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9.如图,已知A,B,C,D是$\odot O$上的点,$∠1=∠2$,则下列结论中正确的有 (
①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$;
②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$;
③$AC=BD$;
④$∠BOD=∠AOC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$;
②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$;
③$AC=BD$;
④$∠BOD=∠AOC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9.D
解析
【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦的关系的应用。解题思路：首先明确在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；再结合已知∠1=∠2，通过等式性质推导相关圆心角相等，逐一验证4个结论即可。
【解析】
解：在$\odot O$中：
1. ∠1是$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角，∠2是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，已知∠1=∠2，根据同圆中相等的圆心角对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故①正确；
2. 由∠1=∠2，可得∠1+∠COB=∠2+∠COB，即∠BOD=∠AOC，故④正确；
3. ∠BOD是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，∠BOD=∠AOC，根据同圆中相等的圆心角对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，故②正确；
4. 由$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中相等的弧对的弦相等，可得AC=BD，故③正确。
综上，①②③④共4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握同圆内圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，计算时注意公共角的等量代换即可。
【难度系数】
0.85
本题考查同圆中圆心角、弧、弦的关系的应用。解题思路：首先明确在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；再结合已知∠1=∠2，通过等式性质推导相关圆心角相等，逐一验证4个结论即可。
【解析】
解：在$\odot O$中：
1. ∠1是$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角，∠2是$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，已知∠1=∠2，根据同圆中相等的圆心角对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故①正确；
2. 由∠1=∠2，可得∠1+∠COB=∠2+∠COB，即∠BOD=∠AOC，故④正确；
3. ∠BOD是$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角，∠BOD=∠AOC，根据同圆中相等的圆心角对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，故②正确；
4. 由$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，根据同圆中相等的弧对的弦相等，可得AC=BD，故③正确。
综上，①②③④共4个结论均正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握同圆内圆心角、弧、弦三者的对应相等关系，计算时注意公共角的等量代换即可。
【难度系数】
0.85
10.如图，AB是$\odot O$的直径，BC，CD，DA是$\odot O$的弦，且$BC=CD=DA$，则$∠ BCD=$（
A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
（第10题）（第11题）
B
）A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
（第10题）（第11题）
答案
10.B
解析
【分析】
遇到同圆中相等的弦，首先联想到“同圆中等弦对等弧、等圆心角”的性质。已知AB是⊙O的直径，可知AB对应的半圆圆心角为180°，结合BC=CD=DA的条件，可先求出每条弦对应的圆心角度数。要求∠BCD，可通过连接OC、OD，将∠BCD拆分为∠OCD和∠OCB两部分，再利用等边三角形的性质分别求出两个角的度数，相加即可得到结果。
【解析】
连接OC、OD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵BC=CD=DA，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得：
$∠ COB=∠ COD=∠ DOA=180°÷3=60°$。
又
∵OC=OB（均为⊙O的半径），$∠ COB=60°$，
∴△COB是等边三角形，
∴$∠ OCB=60°$。
同理，△COD中，OC=OD，$∠ COD=60°$，
∴△COD是等边三角形，
∴$∠ OCD=60°$。
∴$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD=60°+60°=120°$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等边三角形的判定与性质；直径的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的常考题，解题的关键是合理作出辅助线，将待求角拆分为两个等边三角形的内角进行求解，解题过程用到的都是圆和三角形的基础性质，难度不大。
【难度系数】
0.7
遇到同圆中相等的弦，首先联想到“同圆中等弦对等弧、等圆心角”的性质。已知AB是⊙O的直径，可知AB对应的半圆圆心角为180°，结合BC=CD=DA的条件，可先求出每条弦对应的圆心角度数。要求∠BCD，可通过连接OC、OD，将∠BCD拆分为∠OCD和∠OCB两部分，再利用等边三角形的性质分别求出两个角的度数，相加即可得到结果。
【解析】
连接OC、OD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵BC=CD=DA，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，可得：
$∠ COB=∠ COD=∠ DOA=180°÷3=60°$。
又
∵OC=OB（均为⊙O的半径），$∠ COB=60°$，
∴△COB是等边三角形，
∴$∠ OCB=60°$。
同理，△COD中，OC=OD，$∠ COD=60°$，
∴△COD是等边三角形，
∴$∠ OCD=60°$。
∴$∠ BCD=∠ OCB+∠ OCD=60°+60°=120°$。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等边三角形的判定与性质；直径的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的常考题，解题的关键是合理作出辅助线，将待求角拆分为两个等边三角形的内角进行求解，解题过程用到的都是圆和三角形的基础性质，难度不大。
【难度系数】
0.7
11. 易错题如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,则AB与2CD的大小关系是（
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.以上都不对
C
）A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.以上都不对
答案
11.C
解析
【分析】
要判断AB和2CD的大小关系，不能直接由弧的倍数关系推导弦的倍数关系。我们可以通过构造等弧的方法，将2倍的$\overset{\frown}{CD}$转化为一段和$\overset{\frown}{AB}$相等的弧，得到对应的等弦，再借助三角形三边关系比较弦的长度：首先在圆上截取一段和$\overset{\frown}{CD}$相等的$\overset{\frown}{DE}$，则$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，得到$CE=AB$，再在$△ CDE$中用三边关系比较CE和2CD的大小即可。
【解析】
