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1. 如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在$\overset{\frown}{AB}$上. 若PA的长为2，则△PEF的周长是
4
.答案
1. 4
解析
【分析】
本题可利用切线长定理解题，解题思路如下：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，PA、PB是从P点引的⊙O的两条切线，故PA=PB；EF是⊙O的切线，切点为C，EA、EC是从E点引的⊙O的两条切线，FB、FC是从F点引的⊙O的两条切线，故EA=EC、FB=FC。接下来将△PEF的周长拆分为PE+EF+PF，再把EF拆为EC+CF，通过等量代换将周长转化为PA+PB的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴根据切线长定理可得：$PB = PA = 2$
又
∵EF是⊙O的切线，切点为C，EA切⊙O于A，FB切⊙O于B
∴根据切线长定理可得：$EA = EC$，$FB = FC$
△PEF的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PEF}&=PE + EF + PF\\&=PE + EC + CF + PF\end{aligned}$
将EC替换为EA，CF替换为FB，得：
$\begin{aligned}C_{△ PEF}&=PE + EA + FB + PF\\&=(PE+EA)+(PF+FB)\\&=PA + PB\\&=2 + 2 = 4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1. 切线长定理
2. 等量代换
3. 三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的核心是通过切线长定理找到相等的线段，将待求的三角形周长转化为已知长度的切线长之和，解题时注意拆分线段进行代换即可。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理解题，解题思路如下：首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。观察图形可知，PA、PB是从P点引的⊙O的两条切线，故PA=PB；EF是⊙O的切线，切点为C，EA、EC是从E点引的⊙O的两条切线，FB、FC是从F点引的⊙O的两条切线，故EA=EC、FB=FC。接下来将△PEF的周长拆分为PE+EF+PF，再把EF拆为EC+CF，通过等量代换将周长转化为PA+PB的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴根据切线长定理可得：$PB = PA = 2$
又
∵EF是⊙O的切线，切点为C，EA切⊙O于A，FB切⊙O于B
∴根据切线长定理可得：$EA = EC$，$FB = FC$
△PEF的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PEF}&=PE + EF + PF\\&=PE + EC + CF + PF\end{aligned}$
将EC替换为EA，CF替换为FB，得：
$\begin{aligned}C_{△ PEF}&=PE + EA + FB + PF\\&=(PE+EA)+(PF+FB)\\&=PA + PB\\&=2 + 2 = 4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1. 切线长定理
2. 等量代换
3. 三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的核心是通过切线长定理找到相等的线段，将待求的三角形周长转化为已知长度的切线长之和，解题时注意拆分线段进行代换即可。
【难度系数】
0.8
2. 我国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载：“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，“方田一段，一角圆池占之”.意思是说：一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示.
问题：如图，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N（点N在点M的右上方）.若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为
问题：如图，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N（点N在点M的右上方）.若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为
$8-2\sqrt{2}$
丈.答案
2. $8-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据圆与正方形过点A的两边相切的性质，可得圆心O在∠A的角平分线上，结合正方形对角线是角平分线，可知A、O、B三点共线；再过圆心向正方形过A的边作垂线，构造等腰直角三角形求出AO的长度；接着用AB总长度减去AO得到OB的长度，最后用OB减去圆的半径即可求出BN的长度。
【解析】
解：
∵⊙O与正方形以A为顶点的两条邻边均相切，
∴圆心O在∠A的角平分线上，
又
∵AB是正方形的对角线，即AB为∠A的角平分线，
∴点A、O、B三点共线。
过点O作OC垂直于正方形过A的一条边，垂足为C，则OC等于⊙O的半径，即OC=2丈，
易知△AOC为等腰直角三角形，AC=OC=2丈，
∴$AO=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$丈。
∵AB=10丈，
∴$OB=AB-AO=10-2\sqrt{2}$丈，
又
∵ON是⊙O的半径，即ON=2丈，且点N在O、B之间，
∴$BN=OB-ON=(10-2\sqrt{2})-2=8-2\sqrt{2}$丈。
【答案】
$8-2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合中国古代数学记载考查几何综合计算，将数学文化与几何知识点相结合，解题的核心是找准圆心的位置，再结合特殊三角形的性质计算线段长度，能较好地考查学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据圆与正方形过点A的两边相切的性质，可得圆心O在∠A的角平分线上，结合正方形对角线是角平分线，可知A、O、B三点共线；再过圆心向正方形过A的边作垂线，构造等腰直角三角形求出AO的长度；接着用AB总长度减去AO得到OB的长度，最后用OB减去圆的半径即可求出BN的长度。
【解析】
解：
∵⊙O与正方形以A为顶点的两条邻边均相切，
∴圆心O在∠A的角平分线上，
又
∵AB是正方形的对角线，即AB为∠A的角平分线，
∴点A、O、B三点共线。
过点O作OC垂直于正方形过A的一条边，垂足为C，则OC等于⊙O的半径，即OC=2丈，
易知△AOC为等腰直角三角形，AC=OC=2丈，
∴$AO=\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$丈。
∵AB=10丈，
∴$OB=AB-AO=10-2\sqrt{2}$丈，
又
∵ON是⊙O的半径，即ON=2丈，且点N在O、B之间，
∴$BN=OB-ON=(10-2\sqrt{2})-2=8-2\sqrt{2}$丈。
【答案】
$8-2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；正方形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合中国古代数学记载考查几何综合计算，将数学文化与几何知识点相结合，解题的核心是找准圆心的位置，再结合特殊三角形的性质计算线段长度，能较好地考查学生的几何分析能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F.
