两个长方形，求和得总面积
上方长方形面积为$b(a+c)\ \mathrm{m}^2$，下方长方形面积为$d(a+c)\ \mathrm{m}^2$，
可得总面积为：$b(a+c) + d(a+c)\ \mathrm{m}^2$。
由上述方法可得等式：
$(a+c)(b+d)=a(b+d)+c(b+d)=b(a+c)+d(a+c)=ab+ad+bc+cd$
即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
扩大后绿地的长为$(a+c)\ \mathrm{m}$，宽为$(b+d)\ \mathrm{m}$，
可得面积为：$\boldsymbol{(a+c)(b+d)}\ \mathrm{m}^2$。
方法2：将扩大后的绿地分割为4个小长方形，求和得总面积
四块小长方形的面积分别为$ab\ \mathrm{m}^2$、$ad\ \mathrm{m}^2$、$bc\ \mathrm{m}^2$、$cd\ \mathrm{m}^2$，
可得总面积为：$ab + ad + bc + cd\ \mathrm{m}^2$。
方法3：沿竖直方向分割为左右两个长方形，求和得总面积
左侧长方形面积为$a(b+d)\ \mathrm{m}^2$，右侧长方形面积为$c(b+d)\ \mathrm{m}^2$，
可得总面积为：$a(b+d) + c(b+d)\ \mathrm{m}^2$。
方法4：沿水平方向分割为上下两个长方形，求和得总面积
上方长方形面积为$b(a+c)\ \mathrm{m}^2$，下方长方形面积为$d(a+c)\ \mathrm{m}^2$，
可得总面积为：$b(a+c) + d(a+c)\ \mathrm{m}^2$。
由上述方法可得等式：
$(a+c)(b+d)=a(b+d)+c(b+d)=b(a+c)+d(a+c)=ab+ad+bc+cd$
即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
解析
【分析】
要求扩大后的绿地面积，可从两类常见思路入手：①直接法：先确定扩大后整体长方形的长和宽，再利用长方形面积公式直接计算；②割补法：将扩大后的绿地分割成若干个规则的小长方形，分别计算每个小长方形的面积后求和，分割方式不同对应的计算方法也不同。
【解析】
共有4种求解方法，具体过程如下：
方法1：直接计算整体长方形面积
扩大后绿地的长为原长加加长的长度，即$(a+c)\ \mathrm{m}$，宽为原宽加加宽的长度，即$(b+d)\ \mathrm{m}$，根据长方形面积=长×宽，可得面积为：$\boldsymbol{(a+c)(b+d)}\ \mathrm{m}^2$。
方法2：分割为4个小长方形求和
将扩大后的绿地分割为4块小长方形，面积分别为原绿地面积$ab\ \mathrm{m}^2$、左侧下方新增区域面积$ad\ \mathrm{m}^2$、右侧上方新增区域面积$bc\ \mathrm{m}^2$、右侧下方新增区域面积$cd\ \mathrm{m}^2$，总面积为四块面积之和：$\boldsymbol{ab + ad + bc + cd}\ \mathrm{m}^2$。
方法3：沿竖直方向分割为左右两个长方形求和
左侧长方形长为$a\ \mathrm{m}$、宽为$(b+d)\ \mathrm{m}$，面积为$a(b+d)\ \mathrm{m}^2$；右侧长方形长为$c\ \mathrm{m}$、宽为$(b+d)\ \mathrm{m}$，面积为$c(b+d)\ \mathrm{m}^2$，总面积为两部分之和：$\boldsymbol{a(b+d) + c(b+d)}\ \mathrm{m}^2$。
方法4：沿水平方向分割为上下两个长方形求和
上方长方形长为$(a+c)\ \mathrm{m}$、宽为$b\ \mathrm{m}$，面积为$b(a+c)\ \mathrm{m}^2$；下方长方形长为$(a+c)\ \mathrm{m}$、宽为$d\ \mathrm{m}$，面积为$d(a+c)\ \mathrm{m}^2$，总面积为两部分之和：$\boldsymbol{b(a+c) + d(a+c)}\ \mathrm{m}^2$。
由上述结果可推导得多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【答案】