在$\odot O$上截取$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，则$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=2\overset{\frown}{CD}$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AB}$。
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$CE=AB$。
在$△ CDE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得$CE＜CD+DE$。
又
∵$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$DE=CD$，
∴$CE＜CD+CD=2CD$，
代入$CE=AB$，得$AB＜2CD$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧与弦的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，容易陷入“弧的倍数关系对应弦的倍数关系”的误区，解题的核心是通过构造等弧将未知的弦长比较转化为熟悉的三角形三边关系问题，避免思维定式。
【难度系数】
0.6
要判断AB和2CD的大小关系，不能直接由弧的倍数关系推导弦的倍数关系。我们可以通过构造等弧的方法，将2倍的$\overset{\frown}{CD}$转化为一段和$\overset{\frown}{AB}$相等的弧，得到对应的等弦，再借助三角形三边关系比较弦的长度：首先在圆上截取一段和$\overset{\frown}{CD}$相等的$\overset{\frown}{DE}$，则$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，得到$CE=AB$，再在$△ CDE$中用三边关系比较CE和2CD的大小即可。
【解析】
在$\odot O$上截取$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，则$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=2\overset{\frown}{CD}$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AB}$。
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$CE=AB$。
在$△ CDE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得$CE＜CD+DE$。
又
∵$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$DE=CD$，
∴$CE＜CD+CD=2CD$，
代入$CE=AB$，得$AB＜2CD$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧与弦的关系，三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，容易陷入“弧的倍数关系对应弦的倍数关系”的误区，解题的核心是通过构造等弧将未知的弦长比较转化为熟悉的三角形三边关系问题，避免思维定式。
【难度系数】
0.6
12.如图，以$□ ABCD$的顶点A为圆心、AB长为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交$\odot A$于点G.
(1)求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
(2)若$∠ D=50°$，求$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角的度数.
(1)求证：$\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$；
(2)若$∠ D=50°$，求$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角的度数.
答案
12.(1)略.(2)解: $100°$.
解析
【分析】
(1) 要证同圆中两段弧相等，只需证两段弧对应的圆心角相等。首先连接辅助线AF，由同圆半径相等可得AB=AF，推出∠B=∠AFB；再结合平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出同位角∠GAE=∠B、内错角∠EAF=∠AFB，等量代换得到两个圆心角相等，即可证得弧相等。
(2) 求$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角，即求圆心角∠GAF的度数。先利用平行四边形对角相等的性质得到∠B=∠D=50°，再结合等腰△ABF的内角和求出∠BAF的度数，最后根据平角的性质计算∠GAF的度数即可。
【解析】
(1) 证明：连接AF，
∵ 点A为圆心，AB、AF均为$\odot A$的半径，
∴ $AB=AF$，
∴ $∠ABF=∠AFB$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠EAF=∠AFB$，$∠GAE=∠ABF$，
∴ $∠GAE=∠EAF$，
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $∠B=∠D=50°$，
∵ $AB=AF$，
∴ $∠AFB=∠B=50°$，
在$△ ABF$中，$∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-50°-50°=80°$，
∵ 点G在BA的延长线上，
∴ $∠GAF=180°-∠BAF=180°-80°=100°$，
即$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角为$100°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $100°$
【知识点】
平行四边形的性质，圆心角与弧的关系，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，融合了平行四边形、圆的基本性质相关知识点，解题核心是合理添加辅助线，通过平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系，能有效检验学生对基础知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证同圆中两段弧相等，只需证两段弧对应的圆心角相等。首先连接辅助线AF，由同圆半径相等可得AB=AF，推出∠B=∠AFB；再结合平行四边形对边平行的性质，得到AD//BC，进而推出同位角∠GAE=∠B、内错角∠EAF=∠AFB，等量代换得到两个圆心角相等，即可证得弧相等。
(2) 求$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角，即求圆心角∠GAF的度数。先利用平行四边形对角相等的性质得到∠B=∠D=50°，再结合等腰△ABF的内角和求出∠BAF的度数，最后根据平角的性质计算∠GAF的度数即可。
【解析】
(1) 证明：连接AF，
∵ 点A为圆心，AB、AF均为$\odot A$的半径，
∴ $AB=AF$，
∴ $∠ABF=∠AFB$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠EAF=∠AFB$，$∠GAE=∠ABF$，
∴ $∠GAE=∠EAF$，
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{GE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $∠B=∠D=50°$，
∵ $AB=AF$，
∴ $∠AFB=∠B=50°$，
在$△ ABF$中，$∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-50°-50°=80°$，
∵ 点G在BA的延长线上，
∴ $∠GAF=180°-∠BAF=180°-80°=100°$，
即$\overset{\frown}{FG}$所对的圆心角为$100°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $100°$
【知识点】
平行四边形的性质，圆心角与弧的关系，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，融合了平行四边形、圆的基本性质相关知识点，解题核心是合理添加辅助线，通过平行线、等腰三角形的性质推导角的等量关系，能有效检验学生对基础知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 能力训练点·逻辑推理与论证 (1)如图①，在$\odot O$中，$∠ AOB=90°$，且C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F。求证：$AE=BF=CD$。(2)在(1)中，如果$∠ AOB=120°$，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
答案
13.(1)略.(2)解: 成立.证明略.
