例1 解方程：$\frac{2}{x-2} - \frac{x+2}{2x-4} = 1$。
[点拨] 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解。
[解] 去分母得 $4 - x - 2 = 2x - 4$。
解得 $x=2$。
经检验，$x=2$ 是原方程的增根，因此原方程无解。

解：原方程可整理为$\frac{2}{x-2} - \frac{x+2}{2(x-2)} = 1$，
方程两边同乘最简公分母$2(x-2)$，得：
$4 - (x+2) = 2(x-2)$，
去括号，得$4 - x - 2 = 2x - 4$，
移项、合并同类项，得$-3x = -6$，
系数化为1，得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$2(x-2)=0$，$x=2$是原分式方程的增根。
因此原方程无解。

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，思考步骤如下：第一步先整理各分式的分母，对可因式分解的分母先分解，找到最简公分母；第二步方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程，注意每一项都要乘公分母，避免漏乘；第三步按整式方程的常规解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求根；第四步必须检验：将求出的根代入最简公分母，若公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解，若公分母不为0，才是原方程的有效解。
【解析】
原方程可整理为$\frac{2}{x-2} - \frac{x+2}{2(x-2)} = 1$，
方程两边同乘最简公分母$2(x-2)$，得：
$4 - (x+2) = 2(x-2)$，
去括号，得$4 - x - 2 = 2x - 4$，
移项、合并同类项，得$-3x = -6$，
系数化为1，得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$2(x-2)=0$，因此$x=2$是原分式方程的增根。
因此原方程无解。
【答案】
原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的典型基础题，侧重考察分式方程的求解流程，需要特别注意的是，检验是解分式方程必不可少的步骤，去分母过程中可能产生使原分母为0的增根，出现增根时原分式方程无解，做题时切勿遗漏检验环节。
【难度系数】
0.7

|变式训练1| 方程$\frac{1}{2x}=\frac{2}{x-3}$的解为（）

A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=\frac{3}{5}$
D.$x=1$

A

【分析】
本题是分式方程求解类题目，解题思路遵循分式方程的标准求解步骤：首先确定方程两个分母$2x$和$x-3$的最简公分母为$2x(x-3)$，通过给方程两边同时乘最简公分母去掉分母，将分式方程转化为已经学过的一元一次方程；其次求解一元一次方程得到未知数的取值；最后检验所得未知数的取值是否会让原方程分母为0（即是否为增根），确定原方程的解后匹配选项即可。
【解析】
解分式方程$\frac{1}{2x}=\frac{2}{x-3}$的步骤如下：
1. 确定最简公分母为$2x(x-3)$，且要保证分母不为0，即$x≠0$，$x≠3$。
2. 去分母：方程两边同时乘$2x(x-3)$，可得：
$x-3=2×2x$
整理得：$x-3=4x$
3. 解一元一次方程：
移项得$x-4x=3$，合并同类项得$-3x=3$，系数化为1得$x=-1$。
4. 验根：将$x=-1$代入最简公分母$2x(x-3)$，得$2×(-1)×(-1-3)=8≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，求解时要注意去分母时不要漏乘项，同时不能省略验根步骤，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.8

例2 已知关于$x$的方程
$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{k - x}{2 - x}$。
(1)当$k=3$时，求该方程的解；
(2)若该方程有增根，求$k$的值。
[点拨] (1)把$k=3$代入方程计算，即可求出解。
(2)由分式方程有增根求出$x$的值，再将分式方程去分母后代入计算即可求出$k$的值。
[解] (1)把$k=3$代入方程得
$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3 - x}{2 - x}$。
去分母得 $1 + 3x - 6 = x - 3$。
解得 $x=1$。
经检验，$x=1$是原分式方程的解。
(2)将分式方程去分母得
$1 + 3x - 6 = x - k$。
由分式方程有增根得 $x - 2 = 0$，即 $x=2$。
把 $x=2$ 代入整式方程得 $2 - k = 1$。
解得 $k=1$。

解：(1)把$k=3$代入原方程得
$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3 - x}{2 - x}$
方程两边同乘$x-2$去分母，得
$1 + 3(x-2) = -(3-x)$
整理得$1 + 3x - 6 = x - 3$
解得$x=1$
经检验，$x=1$是原分式方程的解。
(2)将原方程两边同乘$x-2$去分母，得
$1 + 3(x-2) = -(k-x)$
整理得$1 + 3x - 6 = x - k$
∵分式方程有增根，
∴最简公分母$x-2=0$，即增根为$x=2$
把$x=2$代入去分母后的整式方程，得
$1 + 3×2 - 6 = 2 - k$
解得$k=1$

【分析】
（1）第一小问求解给定k值时的分式方程的解，解题思路为：先将k=3代入原方程，再将分式方程两边同乘最简公分母转化为整式方程，解出整式方程的根后，代入最简公分母检验，确认是否为原分式方程的解。
（2）第二小问已知方程有增根求k值，首先要明确增根的性质：增根是使分式方程最简公分母为0的根，同时是去分母后所得整式方程的根。因此先令最简公分母x-2=0得到增根x=2，再将原方程去分母得到整式方程，把x=2代入整式方程即可求出k的值。
【解析】
(1)把$k=3$代入原方程得
$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{3 - x}{2 - x}$
方程两边同乘$x-2$去分母，得
$1 + 3(x-2) = -(3-x)$
整理得$1 + 3x - 6 = x - 3$
解得$x=1$
经检验，$x=1$时，最简公分母$x-2≠0$，是原分式方程的解。
(2)将原方程两边同乘$x-2$去分母，得
$1 + 3(x-2) = -(k-x)$
整理得$1 + 3x - 6 = x - k$
∵分式方程有增根，
∴最简公分母$x-2=0$，即增根为$x=2$
把$x=2$代入去分母后的整式方程，得
$1 + 3×2 - 6 = 2 - k$
解得$k=1$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $k=1$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程增根的应用
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，解题核心是掌握分式方程“去分母转化为整式方程求解、检验”的常规步骤，理解增根的两个性质是解决第二问的关键，需注意解分式方程时不要遗漏检验步骤。
【难度系数】
0.75