共有4种方法，扩大后的绿地面积可表示为$\boldsymbol{(a+c)(b+d)\ \mathrm{m}^2}$（或$ab+ad+bc+cd\ \mathrm{m}^2$、$a(b+d)+c(b+d)\ \mathrm{m}^2$、$b(a+c)+d(a+c)\ \mathrm{m}^2$），由此可得出多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 多项式乘多项式
3. 割补法求面积
【点评】
本题通过几何图形面积的不同计算方式，直观展现了多项式乘多项式法则的推导过程，渗透了数形结合思想，同时帮助学生掌握组合图形面积的多种求解思路。
【难度系数】
0.8
要求扩大后的绿地面积，可从两类常见思路入手：①直接法：先确定扩大后整体长方形的长和宽，再利用长方形面积公式直接计算；②割补法：将扩大后的绿地分割成若干个规则的小长方形，分别计算每个小长方形的面积后求和，分割方式不同对应的计算方法也不同。
【解析】
共有4种求解方法，具体过程如下：
方法1：直接计算整体长方形面积
扩大后绿地的长为原长加加长的长度，即$(a+c)\ \mathrm{m}$，宽为原宽加加宽的长度，即$(b+d)\ \mathrm{m}$，根据长方形面积=长×宽，可得面积为：$\boldsymbol{(a+c)(b+d)}\ \mathrm{m}^2$。
方法2：分割为4个小长方形求和
将扩大后的绿地分割为4块小长方形，面积分别为原绿地面积$ab\ \mathrm{m}^2$、左侧下方新增区域面积$ad\ \mathrm{m}^2$、右侧上方新增区域面积$bc\ \mathrm{m}^2$、右侧下方新增区域面积$cd\ \mathrm{m}^2$，总面积为四块面积之和：$\boldsymbol{ab + ad + bc + cd}\ \mathrm{m}^2$。
方法3：沿竖直方向分割为左右两个长方形求和
左侧长方形长为$a\ \mathrm{m}$、宽为$(b+d)\ \mathrm{m}$，面积为$a(b+d)\ \mathrm{m}^2$；右侧长方形长为$c\ \mathrm{m}$、宽为$(b+d)\ \mathrm{m}$，面积为$c(b+d)\ \mathrm{m}^2$，总面积为两部分之和：$\boldsymbol{a(b+d) + c(b+d)}\ \mathrm{m}^2$。
方法4：沿水平方向分割为上下两个长方形求和
上方长方形长为$(a+c)\ \mathrm{m}$、宽为$b\ \mathrm{m}$，面积为$b(a+c)\ \mathrm{m}^2$；下方长方形长为$(a+c)\ \mathrm{m}$、宽为$d\ \mathrm{m}$，面积为$d(a+c)\ \mathrm{m}^2$，总面积为两部分之和：$\boldsymbol{b(a+c) + d(a+c)}\ \mathrm{m}^2$。
由上述结果可推导得多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【答案】
共有4种方法，扩大后的绿地面积可表示为$\boldsymbol{(a+c)(b+d)\ \mathrm{m}^2}$（或$ab+ad+bc+cd\ \mathrm{m}^2$、$a(b+d)+c(b+d)\ \mathrm{m}^2$、$b(a+c)+d(a+c)\ \mathrm{m}^2$），由此可得出多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 多项式乘多项式
3. 割补法求面积
【点评】
本题通过几何图形面积的不同计算方式，直观展现了多项式乘多项式法则的推导过程，渗透了数形结合思想，同时帮助学生掌握组合图形面积的多种求解思路。
【难度系数】
0.8
知识梳理
知识点 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积
易错提示
1. 漏项. 计算过程中遗漏某些项的乘积.
2. 符号错误. 处理多项式各项符号时出错. 如计算$(2x-3)(x+4)$，相乘过程中符号处理不当.
3. 合并同类项错误. 计算结果中有同类项时，未正确合并. 如计算$(3x+2)(2x-1)$，得到$6x^2 -3x+4x-2$后，未正确合并$-3x$和$4x$.
