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10.某地原来用$10\ \mathrm{hm}^2$耕地种植粮食作物，用$80\ \mathrm{hm}^2$耕地种植经济作物，为了增加粮食作物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作物的种植面积与经济作物的种植面积之比为$5:7$。设有$x\ \mathrm{hm}^2$种植经济作物的耕地被改为种植粮食作物，那么$x$满足怎样的分式方程？
答案
10.解:设有$x\ \mathrm{hm}^2$种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，根据题意得$\frac{x+10}{80-x}=\frac{5}{7}$。
解析
【分析】
解题时先梳理调配前后两种作物种植面积的变化：将x hm²经济作物耕地改种粮食后，粮食作物种植面积比原来增加x，经济作物种植面积比原来减少x；再找到题干的等量关系：调整后粮食作物种植面积与经济作物种植面积的比为5:7；最后将调整后的两个面积代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设有$x\ \mathrm{hm}^2$种植经济作物的耕地改为种植粮食作物：
1. 调整后粮食作物的种植面积为：$(10+x)\ \mathrm{hm}^2$
2. 调整后经济作物的种植面积为：$(80-x)\ \mathrm{hm}^2$
根据调整后两者面积比为$5:7$，可列等式：
$\frac{10+x}{80-x}=\frac{5}{7}$
【答案】
$\frac{x+10}{80-x}=\frac{5}{7}$
【知识点】
1. 列分式方程
2. 比例关系应用
【点评】
本题是基础的调配类应用题，解题关键是准确表示出调配后两个相关量的数值，再结合题干给出的比例关系建立等式，只要理清数量的增减变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理调配前后两种作物种植面积的变化：将x hm²经济作物耕地改种粮食后，粮食作物种植面积比原来增加x，经济作物种植面积比原来减少x；再找到题干的等量关系：调整后粮食作物种植面积与经济作物种植面积的比为5:7；最后将调整后的两个面积代入等量关系即可列出方程。
【解析】
设有$x\ \mathrm{hm}^2$种植经济作物的耕地改为种植粮食作物：
1. 调整后粮食作物的种植面积为：$(10+x)\ \mathrm{hm}^2$
2. 调整后经济作物的种植面积为：$(80-x)\ \mathrm{hm}^2$
根据调整后两者面积比为$5:7$，可列等式：
$\frac{10+x}{80-x}=\frac{5}{7}$
【答案】
$\frac{x+10}{80-x}=\frac{5}{7}$
【知识点】
1. 列分式方程
2. 比例关系应用
【点评】
本题是基础的调配类应用题，解题关键是准确表示出调配后两个相关量的数值，再结合题干给出的比例关系建立等式，只要理清数量的增减变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
11.甲、乙两地相距135 km，有大、小两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发5 h，小汽车比大汽车晚到30 min。已知大、小汽车的速度比为2：5，求两辆汽车的速度。（只列方程）
答案
11.解:设大汽车的速度为$2x\ \mathrm{km/h}$,则小汽车的速度为$5x\ \mathrm{km/h}$,根据题意得:$\frac{135}{2x}-\frac{135}{5x}=5-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
遇到已知两个量的比例关系的题目，我们可以先按比例设未知数，简化后续计算。本题已知大、小汽车速度比为2:5，因此可设大汽车速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，小汽车速度为$5x\ \mathrm{km/h}$。接下来找等量关系：两车行驶的路程都是135km，行驶时间的差值是核心等量关系。梳理时间线可知：大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min（即$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$），由此可得等式：大汽车全程行驶时间 - 小汽车全程行驶时间 = $5\mathrm{h}-\frac{1}{2}\mathrm{h}$，再结合“时间=路程÷速度”代入即可列出方程。
【解析】
首先统一单位：$30\ \mathrm{min}=\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
设大汽车的速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，则小汽车的速度为$5x\ \mathrm{km/h}$。
大汽车行驶全程的时间为$\frac{135}{2x}\ \mathrm{h}$，小汽车行驶全程的时间为$\frac{135}{5x}\ \mathrm{h}$。
根据两车的时间差关系可列方程：
$\frac{135}{2x}-\frac{135}{5x}=5-\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{135}{2x}-\frac{135}{5x}=5-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 行程问题等量关系
2. 分式方程列写
3. 按比例设元
【点评】
本题是行程类方程应用题的典型题型，解题的核心是准确梳理两车的时间差关系，易错点是易混淆时间差的计算逻辑，将时间差误写为$5+\frac{1}{2}$，采用按比例设未知数的方法能有效降低计算难度，减少出错。
【难度系数】
0.6
遇到已知两个量的比例关系的题目，我们可以先按比例设未知数，简化后续计算。本题已知大、小汽车速度比为2:5，因此可设大汽车速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，小汽车速度为$5x\ \mathrm{km/h}$。接下来找等量关系：两车行驶的路程都是135km，行驶时间的差值是核心等量关系。梳理时间线可知：大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min（即$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$），由此可得等式：大汽车全程行驶时间 - 小汽车全程行驶时间 = $5\mathrm{h}-\frac{1}{2}\mathrm{h}$，再结合“时间=路程÷速度”代入即可列出方程。
【解析】
首先统一单位：$30\ \mathrm{min}=\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
设大汽车的速度为$2x\ \mathrm{km/h}$，则小汽车的速度为$5x\ \mathrm{km/h}$。
大汽车行驶全程的时间为$\frac{135}{2x}\ \mathrm{h}$，小汽车行驶全程的时间为$\frac{135}{5x}\ \mathrm{h}$。
根据两车的时间差关系可列方程：
$\frac{135}{2x}-\frac{135}{5x}=5-\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{135}{2x}-\frac{135}{5x}=5-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 行程问题等量关系