解析
【分析】
(1) 要证明$AE=BF=CD$，可先利用同圆中等弧对等弦得到$AC=CD=BD$，只需再证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。首先根据C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，算出每段弧对应的圆心角为$30°$；再结合$OA=OB$、$∠ AOB=90°$求出$∠ OAB=∠ OBA=45°$，利用三角形外角性质得到$∠ AEC$的度数，再在等腰$△ AOC$中求出$∠ ACO$的度数，可得$∠ AEC=∠ ACO$，推出$AE=AC$，同理可证$BF=BD$，最后通过等量代换得到结论。
(2) 判断结论是否成立可沿用(1)的思路：先算出三等分$120°$圆心角后每段圆心角为$40°$，再求出等腰$△ AOB$中底角为$30°$，同样通过角度推导证明$∠ AEC=∠ ACE$，得到$AE=AC$，同理$BF=BD$，结合等弧对等弦得到$AC=CD=BD$，即可证明结论仍成立。
【解析】
(1) 证明：连接$AC$、$BD$。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×90°=30°$，且$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，
∴ $∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ ACO=∠ AEC$，
∴ $AE=AC$。
同理可证$BF=BD$，
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
(2) 结论成立，证明如下：
连接$AC$、$BD$。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，且$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，
∴ $∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ ACO=∠ AEC$，
∴ $AE=AC$。
同理可证$BF=BD$，
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$，即(1)的结论仍成立。
【答案】
(1) $AE=BF=CD$，得证；(2) 成立
【知识点】
圆心角弧弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题考查圆的基本性质与三角形知识的综合应用，解题的关键是抓住弧相等的条件转化为圆心角相等，再通过角度推导得到边相等，运用了转化的思想方法，是圆心角相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$AE=BF=CD$，可先利用同圆中等弧对等弦得到$AC=CD=BD$，只需再证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。首先根据C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，算出每段弧对应的圆心角为$30°$；再结合$OA=OB$、$∠ AOB=90°$求出$∠ OAB=∠ OBA=45°$，利用三角形外角性质得到$∠ AEC$的度数，再在等腰$△ AOC$中求出$∠ ACO$的度数，可得$∠ AEC=∠ ACO$，推出$AE=AC$，同理可证$BF=BD$，最后通过等量代换得到结论。
(2) 判断结论是否成立可沿用(1)的思路：先算出三等分$120°$圆心角后每段圆心角为$40°$，再求出等腰$△ AOB$中底角为$30°$，同样通过角度推导证明$∠ AEC=∠ ACE$，得到$AE=AC$，同理$BF=BD$，结合等弧对等弦得到$AC=CD=BD$，即可证明结论仍成立。
【解析】
(1) 证明：连接$AC$、$BD$。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×90°=30°$，且$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，
∴ $∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ $∠ ACO=∠ AEC$，
∴ $AE=AC$。
同理可证$BF=BD$，
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
(2) 结论成立，证明如下：
连接$AC$、$BD$。
∵ C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，且$AC=CD=BD$（同圆中，等弧对等弦）。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=120°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
由三角形外角性质得：$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
在$△ AOC$中，$OA=OC$，
∴ $∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴ $∠ ACO=∠ AEC$，
∴ $AE=AC$。
同理可证$BF=BD$，
又
∵ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$，即(1)的结论仍成立。
【答案】
(1) $AE=BF=CD$，得证；(2) 成立
【知识点】
圆心角弧弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题考查圆的基本性质与三角形知识的综合应用，解题的关键是抓住弧相等的条件转化为圆心角相等，再通过角度推导得到边相等，运用了转化的思想方法，是圆心角相关性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.6