知识点 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积
相加
.易错提示
1. 漏项. 计算过程中遗漏某些项的乘积.
2. 符号错误. 处理多项式各项符号时出错. 如计算$(2x-3)(x+4)$，相乘过程中符号处理不当.
3. 合并同类项错误. 计算结果中有同类项时，未正确合并. 如计算$(3x+2)(2x-1)$，得到$6x^2 -3x+4x-2$后，未正确合并$-3x$和$4x$.
答案
相加
解析
【分析】
这道题考查多项式乘多项式的基本运算法则的识记，属于直接考查概念的基础题，不需要复杂推导，解题时只需回忆教材中关于多项式乘多项式的法则内容，准确匹配空缺部分即可，牢记法则是解题的关键。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，因此空缺处应填入“相加”。
【答案】
相加
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对多项式乘法运算法则的掌握，熟练牢记该法则是后续正确开展多项式乘法运算，避免漏项、符号错误、合并同类项错误等常见运算问题的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查多项式乘多项式的基本运算法则的识记，属于直接考查概念的基础题，不需要复杂推导，解题时只需回忆教材中关于多项式乘多项式的法则内容，准确匹配空缺部分即可，牢记法则是解题的关键。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，因此空缺处应填入“相加”。
【答案】
相加
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对多项式乘法运算法则的掌握，熟练牢记该法则是后续正确开展多项式乘法运算，避免漏项、符号错误、合并同类项错误等常见运算问题的前提。
【难度系数】
0.9
例 晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边.小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长$3a$ m，宽$(a+b)$ m，中间修有一条“S”形等宽小路供游客行走，已知小路宽2 m，其余区域皆为草坪.
(1)求该观景区草坪的面积；
(2)当$a=30,b=20$时，草坪的面积是多少？
分析:(1)根据长方形的面积公式即可得到结论.
(2)把$a=30,b=20$代入(1)中的代数式，即可得到结论.
解:(1)该观景区草坪的面积=$(3a-2)(a+b)=(3a^2-2a+3ab-2b)(\mathrm{m}^2)$.
(2)当$a=30,b=20$时，$(3a-2)(a+b)=(3×30-2)×(30+20)=4\ 400(\mathrm{m}^2)$.
答:草坪的面积是$4\ 400\ \mathrm{m}^2$.
(1)求该观景区草坪的面积；
(2)当$a=30,b=20$时，草坪的面积是多少？
分析:(1)根据长方形的面积公式即可得到结论.
(2)把$a=30,b=20$代入(1)中的代数式，即可得到结论.
解:(1)该观景区草坪的面积=$(3a-2)(a+b)=(3a^2-2a+3ab-2b)(\mathrm{m}^2)$.
(2)当$a=30,b=20$时，$(3a-2)(a+b)=(3×30-2)×(30+20)=4\ 400(\mathrm{m}^2)$.
答:草坪的面积是$4\ 400\ \mathrm{m}^2$.
答案
解：
(1) 由题意，拼接后草坪可视为长为$(3a-2)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+b)\ \mathrm{m}$的长方形，
根据多项式乘多项式法则计算草坪面积：
$\begin{aligned}(3a-2)(a+b)&=3a· a + 3a· b - 2· a - 2· b\\&=3a^2+3ab-2a-2b\end{aligned}$
即该观景区草坪的面积为$(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=30$，$b=20$代入上式：
$\begin{aligned}(3×30-2)×(30+20)&=88×50\\&=4400\end{aligned}$
答：该观景区草坪的面积为$(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2$；当$a=30,b=20$时，草坪的面积是$4400\ \mathrm{m}^2$。
(1) 由题意，拼接后草坪可视为长为$(3a-2)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+b)\ \mathrm{m}$的长方形，
根据多项式乘多项式法则计算草坪面积：
$\begin{aligned}(3a-2)(a+b)&=3a· a + 3a· b - 2· a - 2· b\\&=3a^2+3ab-2a-2b\end{aligned}$
即该观景区草坪的面积为$(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=30$，$b=20$代入上式：
$\begin{aligned}(3×30-2)×(30+20)&=88×50\\&=4400\end{aligned}$