2. 分式方程列写
3. 按比例设元
【点评】
本题是行程类方程应用题的典型题型，解题的核心是准确梳理两车的时间差关系，易错点是易混淆时间差的计算逻辑，将时间差误写为$5+\frac{1}{2}$，采用按比例设未知数的方法能有效降低计算难度，减少出错。
【难度系数】
0.6
知识点一 分式方程的解法
一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的 ），约去，从而转化成方程，然后再解这个方程。
一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的 ），约去，从而转化成方程，然后再解这个方程。
答案
1. 最简公分母 2. 分母 3. 整式 4. 整式
解析
【分析】
本题考查分式方程的解法步骤，解题时首先回忆解分式方程的核心思路：将陌生的分式方程转化为我们已经掌握解法的整式方程求解。要实现这个转化，需要消除方程里的分母，消除分母的方法就是给方程两边同时乘各分式的最简公分母，乘完后分母就可以被约掉，原方程就变成整式方程，后续只需解这个整式方程、再检验即可，对应空缺位置依次填入对应概念即可。
【解析】
根据分式方程的解法规则：解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程，最后对解得的根进行验根即可。因此四个空缺依次对应填入最简公分母、分母、整式、整式。
【答案】
最简公分母；分母；整式；整式
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 化归思想
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查分式方程解法的核心转化步骤，牢固掌握分式方程的基本求解思路就能准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程的解法步骤，解题时首先回忆解分式方程的核心思路：将陌生的分式方程转化为我们已经掌握解法的整式方程求解。要实现这个转化，需要消除方程里的分母，消除分母的方法就是给方程两边同时乘各分式的最简公分母，乘完后分母就可以被约掉，原方程就变成整式方程，后续只需解这个整式方程、再检验即可，对应空缺位置依次填入对应概念即可。
【解析】
根据分式方程的解法规则：解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程，最后对解得的根进行验根即可。因此四个空缺依次对应填入最简公分母、分母、整式、整式。
【答案】
最简公分母；分母；整式；整式
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 化归思想
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查分式方程解法的核心转化步骤，牢固掌握分式方程的基本求解思路就能准确作答。
【难度系数】
0.9
知识点二 增根
1.在分式方程变形中，如果产生了
2.产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个
3.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须
4.为了简便，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的
5.如果所得到的是原方程的增根，应当
1.在分式方程变形中，如果产生了
不适合
原方程的根，那么我们称它为原方程的增根。2.产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个
最简公分母
，而求出的解恰好使这个整式的值为零
。3.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须
检验
。4.为了简便，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的
分母
的值等于零就可以了。5.如果所得到的是原方程的增根，应当
舍去
。答案
1. 不适合 2. 最简公分母、零 3. 检验 4. 分母 5. 舍去
解析
【分析】
本题考查分式方程增根的相关基础概念，全部为教材原文识记类考点，解题时只需对应回忆增根的定义、产生原因、解分式方程的注意事项、验根方法以及增根的处理规则即可逐一填空：①回忆增根的定义对应第1空；②回忆增根的产生原因对应第2空的两个小空；③回忆解分式方程的必要步骤对应第3空；④回忆简便验根的方法对应第4空；⑤回忆增根的处理要求对应第5空。
【解析】
1. 根据增根的定义：在分式方程变形中，如果产生了不适合原方程的根，就称为原方程的增根，因此填“不适合”；
2. 增根的产生原因是去分母操作时，我们在方程两边同乘了一个最简公分母，若求出的解恰好使这个整式（最简公分母）的值为零，此时这个解就是增根，因此依次填“最简公分母”“零”；
3. 由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验，因此填“检验”；
4. 简便验根的方法为：只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零即可，若分母为零则该根为增根，因此填“分母”；
5. 增根不是原分式方程的有效根，因此如果得到的是原方程的增根，应当舍去，因此填“舍去”。
【答案】
1. 不适合 2. 最简公分母、零 3. 检验 4. 分母 5. 舍去
【知识点】
增根的概念，分式方程验根，增根的产生原因
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接围绕增根的相关核心知识点设题，熟练掌握教材相关定义就能快速作答，是学习分式方程求解必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程增根的相关基础概念，全部为教材原文识记类考点，解题时只需对应回忆增根的定义、产生原因、解分式方程的注意事项、验根方法以及增根的处理规则即可逐一填空：①回忆增根的定义对应第1空；②回忆增根的产生原因对应第2空的两个小空；③回忆解分式方程的必要步骤对应第3空；④回忆简便验根的方法对应第4空；⑤回忆增根的处理要求对应第5空。
【解析】
1. 根据增根的定义：在分式方程变形中，如果产生了不适合原方程的根，就称为原方程的增根，因此填“不适合”；
2. 增根的产生原因是去分母操作时，我们在方程两边同乘了一个最简公分母，若求出的解恰好使这个整式（最简公分母）的值为零，此时这个解就是增根，因此依次填“最简公分母”“零”；
3. 由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须进行检验，因此填“检验”；
4. 简便验根的方法为：只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零即可，若分母为零则该根为增根，因此填“分母”；
5. 增根不是原分式方程的有效根，因此如果得到的是原方程的增根，应当舍去，因此填“舍去”。
【答案】
1. 不适合 2. 最简公分母、零 3. 检验 4. 分母 5. 舍去
【知识点】
增根的概念，分式方程验根，增根的产生原因
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接围绕增根的相关核心知识点设题，熟练掌握教材相关定义就能快速作答，是学习分式方程求解必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
