登录
变式训练2 | 如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置,若∠EFB=68°,则∠AED'=
44°
。答案
44°
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用长方形对边平行的性质，得到内错角∠DEF和∠EFB相等；再根据折叠的轴对称性质，可知折叠后∠D'EF和∠DEF大小相等；最后结合平角为180°，用平角减去∠DEF和∠D'EF的和，即可求出∠AED'的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形
∴AD//BC
∴∠DEF = ∠EFB = 68°（两直线平行，内错角相等）
∵纸片沿EF折叠，点D落在D'位置
∴∠D'EF = ∠DEF = 68°（折叠前后对应角相等）
又
∵∠AED' + ∠D'EF + ∠DEF = 180°（平角的定义）
∴∠AED' = 180° - 68° - 68° = 44°
【答案】
44°
【知识点】
平行线的性质；轴对称的性质；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算题型，核心是结合平行线性质和折叠的轴对称性质找到相等的角，再利用平角的性质列式计算，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先利用长方形对边平行的性质，得到内错角∠DEF和∠EFB相等；再根据折叠的轴对称性质，可知折叠后∠D'EF和∠DEF大小相等；最后结合平角为180°，用平角减去∠DEF和∠D'EF的和，即可求出∠AED'的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形
∴AD//BC
∴∠DEF = ∠EFB = 68°（两直线平行，内错角相等）
∵纸片沿EF折叠，点D落在D'位置
∴∠D'EF = ∠DEF = 68°（折叠前后对应角相等）
又
∵∠AED' + ∠D'EF + ∠DEF = 180°（平角的定义）
∴∠AED' = 180° - 68° - 68° = 44°
【答案】
44°
【知识点】
平行线的性质；轴对称的性质；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算题型，核心是结合平行线性质和折叠的轴对称性质找到相等的角，再利用平角的性质列式计算，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
1.“二十四节气”是根据太阳在黄道(即地球绕太阳公转的轨道)上的位置来划分的，是我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法。下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是(
B
)答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪个图案是轴对称图案，首先要明确轴对称图形的判定标准：如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。我们只需要按照这个标准，逐一验证四个选项中的图案即可，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，对各选项逐一判断：
选项A：惊蛰对应的图案，沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图案；
选项B：立春对应的图案，沿中间的竖直线折叠，左右两部分可以完全重合，是轴对称图案；
选项C：雨水对应的图案，沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图案；
选项D：芒种对应的图案，沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图案。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合我国传统二十四节气文化考查轴对称图形的判断，出题形式新颖，既考查了数学核心知识点，又能帮助学生了解传统文化，只要掌握轴对称图形的判断方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个图案是轴对称图案，首先要明确轴对称图形的判定标准：如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。我们只需要按照这个标准，逐一验证四个选项中的图案即可，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，对各选项逐一判断：
选项A：惊蛰对应的图案，沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图案；
选项B：立春对应的图案，沿中间的竖直线折叠，左右两部分可以完全重合，是轴对称图案；
选项C：雨水对应的图案，沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图案；
选项D：芒种对应的图案，沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图案。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合我国传统二十四节气文化考查轴对称图形的判断，出题形式新颖，既考查了数学核心知识点，又能帮助学生了解传统文化，只要掌握轴对称图形的判断方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
2.把一张长方形纸片按如图(1)、图(2)所示的方式从右向左连续对折两次后得到图(3),再在图(3)中挖去一个三角形小孔,则重新展开后得到的图形是(
C
)答案
2.C
解析
【分析】
本题是折叠挖孔后展开的判断问题，核心是利用轴对称的性质解题。首先明确：每次纸张对折的本质是沿折痕作轴对称变换，折痕就是对称轴，折叠后重合的部分关于折痕对称。我们可以按展开顺序逆推：先分析对折两次后挖孔，第一次沿第二次的折痕展开时，挖孔的图形会关于第二次的折痕对称；再沿第一次的折痕展开时，已有的图形会关于第一次的折痕对称，同时注意三角形的朝向符合轴对称特征，就能匹配到正确选项。
【解析】