答：该观景区草坪的面积为$(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2$；当$a=30,b=20$时，草坪的面积是$4400\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 求解草坪面积时，观察到小路是等宽2m的S形，可通过平移将左右两侧的草坪拼接为一个新的规则长方形：拼接后长方形的长比原观景区的长少了小路的宽度2m，即长为$(3a-2)\ \mathrm{m}$，宽仍为原观景区的宽$(a+b)\ \mathrm{m}$，再利用长方形面积公式结合多项式乘多项式的运算法则计算即可。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接将$a=30$、$b=20$代入第一问得到的面积代数式中，按照运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意，将两侧草坪平移拼接后，可得到长为$(3a-2)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+b)\ \mathrm{m}$的长方形，根据长方形面积=长×宽，结合多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(3a-2)(a+b)&=3a· a + 3a· b - 2· a - 2· b\\&=3a^2+3ab-2a-2b\end{aligned}$
即该观景区草坪的面积为$(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=30$，$b=20$代入上述代数式计算：
$\begin{aligned}(3×30-2)×(30+20)&=88×50\\&=4400\end{aligned}$
【答案】
(1) 草坪面积为$\boxed{(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 当$a=30,b=20$时，草坪面积为$\boxed{4400\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了将不规则图形通过割补平移转化为规则图形求解面积的思路，同时考查了多项式乘法运算和代数式代入求值的基础运算能力，解题的关键是正确理解平移拼接后长方形的边长。
【难度系数】
0.8
(1) 求解草坪面积时，观察到小路是等宽2m的S形，可通过平移将左右两侧的草坪拼接为一个新的规则长方形：拼接后长方形的长比原观景区的长少了小路的宽度2m，即长为$(3a-2)\ \mathrm{m}$，宽仍为原观景区的宽$(a+b)\ \mathrm{m}$，再利用长方形面积公式结合多项式乘多项式的运算法则计算即可。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接将$a=30$、$b=20$代入第一问得到的面积代数式中，按照运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意，将两侧草坪平移拼接后，可得到长为$(3a-2)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+b)\ \mathrm{m}$的长方形，根据长方形面积=长×宽，结合多项式乘多项式法则计算：
$\begin{aligned}(3a-2)(a+b)&=3a· a + 3a· b - 2· a - 2· b\\&=3a^2+3ab-2a-2b\end{aligned}$
即该观景区草坪的面积为$(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$a=30$，$b=20$代入上述代数式计算：
$\begin{aligned}(3×30-2)×(30+20)&=88×50\\&=4400\end{aligned}$
【答案】
(1) 草坪面积为$\boxed{(3a^2+3ab-2a-2b)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 当$a=30,b=20$时，草坪面积为$\boxed{4400\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了将不规则图形通过割补平移转化为规则图形求解面积的思路，同时考查了多项式乘法运算和代数式代入求值的基础运算能力，解题的关键是正确理解平移拼接后长方形的边长。
【难度系数】
0.8
已知关于$x$的代数式$(x+2m)(x^2 - x + \frac{1}{2}n)$中不含$x$项与$x^2$项.
(1)求$m,n$的值；
(2)求代数式$m^{2023}n^{2024}$的值.
(1)求$m,n$的值；
(2)求代数式$m^{2023}n^{2024}$的值.
答案
(1)$(x+2m)(x^{2}-x+\dfrac{1}{2}n)$
$=x^{3}-x^{2}+\dfrac{1}{2}nx+2mx^{2}-2mx+mn$
$=x^{3}+(2m-1)x^{2}+(\dfrac{1}{2}n-2m)x+mn$,
$\because$ 不含$x$项与$x^2$项,
$\therefore \begin{cases}2m-1=0,\\\dfrac{1}{2}n-2m=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=2.\end{cases}$
$\therefore m,n$的值分别为$\dfrac{1}{2},2$.
(2)$m^{2023}n^{2024}=(\dfrac{1}{2})^{2023}·2^{2024}=(\dfrac{1}{2}×2)^{2023}×2=2$.