|变式训练2| 若分式方程$\frac{x}{x-3}+1=\frac{m}{x-3}$有增根，则$m=$（）

A.0
B.1
C.3
D.6

C

【分析】
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的两个特征：一是增根会使原分式方程的分母为0，二是增根是原分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题时先根据原分式的分母确定增根的可能值，再将分式方程转化为整式方程，最后把增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
第一步：确定增根的值
分式方程的分母为$x-3$，方程有增根说明分母为0，即$x-3=0$，解得增根为$x=3$。
第二步：将分式方程化为整式方程
给方程$\frac{x}{x-3}+1=\frac{m}{x-3}$两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，去分母得：
$x + (x - 3) = m$
整理得：$2x - 3 = m$
第三步：代入增根求m
把增根$x=3$代入整式方程$2x - 3 = m$，得：
$2×3 - 3 = m$
计算得$m=3$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根相关的基础题型，解题核心是牢记增根的性质，按照“找增根→化整式方程→代入求参数”的步骤求解即可，是分式方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

例3 若关于x的分式方程$\frac{2m+x}{x-3} -1 = \frac{2}{x}$无解，求m的值。
[点拨] 将分式方程去分母后转化为整式方程，由分式方程无解可确定m的值。
[解] 将分式方程去分母得
$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$，
即$(2m + 1)x + 6 = 0$。
当$2m + 1 = 0$，即$m = -\frac{1}{2}$时，方程无解。
当$2m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -\frac{1}{2}$时，由分式方程无解，得到$x = 0$或$x = 3$。
把$x = 0$代入整式方程得m无解；
把$x = 3$代入整式方程得$6m + 9 = 0$，
解得$m = -\frac{3}{2}$。
综上，m的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{1}{2}$。

解：方程两边同乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$x(2m+x) - x(x-3) = 2(x-3)$
去括号化简：
$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$
整理得整式方程：
$(2m+1)x + 6 = 0$
分两种情况讨论：
1. 当$2m+1=0$，即$m=-\frac{1}{2}$时，整式方程变为$0· x +6=0$，该整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当$2m+1≠0$时，整式方程有解。若原分式方程无解，则该解为原分式方程的增根，原方程的增根为$x=0$或$x=3$：
将$x=0$代入整式方程，得$6=0$，等式不成立，不存在满足条件的$m$；
将$x=3$代入整式方程，得$3(2m+1)+6=0$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
综上，$m$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{1}{2}$。

【分析】
求解分式方程无解求参数的问题，首先要明确分式方程无解包含两种情况：①去分母后转化得到的整式方程本身无解；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。解题时先将原分式方程去分母转化为整式方程，再分上述两种情况分别讨论，即可求出对应的m值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$x(2m+x) - x(x-3) = 2(x-3)$
去括号化简：
$2mx + x^2 - x^2 + 3x = 2x - 6$
整理得整式方程：
$(2m+1)x + 6 = 0$
分两种情况讨论：
1. 当$2m+1=0$，即$m=-\frac{1}{2}$时，整式方程变为$0·x +6=0$，该整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当$2m+1≠0$时，整式方程有解。若原分式方程无解，则该解为原分式方程的增根，原方程的增根为$x=0$或$x=3$：
将$x=0$代入整式方程，得$6=0$，等式不成立，不存在满足条件的$m$；
将$x=3$代入整式方程，得$3(2m+1)+6=0$，解得$m=-\frac{3}{2}$。
综上，$m$的值为$-\frac{3}{2}$或$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$m$的值为$-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 分式方程无解的判定
2. 分式方程的增根
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程求参数的典型题型，解题核心是明确分式方程无解的两种情况，需注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，同时要熟练掌握增根的概念和代入求值的方法，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.6

|变式训练3| 若关于x的方程$\frac{mx}{x^2 -1} - \frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-1}$无解，则m的值为。

4,5,6

【分析】
分式方程无解包含两种情形：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先去分母将分式方程化为整式方程，再分别对两种情形分类讨论，就能求出所有符合条件的m值。
【解析】
原方程分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，要使分式有意义，则$x≠1$且$x≠-1$。
方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，消去分母得：
$mx - 3(x - 1) = 2(x + 1)$
去括号：$mx - 3x + 3 = 2x + 2$
移项、合并同类项得：$(m - 5)x = -1$
分两种情况讨论：
1. 整式方程本身无解：
当一次项系数为0时，即$m-5=0$，解得$m=5$。
此时方程变为$0·x=-1$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意。
2. 整式方程的解是原分式方程的增根：
原方程增根为$x=1$或$x=-1$：
① 把$x=1$代入$(m - 5)x = -1$，得$m-5=-1$，解得$m=4$；
② 把$x=-1$代入$(m - 5)x = -1$，得$-(m-5)=-1$，解得$m=6$。
综上，m的值为4,5,6。
【答案】
4,5,6
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程；分类讨论思想
【点评】
本题是分式方程无解类的典型题型，解题关键是明确分式方程无解的两种情况，易错点是容易忽略整式方程本身无解的情况，求解时需全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4