1. 先明确两次对折的特征：两次均为从右向左的竖直对折，因此得到两条互相平行的竖直折痕，这两条折痕就是两次折叠对应的对称轴。
2. 对折两次后挖去三角形小孔，此时小孔在四层重合的纸张上，首先沿第二次对折的折痕展开，会得到2个关于该折痕对称的三角形，两个三角形的开口均朝向这条折痕。
3. 再沿第一次对折的折痕展开，已有的2个三角形会关于第一次的折痕再做一次轴对称，最终得到4个三角形，相邻的三角形均沿对应折痕对称，符合该特征的只有选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，图形折叠问题，利用轴对称设计图案
【点评】
这道题结合动手操作与轴对称知识，既可以通过空间想象推导展开后的图形，也可以通过实际折叠操作验证结果，解题的关键是抓住折痕为对称轴、折叠前后的图形关于折痕对称这一核心规律。
【难度系数】
0.6
本题是折叠挖孔后展开的判断问题，核心是利用轴对称的性质解题。首先明确：每次纸张对折的本质是沿折痕作轴对称变换，折痕就是对称轴，折叠后重合的部分关于折痕对称。我们可以按展开顺序逆推：先分析对折两次后挖孔，第一次沿第二次的折痕展开时，挖孔的图形会关于第二次的折痕对称；再沿第一次的折痕展开时，已有的图形会关于第一次的折痕对称，同时注意三角形的朝向符合轴对称特征，就能匹配到正确选项。
【解析】
1. 先明确两次对折的特征：两次均为从右向左的竖直对折，因此得到两条互相平行的竖直折痕，这两条折痕就是两次折叠对应的对称轴。
2. 对折两次后挖去三角形小孔，此时小孔在四层重合的纸张上，首先沿第二次对折的折痕展开，会得到2个关于该折痕对称的三角形，两个三角形的开口均朝向这条折痕。
3. 再沿第一次对折的折痕展开，已有的2个三角形会关于第一次的折痕再做一次轴对称，最终得到4个三角形，相邻的三角形均沿对应折痕对称，符合该特征的只有选项C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，图形折叠问题，利用轴对称设计图案
【点评】
这道题结合动手操作与轴对称知识，既可以通过空间想象推导展开后的图形，也可以通过实际折叠操作验证结果，解题的关键是抓住折痕为对称轴、折叠前后的图形关于折痕对称这一核心规律。
【难度系数】
0.6
3.如图,小聪将一张面积为1的正方形纸片按如下方式操作:
①将正方形纸片的四个角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉;
②在余下的纸片上依次重复以上操作。
当完成第2025次操作时,余下纸片的面积为(
A.$2^{2025}$
B.$\frac{1}{2^{2024}}$
C.$\frac{1}{2^{2025}}$
D.$\frac{1}{2^{2026}}$
①将正方形纸片的四个角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉;
②在余下的纸片上依次重复以上操作。
当完成第2025次操作时,余下纸片的面积为(
C
)A.$2^{2025}$
B.$\frac{1}{2^{2024}}$
C.$\frac{1}{2^{2025}}$
D.$\frac{1}{2^{2026}}$
答案
3.C
解析
【分析】
我们可以先从简单的前几次操作入手，计算每次操作后余下纸片的面积，找到面积变化的规律，再利用规律求解第2025次操作后的面积。首先明确折叠的性质：折叠前后图形的面积不变，第一次操作剪掉的四个等腰直角三角形的总面积等于余下图形的面积，因此每次操作后余下的面积都是操作前面积的$\frac{1}{2}$，据此可推导通用规律。
【解析】
设初始正方形纸片的面积为$S_0$，由题意得$S_0=1$。
第1次操作后，余下纸片的面积$S_1 = S_0 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$；
第2次操作后，余下纸片的面积$S_2 = S_1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$；
第3次操作后，余下纸片的面积$S_3 = S_2 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^3}$；
……
由此可归纳规律：第$n$次操作后，余下纸片的面积$S_n = \frac{1}{2^n}$。
当$n=2025$时，$S_{2025} = \frac{1}{2^{2025}}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；规律探究；轴对称应用
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是结合折叠的性质找到每次操作后面积的变化规律，即每次操作后余下面积为之前的$\frac{1}{2}$，掌握这一关系即可快速求解，避免逐次计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
我们可以先从简单的前几次操作入手，计算每次操作后余下纸片的面积，找到面积变化的规律，再利用规律求解第2025次操作后的面积。首先明确折叠的性质：折叠前后图形的面积不变，第一次操作剪掉的四个等腰直角三角形的总面积等于余下图形的面积，因此每次操作后余下的面积都是操作前面积的$\frac{1}{2}$，据此可推导通用规律。
【解析】
设初始正方形纸片的面积为$S_0$，由题意得$S_0=1$。
第1次操作后，余下纸片的面积$S_1 = S_0 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$；
第2次操作后，余下纸片的面积$S_2 = S_1 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$；
第3次操作后，余下纸片的面积$S_3 = S_2 × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^3}$；
……
由此可归纳规律：第$n$次操作后，余下纸片的面积$S_n = \frac{1}{2^n}$。
当$n=2025$时，$S_{2025} = \frac{1}{2^{2025}}$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；规律探究；轴对称应用
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是结合折叠的性质找到每次操作后面积的变化规律，即每次操作后余下面积为之前的$\frac{1}{2}$，掌握这一关系即可快速求解，避免逐次计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