$=x^{3}-x^{2}+\dfrac{1}{2}nx+2mx^{2}-2mx+mn$
$=x^{3}+(2m-1)x^{2}+(\dfrac{1}{2}n-2m)x+mn$,
$\because$ 不含$x$项与$x^2$项,
$\therefore \begin{cases}2m-1=0,\\\dfrac{1}{2}n-2m=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=2.\end{cases}$
$\therefore m,n$的值分别为$\dfrac{1}{2},2$.
(2)$m^{2023}n^{2024}=(\dfrac{1}{2})^{2023}·2^{2024}=(\dfrac{1}{2}×2)^{2023}×2=2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先利用多项式乘多项式的法则将给定的代数式展开，合并同类项后，根据“代数式中不含$x$项与$x^2$项”的条件，可知$x$项和$x^2$项的系数都等于0，据此列出关于$m、n$的二元一次方程组，求解即可得到$m、n$的值；
(2) 先将所求代数式变形，逆用积的乘方运算公式$a^n·b^n=(ab)^n$，把$n^{2024}$拆分为$n^{2023}·n$，再将第(1)问求出的$m、n$的值代入，即可简便计算出结果。
【解析】
(1) 先展开并整理代数式：
$\begin{aligned}(x+2m)(x^2 - x + \frac{1}{2}n)&=x^3 - x^2 + \frac{1}{2}nx + 2mx^2 - 2mx + mn\\&=x^3 + (2m - 1)x^2 + (\frac{1}{2}n - 2m)x + mn\end{aligned}$
因为代数式不含$x$项与$x^2$项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}2m - 1 = 0\\\frac{1}{2}n - 2m = 0\end{cases}$
解第一个方程得$m=\frac{1}{2}$，将$m=\frac{1}{2}$代入第二个方程，解得$n=2$。
(2) 计算$m^{2023}n^{2024}$：
$\begin{aligned}m^{2023}n^{2024}&=(\frac{1}{2})^{2023}·2^{2024}\\&=(\frac{1}{2}×2)^{2023}×2\\&=1^{2023}×2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=\frac{1}{2}$，$n=2$；(2) $2$
【知识点】
多项式乘多项式、无关项的系数特征、积的乘方逆运算
【点评】
本题重点考查整式乘法运算和幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”，第二问通过逆用积的乘方公式可大幅简化计算，是整式乘法章节的典型基础题型，需熟练掌握相关运算规则和解题技巧。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先利用多项式乘多项式的法则将给定的代数式展开，合并同类项后，根据“代数式中不含$x$项与$x^2$项”的条件，可知$x$项和$x^2$项的系数都等于0，据此列出关于$m、n$的二元一次方程组，求解即可得到$m、n$的值；
(2) 先将所求代数式变形，逆用积的乘方运算公式$a^n·b^n=(ab)^n$，把$n^{2024}$拆分为$n^{2023}·n$，再将第(1)问求出的$m、n$的值代入，即可简便计算出结果。
【解析】
(1) 先展开并整理代数式：
$\begin{aligned}(x+2m)(x^2 - x + \frac{1}{2}n)&=x^3 - x^2 + \frac{1}{2}nx + 2mx^2 - 2mx + mn\\&=x^3 + (2m - 1)x^2 + (\frac{1}{2}n - 2m)x + mn\end{aligned}$
因为代数式不含$x$项与$x^2$项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}2m - 1 = 0\\\frac{1}{2}n - 2m = 0\end{cases}$
解第一个方程得$m=\frac{1}{2}$，将$m=\frac{1}{2}$代入第二个方程，解得$n=2$。
(2) 计算$m^{2023}n^{2024}$：
$\begin{aligned}m^{2023}n^{2024}&=(\frac{1}{2})^{2023}·2^{2024}\\&=(\frac{1}{2}×2)^{2023}×2\\&=1^{2023}×2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=\frac{1}{2}$，$n=2$；(2) $2$
【知识点】
多项式乘多项式、无关项的系数特征、积的乘方逆运算
【点评】
本题重点考查整式乘法运算和幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”，第二问通过逆用积的乘方公式可大幅简化计算，是整式乘法章节的典型基础题型，需熟练掌握相关运算规则和解题技巧。
【难度系数】
0.7