(1)判断AE与半圆的位置关系，并说明理由；
(2)若AB =8，求CF的长.
(1)判断AE与半圆的位置关系，并说明理由；
(2)若AB =8，求CF的长.
答案
3. (1)AE与半圆相切. 理由如下：如图，设半圆的圆心为O，连接OA，OE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADO=90°.
在△ADO 与△AEO 中，$\begin{cases} AD=AE, \\ OD=OE, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴ △ADO ≌ △AEO（SSS），
∴∠ADO=∠AEO=90°.
∵OE是半圆O的半径，
∴AE与半圆相切.
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°, BC=AB=8.
∵CD是半圆O的直径，
∴FC是半圆O的切线. 由(1)得AE与半圆相切，
∴CF=EF. 设CF=EF=x，
∴BF=8−x，AF=8+x.
∵AB²+BF²=AF²，
∴8²+(8−x)²=(8+x)²，解得x=2，
∴CF=2.
解析
【分析】
(1) 判断直线与圆的位置关系优先考虑是否为切线，切线判定需证明直线垂直于过交点的半径。首先取CD中点作为半圆的圆心O，连接OE、OA：AD和AE都是以A为圆心的圆的半径，且正方形边长AD=AB，故AD=AE；OD、OE都是半圆的半径，故OD=OE；AO为公共边，可证△ADO与△AEO全等，从而得到∠AEO=∠D=90°，即可判定AE与半圆相切。
(2) 求CF的长度时，首先可知FC和FE都是从F点引向半圆O的切线，根据切线长定理可得CF=EF。设CF=x，用含x的式子表示出BF和AF的长度，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CF的长度。
【解析】
(1) AE与半圆相切，理由如下：
设半圆的圆心为O，连接OA，OE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADO=90°，AD=AB=AE。
在△ADO与△AEO中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ OD=OE, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴△ADO ≌ △AEO（SSS），
∴∠AEO=∠ADO=90°，即OE⊥AE。
∵OE是半圆O的半径，
∴AE与半圆O相切。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=AB=8。
∵CD是半圆O的直径，
∴FC是半圆O的切线，由(1)得FE也是半圆O的切线，根据切线长定理可得CF=EF。
设CF=EF=x，则BF=8-x，AF=AE+EF=8+x。
在Rt△ABF中，由勾股定理得$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入得$8^2+(8-x)^2=(8+x)^2$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) AE与半圆相切，理由见解析；
(2) CF的长为2。
【知识点】
切线的判定，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质、圆的切线判定和切线长定理的应用，解题的关键是合理构造辅助线，第一问通过全等三角形转化得到直角关系，第二问利用方程思想结合勾股定理求解，是几何综合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 判断直线与圆的位置关系优先考虑是否为切线，切线判定需证明直线垂直于过交点的半径。首先取CD中点作为半圆的圆心O，连接OE、OA：AD和AE都是以A为圆心的圆的半径，且正方形边长AD=AB，故AD=AE；OD、OE都是半圆的半径，故OD=OE；AO为公共边，可证△ADO与△AEO全等，从而得到∠AEO=∠D=90°，即可判定AE与半圆相切。
(2) 求CF的长度时，首先可知FC和FE都是从F点引向半圆O的切线，根据切线长定理可得CF=EF。设CF=x，用含x的式子表示出BF和AF的长度，再在Rt△ABF中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CF的长度。
【解析】
(1) AE与半圆相切，理由如下：
设半圆的圆心为O，连接OA，OE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADO=90°，AD=AB=AE。
在△ADO与△AEO中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ OD=OE, \\ AO=AO, \end{cases}$
∴△ADO ≌ △AEO（SSS），
∴∠AEO=∠ADO=90°，即OE⊥AE。
∵OE是半圆O的半径，
∴AE与半圆O相切。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=AB=8。
∵CD是半圆O的直径，
∴FC是半圆O的切线，由(1)得FE也是半圆O的切线，根据切线长定理可得CF=EF。
设CF=EF=x，则BF=8-x，AF=AE+EF=8+x。
在Rt△ABF中，由勾股定理得$AB^2+BF^2=AF^2$，
代入得$8^2+(8-x)^2=(8+x)^2$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) AE与半圆相切，理由见解析；
(2) CF的长为2。
【知识点】
切线的判定，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形的性质、圆的切线判定和切线长定理的应用，解题的关键是合理构造辅助线，第一问通过全等三角形转化得到直角关系，第二问利用方程思想结合勾股定理求解，是几何综合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