4.如图是$4×4$的正方形网格，其中已有3个小方格涂成黑色，在剩下的13个白色小方格中随意选一个涂成黑色，使得黑色小方格组成的图形为轴对称图形，共有
4
种涂法。答案
4.4
解析
【分析】
解题的核心依据是轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。首先先明确4×4正方形网格的4条常见对称轴：竖直中线、水平中线、两条对角线。接下来针对每条对称轴，判断需要补涂哪个白格，可让所有黑色小方格关于该对称轴对称，最后统计不重复的符合要求的涂法总数即可。
【解析】
我们给网格从上到下记为1~4行，从左到右记为1~4列，原有3个黑格的位置为(2,2)、(3,2)、(4,3)。我们对剩余13个白格逐一验证：
1. 若选择对应对称轴为从左上到右下的对角线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求；
2. 若选择对应对称轴为从右上到左下的对角线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求；
3. 若选择对应对称轴为竖直中线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求；
4. 若选择对应对称轴为水平中线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求。
上述4种涂法对应的白格位置互不重复，其余白格涂黑后均无法使黑色图形成为轴对称图形，因此符合要求的涂法共4种。
【答案】
4
【知识点】
轴对称图形的定义，利用轴对称设计图案
【点评】
本题考查轴对称图形的实际应用，需要结合网格特征逐一排查符合要求的位置，解题时需细心避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6
解题的核心依据是轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。首先先明确4×4正方形网格的4条常见对称轴：竖直中线、水平中线、两条对角线。接下来针对每条对称轴，判断需要补涂哪个白格，可让所有黑色小方格关于该对称轴对称，最后统计不重复的符合要求的涂法总数即可。
【解析】
我们给网格从上到下记为1~4行，从左到右记为1~4列，原有3个黑格的位置为(2,2)、(3,2)、(4,3)。我们对剩余13个白格逐一验证：
1. 若选择对应对称轴为从左上到右下的对角线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求；
2. 若选择对应对称轴为从右上到左下的对角线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求；
3. 若选择对应对称轴为竖直中线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求；
4. 若选择对应对称轴为水平中线，补涂对应对称位置的白格后图形符合轴对称要求。
上述4种涂法对应的白格位置互不重复，其余白格涂黑后均无法使黑色图形成为轴对称图形，因此符合要求的涂法共4种。
【答案】
4
【知识点】
轴对称图形的定义，利用轴对称设计图案
【点评】
本题考查轴对称图形的实际应用，需要结合网格特征逐一排查符合要求的位置，解题时需细心避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6
5.将如图所示的正方形沿对角线对折,把对折后重合的两个小正方形内的单项式相乘,乘积是
$-6ab^2$(答案不唯一)
(写出一个结论即可)。答案
5.$-6ab^2$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确正方形沿对角线对折有两种情况，不同对折方式下重合的小正方形内的单项式不同；接下来回忆单项式乘法的计算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；最后任选一组重合的单项式，按法则计算乘积即可。
【解析】
正方形沿对角线对折有两种重合情况：
情况1：沿左上至右下的对角线对折，此时重合的单项式为$-2ab$和$3b$，计算乘积：
$(-2ab) × 3b = (-2 × 3) · a · (b · b) = -6ab^2$
情况2：沿右上至左下的对角线对折，此时重合的单项式为$\frac{3}{2}a$和$2a^2$，计算乘积：
$\frac{3}{2}a × 2a^2 = (\frac{3}{2} × 2) · (a · a^2) = 3a^3$
题目要求写出一个结论即可，任选其一作答。
【答案】
$-6ab^2$（答案不唯一）
【知识点】
单项式乘法、轴对称的性质、同底数幂的乘法
【点评】
本题将轴对称性质和整式运算相结合，需要先根据对折的特点找到重合的单项式，再按照单项式乘法法则计算，解题时要注意存在两种对折情况，答案不唯一，侧重对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正方形沿对角线对折有两种情况，不同对折方式下重合的小正方形内的单项式不同；接下来回忆单项式乘法的计算法则：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；最后任选一组重合的单项式，按法则计算乘积即可。
【解析】
正方形沿对角线对折有两种重合情况：
情况1：沿左上至右下的对角线对折，此时重合的单项式为$-2ab$和$3b$，计算乘积：
$(-2ab) × 3b = (-2 × 3) · a · (b · b) = -6ab^2$
情况2：沿右上至左下的对角线对折，此时重合的单项式为$\frac{3}{2}a$和$2a^2$，计算乘积：
$\frac{3}{2}a × 2a^2 = (\frac{3}{2} × 2) · (a · a^2) = 3a^3$
题目要求写出一个结论即可，任选其一作答。
【答案】
$-6ab^2$（答案不唯一）
【知识点】
单项式乘法、轴对称的性质、同底数幂的乘法
【点评】
本题将轴对称性质和整式运算相结合，需要先根据对折的特点找到重合的单项式，再按照单项式乘法法则计算，解题时要注意存在两种对折情况，答案不唯一，侧重对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
